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1、第二节 三角函数的诱导公式,三年1考 高考指数: 能利用单位圆中的三角函数线推导出 ，的正弦、余弦、正切的诱导公式.,1.利用诱导公式求值或化简三角函数式是考查重点也是热点. 2.主要以选择题、填空题的形式考查.,三角函数的诱导公式 （1）三角函数的诱导公式,（2）诱导公式的记忆方法与规律 记忆口诀：“奇变偶不变，符号看象限”.（解释：公式中的角可以表示为k （kZ）的形式，“奇、偶”是指k的奇偶性；“符号”是指把任意角看作是锐角时原函数值的符号） 可以分类记忆：函数名称“变与不变”，函数值的符号“变与不变”.,【即时应用】 (1)思考:“符号看象限”中符号是否与的大小有关？ 提示:无关，只是
2、把从形式上看作锐角，从而2k+(kZ)，+,-,-, -， +分别是第一、三、四、二、一、二象限角. （2）sin(- )=_. 【解析】sin(- )=-sin(+ )=sin = . 答案：,(3)已知tan(+)=3,则 【解析】tan(+)=3,tan=3. 原式= 答案：7,利用诱导公式求值 【方法点睛】 利用诱导公式解题的原则和步骤 （1）诱导公式应用的原则：负化正、大化小，化到锐角为终了. （2）诱导公式应用的步骤： 任意负角的三角函数 任意正角的三角函数 02的角的三角函数 锐角三角函数 【提醒】诱导公式应用时不要忽略了角的范围和三角函数的符号.,【例1】(1)(2012宁波模
3、拟）若sin( -)= , 则cos( -)=_. (2)已知为第三象限角,化简f()； 若 求f()的值.,【解题指南】（1）拆分角 (2)直接利用诱导公式化简约分.利用在第三象限及同角三角函数关系的变形式得f(). 【规范解答】 答案：-,(2) 从而 又为第三象限角, 即f()的值为 .,【反思感悟】在利用诱导公式求值时，一般要先化简，再根据条件求值，掌握诱导公式的关键是对“函数名称”和“正负号”的正确判断.另外，诱导公式的应用非常灵活，可以正用、逆用和变形应用,但是要尽量避开平方关系.,【变式训练】已知sin(- )=a(a1,a0), 求 的值.【解析】,利用诱导公式化简证明 【方法
4、点睛】 1.利用诱导公式化简三角函数的思路和要求 （1）思路方法：分析结构特点，选择恰当公式；利用公式化成单角三角函数；整理得最简形式. （2）化简要求：化简过程是恒等变形；结果要求项数尽可能少，次数尽可能低，结构尽可能简单，能求值的要求出值.,2.三角恒等式证明的常用方法 (1)从左向右证或从右向左证(以从繁化到简为原则). (2)两边向中间证. (3)证明一个与原等式等价的式子,从而推出原等式成立.,【例2】(1)化简: (2)求证:对于任意的整数k,【解题指南】(1)把所给的三角函数式化简，约分得结果. (2)由于此题中的k不明确，需要对其分偶数和奇数讨论.,【规范解答】(1)原式 (2
5、)当k为偶数时,设k=2n(nZ), 则原式 当k为奇数时,设k=2n+1（nZ）， 则原式故对任意的整数k,【互动探究】将本例(1)化简式变为 如何化简? 【解析】原式,【反思感悟】1.在用诱导公式时,式子符号的判断看象限,注意把任意角看成锐角来处理. 2.把异角利用诱导公式化为同角,再用同角三角函数关系式化简是求解的关键.,【变式备选】(1)化简 (2)求证: 【解析】(1)因为所以原式=-sin+sin=0.,(2)因为左边所以原等式成立.,右边,诱导公式在三角形中的应用 【方法点睛】 三角形中的诱导公式 在三角形ABC 中常用到以下结论: sin(A+B)=sin(-C)=sinC,
6、cos(A+B)=cos(-C)=-cosC, tan(A+B)=tan(-C)=-tanC,【例3】在ABC中，若求ABC的三个内角. 【解题指南】先利用诱导公式化简已知条件，再利用平方关系求得cosA，进而可求得角A,B,C.,【规范解答】由已知得 两式平方相加得2cos2A=1,即cosA= 或cosA=- . （1）当cosA= 时,cosB= ,又角A、B是三角形的内角, （2）当cosA=- 时，cosB=- , 又角A、B是三角形的内角，不合题意. 综上知，,【反思感悟】1.三角形中常用角的变形结论有：A+B=-C；2A+2B+2C=2； 2.求角时，一般先求出该角的某一三角函数
7、值，再确定该角的范围，最后求角.,【变式训练】在三角形ABC中，（1）求证： （2）若 求证：三角形ABC为钝角三角形. 【证明】 (1)在ABC中，AB-C, ,(2)若 则(-sinA)(-cosB)tanC0, 或 B为钝角或C为钝角,故ABC为钝角三角形.,【满分指导】关于诱导公式主观题的规范解答 【典例】（14分）（2012合肥模拟）已知 （1）求 的值; （2）求 的值. 【解题指南】利用已知结合诱导公式求出cos和sin，把所给三角函数式利用诱导公式和三角函数关系式化简，即可求得.,【规范解答】（1） 3分 6分 9分 (2) 12分14分,【阅卷人点拨】通过阅卷数据分析与总结，我们可以得到以下失分警示和备考建议：,1.(2012台州模拟)已知tan=-a,则tan(-)的值等于( ) （A）a （B）-a （C） （D）- 【解析】选A.tan(-)=-tan=a.,2.(2012杭州模拟) 已知函数 则 f（ ）=_. 【解析】答案：0,3.(2012宁波模拟） 的值为_. 【解析】原式答案：,4.(2012温州模拟)若sin(-)= 且 则cos(2-)的值是_. 【解析】由sin(-)= 得答案：,
