波函数和薛定谔方程

《波函数和薛定谔方程》由会员分享，可在线阅读，更多相关《波函数和薛定谔方程（117页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、Adam G. Riess,Brian P. Schmidt,Saul Perlmutter,揭示宇宙的命运,宇宙膨胀不断加速，而且逐渐变冷,宇宙学的大爆炸模型,1948年，伽莫夫等在美国物理评论杂志上发表了关于大爆炸宇宙学模型的文章：提出宇宙是由早期温度极高且密度极大，体积极小的物质迅速膨胀形成的，这是一个由热到冷、由密到稀，不断膨胀的过程，犹如一次规模极其巨大的超级大爆炸。,宇宙诞生之前，没有时间，没有空间，也没有物质和能量。大约140亿年前，在这四大皆空的“无”中，一个体积无限小的点爆炸了。时空从这一刻开始，物质和能量也由此产生，这就是宇宙创生的大爆炸。,2.4 薛定谔方程,2.2 态叠

2、加原理,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,2.5 几率流密度矢量,2.6 定态薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,2.8 线性谐振子,2.9 势垒贯穿,2.1 波函数的统计解释,一、波函数,二、波恩的统计解释,三、波函数的归一化,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函数的统计解释,一、波函数,量子力学是描述微观粒子运动规律的一种理论。微观粒子具有波粒二象性，粒子的坐标和动量不可能同时具有确定值。在量子力学中，决定微观粒子运动的基本方程是薛定谔方程。薛定谔方程的解是一些复数值函数，一般用表示，称为波函数。,在经典力学中，通常用质点的坐标和动量的值来描写

3、质点的状态。,量子力学呢？,第二章 波函数和薛定谔方程,用波函数描写体系的量子状态。,德布罗意波：,推广： 如果粒子受到随时间或位置变化的力场的作用，它的动量和能量不再是常量，这时粒子就不能用平面波来描写，而必须用较复杂的波来描写。波函数,经典波：,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,自由粒子波函数,二、波恩的统计解释,微观粒子的运动状态用波函数来描述。波函数无疑反映了微观粒子的波动性，那么其粒子性又是如何反映的了？这导致了波函数的统计解释。,如何理解波和它所描写的粒子之间的关系？,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,波动观点：在单缝衍射的图样中，亮处表示波

4、的强度大（波的振幅平方大）；暗处表示波的强度小（波的振幅平方小） 。,光子观点：光强度大的亮处，表示在相同的时间内到达该处的光子数目多；光强度小的暗处，表示在相同的时间内到达该处的光子数目少。,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,爱因斯坦统计观点：光强度大的地方（到达光子数多的地方），就是光子到达该处的几率大；光强度小的地方（到达光子数少的地方），就是光子到达该处的几率小。,波函数的统计解释：波函数在空间中某一点的强度（振幅绝对值的平方）和在该点找到粒子的几率成比例。,1. 电子衍射实验所显示的电子的波动性是许多电子在同一实验中的统计结果，或者是一个电子在许多次相同实验中的统

5、计结果。,2. 与粒子相联系的物质波的波函数本身是不能直接被观测到的，因而也没有直观的物理意义，是一个概率幅；但它蕴含着粒子运动的信息，表现在它的模量的平方描述了粒子在某时刻位于空间某处附近出现的几率密度，这就是波恩的统计解释。,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,三、波函数的归一化,由于粒子必定要在空间中的某一点出现，所以粒子在空间各点出现的几率之和等于1，因而粒子在空间各点出现的几率只决定于波函数在空间各点的相对强度，而不决定于强度的绝对大小。换句话说，将波函数乘上一个常数后，所描写的粒子的状态并不改变。,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,2.1 波函

6、数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,设波函数 描写粒子的状态，则在时刻t、在坐标 x 到 x+dx、y 到 y+dy、z 到 z+dz的无限小区域找到粒子的几率,几率密度,寻找C, 使波函数归一,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,归一化波函数,归一化条件,归一化,归一化常数,2. 并非所有的波函数都可以按下式归一化：,2.1 波函数的统计解释,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 归一化波函数可以含有任意相因子 。,波函数的统计解释要求,为有限。否则归一化常数等于零，归一化失去意义。,2.2 态叠加原理,一、态叠加原理,二、波函数按平面波展开,第二章 波函数和薛定谔方程,

7、2.2 态叠加原理,一、态叠加原理,第二章 波函数和薛定谔方程,态叠加原理：当 是体系的可能状态时，它们的线性迭加 也是体系的一个可能状态；也可以说，当体系处于 时，体系部分地处于态 中。,2.2 态迭加原理,二、波函数按平面波展开,第二章 波函数和薛定谔方程,以一个确定的动量 p 运动的自由粒子的状态用波函数,描写。按照态迭加原理，粒子的状态可表示为,2.2 态迭加原理,第二章 波函数和薛定谔方程,根据傅立叶变化知：任何一个波函数都可以看作是各种不同动量的平面波的迭加。即,2. 一维表达式为,1. 和 是同一个状态的两种不同的描述方式。 是以坐标为变量的波函数， 是以动量为变量的波函数 。,

8、2.2 态迭加原理,第二章 波函数和薛定谔方程,2.3 测不准关系,一、电子单缝衍射实验,二、测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,一、电子单缝衍射实验,起初：,电子通过狭缝时：,考虑衍射次级有,（一级）,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,二、测不准关系,动力学变量可能取值的范围满足一个关系。如，对于微观粒子不能同时用确定的位置和确定的动量来描述；不能同时用确定的能量和确定的时间来描述。,测不准关系：,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 测不准关系是微观粒子波粒二象性及其统计关系的必然结果，并非测量仪器对粒子的干扰，也不是仪器有误差的缘故。,2. 对宏观粒子，

9、因h很小，所以 ，可视为位置和动量能同时准确测量。,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,测不准关系说明了一个限度，超过这个限度，经典物理学的概念及其规律就不再适用了。这个限度用普朗克常数来表征。当 时，量子力学将回到经典力学，或者说量子效应可以忽略。就像当 时，相对论回到牛顿理论的情况一样。,3. 经典物理学的适用范围：,一粒尘埃,举例：,2.3 测不准关系,第二章 波函数和薛定谔方程,建立描写波函数随时间变化的方程,所建方程应是波函数满足的含有对时间微商的微分方程,方程是线性的,方程的系数不包含状态参量,先建立波函数为已知的自由粒子的薛定谔方程，然后推广到一般情况,2.4 薛定谔

10、方程,第二章 波函数和薛定谔方程,考虑自由粒子（在非相对论情形），总能量,波函数为,它是所要建立的方程的解。,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,将上式对时间求一阶导数，得,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,将上式对坐标求二阶导数，得,拉普拉斯算符,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,自由粒子波函数所满足的微分方程,薛定谔方程,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,下面建立在力场中粒子波函数所满足的微分方程,1. 薛定谔方程揭示了在非相对论情况下微观粒子运动的基本规律。,2. 这种既包含粒子的质量

11、又包含波动量 的方程无论是从单一的粒子性质，还是从单一的波动性质来看，都是不合逻辑的。但是，如果我们承认既是粒子又是波这个事实，那么这个方程就是联系粒子和波动性质的纽带。,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,3. 薛定谔方程的建立过程蕴涵着一种动力学变量的替换关系，即,能量算符,动量算符,劈形算符,对应原理,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,4. 多粒子体系的薛定谔方程。,作替换,得到,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,5. 薛定谔方程是关于时间一阶导数的线性偏微分方程，因而只需要一个初始条件便足以确定任意时刻的解。,6. 微观粒子的运动状态用波函数来描

12、述，而其运动规律，由薛定谔方程描述。因此，量子力学的核心问题就自然地成为求解薛定谔方程。,2.4 薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,7. 薛定谔方程是建立的，而非从数学上导出的，其正确性由在各种具体情况下从方程得出的结论和实验结果相比较来验证。,讨论几率密度随时间的变化规律,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,几率密度,仅讨论势场为实数的情形,几率流密度矢量,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,将上式对任意一个体积 V 求积分得：,与电流连续方程（电荷守恒定律）类比,知,实为几率密度守恒（连续性方程）。,

13、1. 单位时间内体积 V 中增加的几率，等于从体积 V 外部穿过 V 的边界面 S 而流进 V 内的几率。,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,2. 若波函数为实数，则几率流密度矢量为零。,3. 波函数的标准条件：有限性、连续性和单值性。,4. 在整个空间内找到粒子的几率与时间无关（束缚态）。,如波函数在无穷远处为零,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,归一化常数不随时间变化,5. 质量密度,质量流密度,质量守恒定律,2.5 几率流密度矢量,第二章 波函数和薛定谔方程,通常势能 U 仅是空间坐标的函数，与时间 t 无关。此时整个系统能量守恒，常把这种情况称为定态

14、问题。对于定态问题，薛定谔方程可以用分离变量法进行简化，考虑特解,代入薛定谔方程，有,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,于是,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,解得,因而,根据德布罗意关系，E 就是体系处于这个波函数所描写的状态时的能量。由此可见，体系处于该态时能量具有确定值。定态,定态波函数,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,定态薛定谔方程,1. 讨论定态问题，即求出体系可能有的定态波函数 和这些态中的能量 ，实际上归结为解定态薛定谔方程，求出能量的可能值 和波函数 。,2. 在定态中，几率密度和几率流密度都与时间无关。,2.6 定态薛定

15、谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,3. 哈密顿算符。,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,能量算符：,哈密顿算符：,本征值方程,本征值,本征函数,于是,2.6 定态薛定谔方程,第二章 波函数和薛定谔方程,4. 薛定谔方程的解。,体系的第 n 个定态波函数为,薛定谔方程的解为,式中 cn 是常系数。,2.7 一维无限深方势阱,一、驻波,二、物理模型,三、薛定谔方程的解,第二章 波函数和薛定谔方程,一、驻波,两列振幅、频率、传播速率都相同的相干波，在同一直线上沿相反方向传播时叠加而成的波，叫做驻波。,2.7 一维无限深方势阱,第二章 波函数和薛定谔方程,1. 驻波的表达式,正向,反向,第二章 波函数和薛定谔方程,2.7 一维无限深方势阱,