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1、漫谈数学建模 生活中的数学模型,肖水明,宇宙之大，粒子之微，火箭之速，华工之巧，地球之变，生物之谜，日用之繁，数学无处不在，凡是有“量”和“形”的地方就少不了用数学，研究量（或形）的关系、量（或形）的变化、量（或形）的变化关系、量（或形）的关系的变化等问题都离不开数学作为语言工具 。,著名数学家华罗庚教授语,生 活 离 不 开 数 学,1、圆形蜘蛛网是一个简单漂亮的数学创造，要分析这个美丽结构用数学方法进行分析时，出现在蜘蛛网中的数学概念是惊人的：半径、弦、平行线段、三角形、全等对应角、对数螺线、悬链线和无理数e,2、蜂巢,消耗最少的材料和最少的“工时”巴黎科学院院士、瑞士数学家克尼格,3、在
2、矿物结构中，可以找到许多更为奇妙的空间图形,社 会 离 不 开 数 学,来自31个省区市以及香港的1023所高校12846个队的38000多名大学生参赛。竞赛共评出甲组一等奖200个，二等奖716个，乙组一等奖53个，二等奖172个。,2008年的竞赛情况,2009年的竞赛情况,共有33个省(市、自治区，包括香港特区和澳门特区)的1137所院校、15042个参赛队，共4万5千余名来自各个专业的大学生参加竞赛，是历年来参赛人数最多的一年。共评出高教社杯获得者2队(本科组、专科组各1队)，Matlab创新奖获得者2队(本科组、专科组各1队)，本科一等奖216队，本科二等奖820队，专科一等奖59队
3、，专科二等奖174队。,2010年的竞赛情况,本次竞赛共有来自全国33个省（市、自治区，包括香港和澳门）以及新加坡和澳大利亚的1197所高校17317个队的五万多名大学生参加。首次有国外的大学生参赛，为竞赛走向国际化迈出了第一步。通过专家评阅，共评选出1372队获全国奖，其中本科组一等奖210队，二等奖907队，专科组一等奖51队，二等奖204队，一、二等奖分别占参赛总数的1.5%和6.5%。,数学建模的历史渊源,（一）万物皆数,毕达哥拉斯 (Pythagoras,572 BC?497 BC?) 古希腊数学家、哲学家、天文学家、 音乐家、教育家。,无论是解说外在物质世界，还是描写 内在精神世界
4、，都不能没有数学!,最早悟出万事万物背后都有数的法则在起作用的，是生活在2500年前的毕达哥拉斯。,毕达哥拉斯定理勾股定理,数论,毕达哥拉斯对数论作了许多研究，将自然数区分为奇数、偶数、素数、完全数、平方数、三角数和五角数等。,在毕达哥拉斯派看来，数为宇宙提供了一个概念模型，数量和形状决定一切自然物体的形式，数不但有量的多寡，而且也具有几何形状。在这个意义上，他们把数理解为自然物体的形式和形象，是一切事物的总根源。因为有了数，才有几何学上的点，有了点才有线面和立体，有了立体才有火、气、水、土这四种元素，从而构成万物，所以数在物之先。自然界的一切现象和规律都是由数决定的，都必须服从“数的和谐”，
5、即服从数的关系。,完全数,所有真因子之和等于其本身的自然数。,最小的完全数是6（6=1+2+3），下一个是28（28=1+2+4+7+14），496，8128，33550336，8589869056，,亲和数,一个数是另一个数的真因数之和的一对数。,如（220，284）：1+2+4+5+10+11+20+22+44+55+110=284,1+2+4+71+142=220；,(1184，1210)(1866,Paganini);,(17296，18416)(1636,Fermat);,(9363584，9437056);,音乐,那些质量等于某一把锤子重的 的锤子都能产生和谐的声响；,他曾证明用三
6、条弦发出某一个乐音，以及它的 第五度音和第八度音时，这三条弦的长度之比 为6:4:3。,（二）实数连续统概念,（三）费马大定理一个困惑了世间智者358年的谜,一条实直线的数学模型,怀尔斯 (Andrew Wiles,1953年4月11日-) 是当代著名的英国数学家。,1996年：当选为美国国家科学院外籍院士并获该科学院数学奖； 获欧洲的奥斯特洛夫斯基奖和瑞典科学院舍克奖 获法国的费马奖； 获沃尔夫奖。 1997年：获美国数学会科尔奖； 获得1908年沃尔夫斯科尔（Wolfskehl）为解决费马猜想而设置的 10万马克奖金。 1998年：获国际数学家大会颁发的特别贡献奖。,证明费马定理的历程：
7、1977年，与科茨(Coates)共同证明了椭圆曲线中最重要的猜想伯奇斯温耐顿代尔(Birch-Swinnerton-Dyer)猜想的特殊情形(即对于具有复数乘法的椭圆曲线)； 1984年和马祖尔(Mazur)一起证明了岩泽理论中的主猜想； 1994年，在此前工作的基础上，通过证明半稳定的椭圆曲线的谷山志村韦伊猜想，从而完全证明了费马最后定理。,艾萨克牛顿(Isaac Newton 1642.12.25-1727.3.20) 英国物理学家、数学家、天文学家和自然哲学家,苹果为什么要掉在地上？,？?,（四）万有引力定律以及微积分的产生,从实际问题到数学模型 几个历史性问题 利益博弈 几项智力游戏
8、,例1 孙子算经中记载了这样的一个问题：“今有雏兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雏兔各几何？”,1几个历史性问题,如果考虑“独脚鸡”和“双脚兔”的话，脚就由94只变成了47只。,1.1 丢番图问题,每只“鸡”的头数与脚数之比变为1：1，,每只“兔”的头数与脚数之比变为1：2。,“独脚鸡”和“双脚兔”的脚的数量与他们的头的数量之差，就是兔子的只数,鸡的数量就是,（只）。,（只）；,例2 一百匹马，一百块瓦，大马驮仨，小马驮俩，马仔俩驮一块。问大马、小马、马仔各几何。,解 设大马，小马，马仔分别为,匹，应有,分别消去 和 可得,这是一个不完全方程组的求整数解问题丢番图问题。,可见，问题共有七
9、组解。,都是3的倍数，故可能取值如下。,返回,例3 华裔科学家李政道在中国科技大学少年班提出 “五猴分桃”的问题。,五只猴子分一大堆桃。第一只猴子单独来了，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，于是它吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一；第二只猴子来了，误以为自己最先到达，它发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一，最后，第五只猴子发现桃子的总数比5的某个倍数多1，它也吃了一个桃子然后拿走了总数的五分之一。试问起初的这堆桃子至少要有多少个。,设这堆桃子共有 个，第五只猴子离开之后剩下 个桃子。,第一只猴子连吃带拿，共得到 个桃子；剩下,（个）。,第二只猴子共得到
10、 个桃子；剩下的个数, 第五只猴子离开之后，剩下桃子数目应该是,于是，有,，,故必有,是,的倍数且,是,的倍数。,最小的可能是,41020，,最小的可能是,43121。,在地图上，任何两个相邻的国家应该着上不同的颜。人们发现，每幅地图上不管有多少个国家，只用四种颜色就可以。,1.2 四色问题,1970年至1976年，美国伊利诺大学哈肯和阿佩尔合作，在美国伊利诺斯大学的两台不同的电子计算机上，用了1200个小时，作了100亿判断，终于完成了四色定理的证明。,这个问题最早是由毕业于伦敦大学的弗南西斯格思里大约于1852年提出来的。1872年，伦敦数学学会上提出了这个问题，于是四色猜想成了世界数学界
11、关注的问题。,1890年，在牛津大学就读的年仅29岁的海伍德证明了一个较弱的命题五色定理。,四色问题的研究，是小问题引出大模型的实例。计算机参与证明的合法地位也由此得到了认可。,1.3 哥尼斯堡七桥,1726年，瑞士数学家欧拉（17011783）受聘于沙俄科学院，后来出任数学部主任。1736年秋天，欧拉收到来自东普鲁士首都哥尼斯堡（今属奥地利）的一封信，哥尼斯堡大学的学生在来信中向他请教的是下面一个问题。,布勒格尔河横穿市区，哥尼斯堡大学的校园就坐落于新旧河道交汇处。校园附近有一个小岛，七座小桥分别连通着河岸、小岛和半岛。傍晚前后，学生们三三两两地散步于小岛上与河岸边。,有人突发奇想，能不能在
12、一个晚上走遍这七座桥而每座桥又都只通过一次呢？,哥尼斯堡是条顿骑士在1380年建立的，作为日耳曼势力最东端的前哨达四百年之久。第二次世界大战以后，他被更名为加里宁格勒，成为前苏联最大的海军基地。今天，哥尼斯堡位于立陶宛与波兰之间，加里宁格勒现仍属俄罗斯。,作为一笔画，应该只有一个起点和一个终点，而其它点只能是通过点,欧拉在草纸上勾画出示意图。在他看来，问题是否有可行的方案，与岛、半岛的大小无关，也与河岸上桥头的间隔及小桥的长度无关。因而不妨将半岛、两侧河岸和小岛都缩为一点，将各个小桥代之以线。,现在的问题是，能否用一只铅笔从“结点”A、B、C、D之中的某一点开始，不抬笔地连续描完每一条线而不出
13、现线路重复呢？,类似这样的问题，后来被统称为“一笔画”问题。,图中四个节点A、B、C、D都是奇节点。所以，这是一个不可行的一笔画问题。,战国时期，我国出现一位杰出的军事家孙膑。,2 利益博奕,起初，孙膑在魏国作官，由于同僚庞涓忌贤妒能百般迫害，孙膑几乎丧命于魏国。后来被齐过使臣秘密救出送到了齐国引见给齐国的大将军田忌。,齐王酷爱赛马，田忌多次与国王赌输赢，屡赌屡输。一次赛马时，孙膑随田忌来到赛马场。孙膑了解到，大家的马按奔跑的速度分为上中下三等，等次不同装饰不同，各家的马依等次比赛，比赛为三赛二胜制。,比赛前田忌按照孙膑的主意，第一场，用上等马鞍将下等马装饰起来，冒充上等马， 与齐王的上等马比
14、赛。第二场，田忌用自己的上等马与国王的中等马比赛，赢了第二场。 关键的第三场，田忌的中等马和国王的下等马比赛，田忌的马略胜了一筹。结果二比一，田忌赢了国王。,后来，齐威王任命孙膑为齐国军师，取得了无数以少胜多、以弱制强的辉煌战例。,2.1 田忌赛马,即便是在运筹学理论非常完善了的今天，田忌赛马的故事仍不失为经典范例。,假定某海滩沿海岸线均匀分布着很多日光浴者。有两个出售同种饮料的商贩来海滩设摊位，试问如何设位？,显然，在,不难预见，绿色摊位也愿意左移。,处各设一个摊位最合理。,和,但是，红色的摊位如果向右移一点的话，情况如何？,如果它们都在,附近的位置的话，哪个摊位还会有偏移的,打算呢？,2.
15、2 纳什均衡,一. 海滩占位,有互不熟悉的两人在公共场所斗殴，将接受处罚。,若两人均投案，则因在公共场所斗殴各被罚款200元；若两人均不投案，则只能按普通滋事各罚款100元；要是只有一人投案而另一人拒不承认，仍可确定为斗殴，投案者免予处罚，不投案者被认定为是主要肇事方被罚款400元。,我们站在甲的角度来看问题，他并不知道乙是否会投案。假若乙不投案，甲也不投案将罚款100元，但若甲选择投案就会免予处罚；假若乙已经投案的话，甲不投案将被罚款400元，投案则只罚款200元。,甲,乙,2.3. 囚徒困惑,可见，不论乙是否会与警察配合，从甲的实际利益出发，他总会投案的。,出于同样的原因，乙也会选择投案。,结果，甲乙二人均被罚款200元，虽然他们都知道还有各罚100元的处罚方案，但那样的结果不太可能出现。,即便是重新征求各自的意见，甲和乙都没有改变态度的愿望。,这一结果的出现，被称为纳什均衡。,约翰F.Nash(纳什)是著名的美国数学家，1928年生，1950年获普林斯顿大学博士学位1994年获诺贝尔经济学奖。纳什均衡是他最具代表性的学术成果。,3 海盗分金,假定这五个海盗都是高智商且极其贪财的。试问海盗1会制定出怎样的分赃方案，以使自己免于葬身鱼腹。,5名海盗抢到了100块金币（大小完全相同），他们准备采用以下的方法分赃。,
