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1、1,第六章 不等式,不等式的应用,第 讲,6,2,3,4,一、不等式的主要应用 不等式在中学数学中有着广泛的应用，其中主要表现在：(1)求函数的定义域、值域；(2)求函数的最值；(3)讨论函数的单调性；(4)研究方程的实根分布；(5)求参数的取值范围；(6)解决与不等式有关的应用性问题等.其中含参数的讨论和不等式在实际问题中的应用是高考命题的热点，也是学习中的难点.,5,二、建立不等式的主要途径 (1)利用问题的几何意义； (2)利用判别式； (3)利用函数的有界性； (4)利用函数的单调性.,6,1.设 那么M、N的大小关系是( ) A. MN B. M=N C. MN D. 不能确定 解：
2、由 (注意a1，a3),所以MN.,A,7,2.把长为12 cm的细铁丝截成两段，各自围成一个正三角形，那么这两个正三角形面积之和的最小值是( )解:设一段长为x cm,则另一段长为(12-x)cm, 则,D,8,3.若关于x的方程4x+a2x+a+1=0有实数 解，则实数a的取值范围是_. 解：令t=2x(t0)， 则原方程化为t2+at+a+1=0， 变形得,9,1. (1)求函数 (x-1)的最小值; (2)已知x0，y0且3x+4y=12，求lgx+lgy的 最大值及相应的x、y的值. 解：(1)因为x-1，所以x+10. 所以,题型1 不等式在纯数学问题中的应用,10,当且仅当x+1
3、= 即x=1时,等号成立. 所以当x=1时,函数 (x-1) 的最小值为9. (2)因为x0，y0，且3x+4y=12， 所以 所以lgx+lgy=lgxylg3， 当且仅当3x=4y=6，即x=2，y= 时等号成立. 所以当x=2，y= 时，lgx+lgy取最大值lg3.,11,点评：不等式、方程、函数等知识的结合是代数知识综合的一个主要方面，利用不等式研究函数、数列等有关问题，体现了不等式的工具性.如本题就是充分利用均值不等式的性质，得出函数式的最值.,12,已知函数f(x)= (x0). (1)判断f(x)在(0，+)上的单调性,并证明; (2)解关于x的不等式f(x)0; (3)若f(
4、x)+2x0在(0，+)上恒成立， 求a的取值范围. 解：(1)因为f (x)=- 0， 所以f(x)在(0，+)上为减函数. (2)由f(x)0,得 即 当a0时,不等式的解集为x|0x2a;,13,当a0时，原不等式化为 其解集为x|x0. (3)若f(x)+2x0在(0，+)上恒成立， 即 所以 因为 +2x4， 所以 4，解得a0或a . 故a的取值范围是(-，0) ，+).,14,2. 围建一个面积为 360 m2的矩形场地,要求 矩形场地的一面利用旧 墙(利用的旧墙需维修)， 其他三面围墙要新建.在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为2 m的进出口，如图所示.已知旧墙的维修费用为45元/
5、m，新墙的造价为180元/m.设利用的旧墙长度为x(单位：m)，修建此矩形场地围墙的总费用为y(单位：元).,题型2 不等式在实际问题中的应用,15,(1)将y表示为x的函数； (2)试确定x，使修建此矩形场地围墙的总费用最小，并求出最小总费用. 解：(1)如图，设矩形 的另一边长为a m. 则y=45x+180(x-2)+1802a=225x+360a-360, 由已知xa=360，得a= , 所以,16,(2)因为x0,所以 所以 当且仅当 时，等号成立. 即当x=24 m时，修建此矩形场地围墙的总费用最小，最小总费用是10440元. 点评：求解不等式的应用题，一般先建立相应的函数关系，然
6、后转化为利用不等式去求函数的最值，或比较几个式子的值.注意合理选取变元，构造数学模型，建立函数关系式.,17,18,19,20,汽车在行驶中由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析事故的一个重要因素.在一个限速40 km/h以内的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.,题型 解不等式在应用题中的应用,21,事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12 m，乙车的刹车距离略超过10 m，又知甲、乙两种车型的刹车距离s (m)与车速x (km/h)之间分别有如下关系：s甲=0.1x+0.01x2，s乙=0.05x+
7、0.005x2.问超速行驶应负主要责任的是谁？ 解：由s甲=0.1x+0.01x212,得x30或x-40; 由s乙=0.05x+0.005x210,得x40或x-50. 由于x0,从而可得x甲30 km/h,x乙40 km/h. 经过比较知乙车超过限速，应负主要责任.,22,在利用函数观点处理有关问题时，要注意如下结论的运用：设f(x)的定义域为m，n(mn)，值域为A，B(AB).若f(x)a在定义域上恒成立，则aA;若f(x)a在定义域上恒成立，则aB.,23,第六章 不等式,不等式的证明,第 讲,3,（第三课时）,24,题型6 用反证法证不等式,1. 已知a、b、c(0，1)， 求证：
8、(1-a)b，(1-b)c，(1-c)a不能同时大于 . 证法1：假设三式同时大于 ， 即有(1-a)b ，(1-b)c ，(1-c)a , 三式同向相乘，得(1-a)a(1-b)b(1-c)c .,25,又(1-a)a( )2= ， 同理，(1-b)b ，(1-c)c ， 所以(1-a)a(1-b)b(1-c)c ， 因此与假设矛盾，故结论正确. 证法2：假设三式同时大于 . 因为0a1，所以1-a0，,26,点评：证明有关“至少”“最多”“唯一”或含有其他否定词的命题，可采用反证法.反证法的证题步骤是：反设推理导出矛盾(得出结论).,所以 同理， 都大于 . 三式相加得 ，矛盾. 故假设不
9、成立，从而原命题成立.,27,28,29,题型7 用换元证不等式,2. 已知a、bR，a2+b24， 求证：|3a2-8ab-3b2|20. 证明：因为a、bR，a2+b24， 所以可设a=rcos,b=rsin,其中0r 2， 所以|3a2-8ab-3b2|=r2|3cos2-4sin2| =r2|5cos(2+arctan )|5r220. 所以原不等式成立.,30,点评：换元法一般有代数式的整体换元、三角换元等换元方式.换元时要注意新变元的取值范围，以及换元后的式子的意义.常用的换元有： 若x2+y2=a2，可设x=acos，y=asin； 若 可设x=acos，y=bsin； 若x2+
10、y21， 可设x=rcos，y=rsin(0r1).,31,已知1x2+y22，求证： x2-xy+y23. 证明:设x=rcos,y=rsin,且1r2,R, 则由-1sin21，得 1- sin2 . 又1r22，所以 r2(1- sin2)3， 即 x2-xy+y23.,32,3. 求证： 证明：令 xR， 则yx2+yx+y=x2-x+1. 于是(y-1)x2+(y+1)x+y-1=0. (1)若y=1，则x=0，符合题意； (2)若y1,则式是关于x的一元二次方程.,题型8 判别式法证不等式,33,由xR，知=(y+1)2-4(y-1)20， 解得 y3且y1. 综合(1)(2)，得
11、 y3，即 点评：与二次式有关的不等式证明，可通过构造二次方程，然后利用方程有实数解的充要条件得出式子的取值范围，就是所要证明的不等式.,34,求证： 证明：令 则yx2-(y+1)x+y+1=0， (1)当y=0时，得x=1，符合题意； (2)当y0时，则式是关于x的一元二次方程. 由xR，得=(y+1)2-4y(y+1)0， 解得-1y ,且y0. 综合(1)(2),得-1y ,所以,35,已知函数f(x)=ln(x+1)-x，若x-1，证明: ln(x+1)x. 证明： 令f (x)=0，得x=0. 当x(-1，0)时，f (x)0; 当x(0，+)时，f (x)0.,题型 不等式与函数
12、的综合应用,36,所以f(x)在区间(-1，0)上是增函数， 在区间(0，+)上是减函数. 所以当x-1时，f(x)f(0)=0， 即ln(x+1)-x0，故ln(x+1)x. 令 则 令g(x)=0，得x=0. 当x(-1，0)时，g(x)0; 当x(0，+)时，g(x)0.,37,所以g(x)在(-1，0)上是减函数， 在(0，+)上是增函数， 故当x-1时，g(x)g(0)=0， 即 故 综上知，,38,1. 在已知中如果出现两数相加等于一个正常数，可联想到公式sin2+cos2=1，进行三角换元. 2. 含有字母的不等式证明，可以化为一边为零，而另一边为某个字母的二次三项式，考虑判别式. 3. 有些不等式，从正面证如果不易说清楚，可以考虑反证法.凡是有“至少”“唯一”或含有其他否定词的命题，适宜用反证法.,
