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1、1第第 1 1 章章 立体几何初步立体几何初步章末复习章末复习学习目标 1.整合知识结构，梳理知识网络，进一步巩固、深化所学知识.2.熟练掌握平行关系与垂直关系，能自主解决一些实际问题.3.掌握几何体的三视图与直观图，能计算几何体的表面积与体积1空间几何体的结构特征及其侧面积和体积名称定义图形侧面积体积棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行S直棱柱侧Ch，C为底面的周长，h为高VSh棱锥有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形S正棱锥侧Ch，C为底面1 2的周长，h为斜高VSh，h为1 3高多面体棱台用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面
2、与截面之间的部分S正棱台侧 (CC)1 2V (S上S下1 3)S上S下2h，C，C为底面的周长，h为斜高h，h为高圆柱以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体S侧2rh，r为底面半径，h为高VShr2h圆锥以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体S侧rl，r为底面半径，h为高，l为母线VSh r21 31 3h圆台用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分S侧(r1r2)l，r1，r2为底面半径，l为母线V (S上S下1 3)S上S下h (rr1 32 1r1r2)h2 2旋转体球以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一
3、周形成的旋转体S球面4R2，R为球的半径V R34 32空间几何体的三视图与直观图(1)三视图是观察者从三个不同位置观察同一个空间几何体而画出的图形；它包括主视图、左视图、俯视图三种画图时要遵循“长对正、高平齐、宽相等”的原则注意三种视图的摆放顺序，在三视图中，分界线和可见轮廓线都用实线画出，不可见轮廓线用虚线画出熟记常见几何体的三视图画组合体的三视图时可先拆，后画，再检验(2)斜二测画法：主要用于水平放置的平面图形或立体图形的画法它的主要步骤：画轴；画平行于x、y、z轴的线段分别为平行于x、y、z轴的线段；截线段：平行于x、z轴的线段的长度不变，平行于y轴的线段的长度变为原来的一半三视图和直
4、观图都是空间几何体的不同表示形式，两者之间可以互相转化. (3)转化思想在本章应用较多，主要体现在以下几个方面曲面化平面，如几何体的侧面展开，把曲线(折线)化为线段等积变换，如三棱锥转移顶点等3复杂化简单，把不规则几何体通过分割，补体化为规则的几何体等3四个公理公理 1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内. 公理 2：过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行4直线与直线的位置关系Error!5平行的判定与性质(1)直线与平面平行的判定
5、与性质判定定义定理性质图形条件aa，b，abaa，a，b结论abaab(2)面面平行的判定与性质判定定义定理性质图形条件a，b，abP，a，b，a，b，a结论aba(3)空间中的平行关系的内在联系46垂直的判定与性质(1)直线与平面垂直图形条件结论ab，b(b为内的任意直线)aam，an，m，n，mnOa判定ab，aba，bab 性质 a，bab(2)平面与平面垂直的判定与性质定理文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直Error!性质定理如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面Error!l(3)空间中的垂
6、直关系的内在联系7空间角(1)异面直线所成的角定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线aa，bb，把a与b所成的锐角(或直角)叫作异面直线a，b所成的角(或夹角)5范围：设两异面直线所成角为，则 090.(2)二面角的有关概念二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫作二面角的平面角1设m，n是两条不同的直线，是两个不同的平面，若m，n，则mn.( )2已知a，b是两异面直线，ab，点Pa且Pb，一定存在平面，使P，a且b.( )3平面平面，直线a，直线b，那么直线
7、a与直线b的位置关系一定是垂直( )4球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径( )5若m，n在平面内的射影依次是一个点和一条直线，且mn，则n或n.( )类型一 由三视图求几何体的表面积与体积例 1 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A12 B18 C24 D30考点 题点 答案 C解析 由俯视图可以判断该几何体的底面为直角三角形，由主视图和左视图可以判断该几何体是由直三棱柱(侧棱与底面垂直的棱柱)截取得到的在长方体中分析还原，如图(1)所示，6故该几何体的直观图如图(2)所示在图(1)中，111114 3 5302ABCABCA B CVSAA 柱柱柱柱柱柱柱1 11111A
8、 B CPA B CVS柱柱柱锥PB1 4336.故几何体ABCPA1C1的体积为 30624.1 31 2故选 C.反思与感悟 (1)以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量(2)多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理(3)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用跟踪训练 1 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )A. B3 C. D68 310 3答案 B解析 将三视图还原为直观图求体积由三视图可知，此几何体(如图所示)是底面半径为 1，高为 4 的圆柱被从母线的中点处截去了圆柱的 ，1 4
9、7所以V 1243.3 4类型二 平行问题例 2 如图所示，四边形ABCD是平行四边形，PB平面ABCD，MAPB，PB2MA.在线段PB上是否存在一点F，使平面AFC平面PMD？若存在，请确定点F的位置；若不存在，请说明理由考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题解 当点F是PB的中点时，平面AFC平面PMD，证明如下：如图连接AC和BD交于点O，连接FO，则PFPB.1 2四边形ABCD是平行四边形，O是BD的中点OFPD.又OF平面PMD，PD平面PMD，OF平面PMD.又MAPB，MAPB，1 2PFMA，PFMA.四边形AFPM是平行四边形AFPM.又AF平
10、面PMD，PM平面PMD.AF平面PMD.又AFOFF，AF平面AFC，OF平面AFC.平面AFC平面PMD.反思与感悟 (1)证明线线平行的依据平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；公理 4；线面平行的性8质定理；面面平行的性质定理；线面垂直的性质定理(2)证明线面平行的依据定义；线面平行的判定定理；面面平行的性质(3)证明面面平行的依据定义；面面平行的判定定理；线面垂直的性质；面面平行的传递性跟踪训练 2 如图所示，四棱锥PABCD的底面是边长为 8 的正方形，四条侧棱长均为 2.点G，E，F，H分别是棱PB，AB，CD，PC上共面的四点，平面GEFH平面ABCD，BC1
11、7平面GEFH.(1)证明：GHEF；(2)若EB2，求四边形GEFH的面积考点 线、面平行、垂直的综合应用题点 平行与垂直的计算与探索性问题(1)证明 因为BC平面GEFH，BC平面PBC，且平面PBC平面GEFHGH，所以GHBC.同理可证EFBC，因此GHEF.(2)解 连接AC，BD交于点O，BD交EF于点K，连接OP，GK.因为PAPC，O是AC的中点，所以POAC，同理可得POBD.又BDACO，且AC，BD平面ABCD，所以PO平面ABCD.又因为平面GEFH平面ABCD，所以平面GEFH必过平面ABCD的一条垂线，所以PO平行于这条垂线，且PO平面GEFH，所以PO平面GEFH
12、.9又因为平面PBD平面GEFHGK，PO平面PBD，所以POGK，所以GK平面ABCD.又EF平面ABCD，所以GKEF，所以GK是梯形GEFH的高由AB8，EB2，得EBABKBDB14，从而KBBDOB，即K是OB的中点1 41 2再由POGK得GKPO，1 2所以G是PB的中点，且GHBC4.1 2由已知可得OB4，PO6，2PB2OB26832所以GK3，故四边形GEFH的面积SGK318.GHEF 248 2类型三 垂直问题例 3 如图所示，在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ABAD，ACCD，ABC60，PAABBC，E是PC的中点证明：(1)CDAE；(2)PD平面ABE
13、.考点 直线与平面垂直的判定题点 直线与平面垂直的证明证明 (1)在四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，CD平面ABCD，PACD.ACCD，PAACA，PA，AC平面PAC，CD平面PAC.而AE平面PAC，CDAE.(2)由PAABBC，ABC60，可得ACPA.E是PC的中点，AEPC.10由(1)知，AECD，且PCCDC，PC，CD平面PCD，AE平面PCD.而PD平面PCD，AEPD.PA底面ABCD，AB底面ABCD，PAAB.又ABAD且PAADA，PA，AD平面PAD，AB平面PAD，而PD平面PAD，ABPD.又ABAEA，AB，AE平面ABE，PD平面ABE.反思与感悟
14、 (1)两条异面直线相互垂直的证明方法定义；线面垂直的性质(2)直线和平面垂直的证明方法线面垂直的判定定理；面面垂直的性质定理(3)平面和平面相互垂直的证明方法定义；面面垂直的判定定理跟踪训练 3 如图，斜三棱柱ABCA1B1C1的底面是直角三角形，ACB90，点B1在底面ABC上的射影恰好是BC的中点，且BCCAAA1.(1)求证：平面ACC1A1平面B1C1CB；(2)求证：BC1AB1.考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直证明 (1)设BC的中点为M，点B1在底面ABC上的射影恰好是点M，B1M平面ABC.11AC平面ABC，B1MAC.又BCAC，B1MBCM，B1M，BC平面B1C1CB，AC平面B1C1CB.又AC平面ACC1A1，平面ACC1A1平面B1C1CB.(2)连接B1C.AC平面B1C1CB，ACBC1.在斜三棱柱ABCA1B1C1中，BCCC1.四边形B1C1CB是菱形，B1CBC1.又B1CACC，BC1平面ACB1，BC1AB1.类型四 空间角问题例 4 如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F，M，N分别是A1B1，BC，C1D1和B1C1的中点(1)求证：平面MNF平面ENF；(2)求二面角MEFN的正切值考点 平面与平面垂直的判定题点 利用判定定理证明两平面垂直
