《赣豫陕2018_2019学年度高中数学第一章立体几何初步4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)学案北师大版必修》由会员分享，可在线阅读，更多相关《赣豫陕2018_2019学年度高中数学第一章立体几何初步4.1空间图形基本关系的认识4.2空间图形的公理(一)学案北师大版必修（14页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、14 41 1 空间图形基本关系的认识空间图形基本关系的认识4 42 2 空间图形的公理空间图形的公理( (一一) )学习目标 1.通过长方体这一常见的空间图形，体会点、直线、平面之间的位置关系.2.会用符号表达点、线、面的位置关系.3.掌握空间图形的三个公理及其推论知识点一 空间图形的基本位置关系对于长方体有 12 条棱和 6 个面思考 1 12 条棱中，棱与棱有几种位置关系？答案 相交，平行，既不平行也不相交思考 2 棱所在直线与面之间有几种位置关系？答案 棱在平面内，棱所在直线与平面平行和棱所在直线与平面相交思考 3 六个面之间有哪几种位置关系答案 平行和相交梳理 位置关系图形表示符号表
2、示点A在直线a外Aa空间点与直线的位置关系点B在直线a上Ba点A在平面内A空间点与平面的位置关系点B在平面外B平行ab相交abO空间两条直线的位置关系 异面a与b异面线在面内a线面相交aA空间直线与平面的位置关系线面平行a空间平面与平面面平行2面的位置关系面面相交a异面直线不同在任何一个平面内的两条直线，叫作异面直线知识点二 空间图形的公理思考 1 照相机支架只有三个脚支撑说明什么？答案 不在同一直线上的三点确定一个平面思考 2 一把直尺两端放在桌面上，直尺在桌面上吗？答案 直尺在桌面上思考 3 教室的墙面与地面有公共点，这些公共点有什么规律？答案 这些公共点在同一直线上梳理 (1)空间图形的
3、公理公理内容图形符号作用公理 1如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内(即直线在平面内)Al，Bl，且A，Bl用来证明直线在平面内公理 2过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面(即可以确定一个平面)A，B，C三点不共线存在唯一的使A，B，C用来确定一个平面公理 3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线P，Pl，且Pl用来证明空间的点共线和线共点(2)公理 2 的推论推论 1：一条直线和直线外一点确定一个平面(图)推论 2：两条相交直线确定一个平面(图)推论 3：两条平行直线确定一个平面(图)318 个平面重叠起来要比 6 个
4、平面重叠起来厚( )2空间不同三点确定一个平面( )3一条直线和一个点确定一个平面( )类型一 文字语言、图形语言、符号语言的相互转化例 1 根据图形用符号表示下列点、直线、平面之间的关系(1)点P与直线AB；(2)点C与直线AB；(3)点M与平面AC；(4)点A1与平面AC；(5)直线AB与直线BC；(6)直线AB与平面AC；(7)平面A1B与平面AC.考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化解 (1)点P直线AB.(2)点C直线AB.(3)点M平面AC.(4)点A1平面AC.(5)直线AB直线BC点B.(6)直线AB平面AC.(7)平面A1B平面AC直线AB.反
5、思与感悟 (1)用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语言表示，再用符号语言表示4(2)根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚线的区别跟踪训练 1 用符号语言表示下列语句，并画成图形(1)直线l经过平面内两点A，B；(2)直线l在平面外，且过平面内一点P；(3)直线l既在平面内，又在平面内；(4)直线l是平面与的交线，平面内有一条直线m与l平行考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化解 (1)A，B，Al，Bl，如图(2)l，Pl，P.如图(3)l，l.如图(4)l，m，ml.如图类
6、型二 平面的基本性质的应用命题角度 1 点线共面问题例 2 如图，已知：a，b，abA，Pb，PQa，求证：PQ.考点 平面的基本性质题点 线共面问题证明 因为PQa，所以PQ与a确定一个平面，所以直线a，点P.因为Pb，b，所以P.又因为a，P，所以与重合，所以PQ.引申探究将本例中的两条平行线改为三条，即求证：和同一条直线相交的三条平行直线一定在同一平面内5解 已知：abc，laA，lbB，lcC.求证：a，b，c和l共面证明：如图，ab，a与b确定一个平面.laA，lbB，A，B.又Al，Bl，l.bc，b与c确定一个平面，同理l.平面与都包含l和b，且blB，由公理 2 的推论知：经过
7、两条相交直线有且只有一个平面，平面与平面重合，a，b，c和l共面反思与感悟 在证明多线共面时，可用下面的两种方法来证明：(1)纳入法：先由部分直线确定一个平面，再证明其他直线在这个平面内(2)重合法：先说明一些直线在一个平面内，另一些直线也在另一个平面内，再证明两个平面重合跟踪训练 2 如图，已知l1l2A，l2l3B，l1l3C.求证：直线l1，l2，l3在同一平面内考点 平面的基本性质题点 线共面问题证明 方法一 (纳入平面法)l1l2A，l1和l2确定一个平面.l2l3B，Bl2.又l2，B.同理可证C.Bl3，Cl3，l3.直线l1，l2，l3在同一平面内方法二 (重合法)l1l2A，
8、l1和l2确定一个平面.l2l3B，l2，l3确定一个平面.Al2，l2，A.6Al2，l2，A.同理可证B，B，C，C.不共线的三个点A，B，C既在平面内，又在平面内平面和重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内命题角度 2 点共线、线共点问题例 3 如图所示，已知E，F，G，H分别是正方体ABCDA1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点求证：FE，HG，DC三线共点考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 如图所示，连接C1B，GF，HE，由题意知HC1EB，且HC1EB，四边形HC1BE是平行四边形，HEC1B.又C1GGC，CFBF，GFC1B，且GFC
9、1B.1 2GFHE，且GFHE，HG与EF相交设交点为K，KHG，HG平面D1C1CD，K平面D1C1CD.KEF，EF平面ABCD，K平面ABCD，K(平面D1C1CD平面ABCD)DC，EF，HG，DC三线共点反思与感悟 (1)点共线：证明多点共线通常利用公理 3，即两相交平面交线的唯一性，通过证明点分别在两个平面内，证明点在相交平面的交线上，也可选择其中两点确定一条直线，7然后证明其他点也在其上(2)三线共点：证明三线共点问题可把其中一条作为分别过其余两条直线的两个平面的交线，然后再证两条直线的交点在此直线上，此外还可先将其中一条直线看作某两个平面的交线，证明该交线与另两条直线分别交于
10、两点，再证点重合，从而得三线共点跟踪训练 3 已知ABC在平面外，其三边所在的直线满足ABP，BCQ，ACR，如图所示，求证：P，Q，R三点共线考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题证明 方法一 ABP，PAB，P平面.又AB平面ABC，P平面ABC.由公理 3 可知：点P在平面ABC与平面的交线上，同理可证Q，R也在平面ABC与平面的交线上P，Q，R三点共线方法二 APARA，直线AP与直线AR确定平面APR.又ABP，ACR，平面APR平面PR.B平面APR，C平面APR，BC平面APR.QBC，Q平面APR，又Q，QPR，P，Q，R三点共线.1用符号表示“点A在直线l上，
11、l在平面外” ，正确的是( )AAl，l BAl，lCAl，l DAl，l考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 B解析 点A在直线l上，Al.l在平面外，l.故选 B.82满足下列条件，平面平面AB，直线a，直线b且aAB，bAB的图形是( )考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 D3下列推理错误的是( )AAl，A，Bl，BlBA，A，B，BABCl，AlADA，B，C，A，B，C，且A，B，C不共线与重合考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 C解析 当l，Al时，也有可能A，如lA，故 C 错4如
12、图，l，A，B，C，且Cl，直线ABlM，过A，B，C三点的平面记作，则与的交线必通过( )A点A B点BC点C但不过点M D点C和点M考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 D解析 因为平面过A，B，C三点，M在直线AB上，所以与的交线必通过点C和点M.5.如图，已知D，E是ABC的边AC，BC上的点，平面经过D，E两点，若直线AB与平9面的交点是P，则点P与直线DE的位置关系是_考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 P直线DE解析 因为PAB，AB平面ABC，所以P平面ABC.又P，平面ABC平面DE，所以P直线DE.1解决立体几何问题首先应过好三
13、大语言关，即实现这三种语言的相互转换，正确理解集合符号所表示的几何图形的实际意义，恰当地用符号语言描述图形语言，将图形语言用文字语言描述出来，再转换为符号语言文字语言和符号语言在转换的时候，要注意符号语言所代表的含义，作直观图时，要注意线的实虚2在处理点线共面、三点共线及三线共点问题时初步体会三个公理的作用，突出先部分再整体的思想.一、选择题1下列有关平面的说法正确的是( )A平行四边形是一个平面B任何一个平面图形都是一个平面C平静的太平洋面就是一个平面D圆和平行四边形都可以表示平面考点 平面的概念、画法及表示题点 平面概念的应用答案 D解析 我们用平行四边形表示平面，但不能说平行四边形就是一
14、个平面，故 A 项不正确；平面图形和平面是两个概念，平面图形是有大小的，而平面无法度量，故 B 项不正确；太平洋面是有边界的，不是无限延展的，故 C 项不正确；在需要时，除用平行四边形表示平面外，还可用三角形、梯形、圆等来表示平面，故 D 项正确102.如图所示，用符号语言可表示为( )Am，n，mnABm，n，mnACm，n，Am，AnDm，n，Am，An考点 平面的概念、画法及表示题点 自然语言、符号语言与图形语言的互化答案 A解析 与交于m，n在内，m与n交于点A，注意符号语言的正确运用，故选 A.3如果空间四点A，B，C，D不共面，那么下列判断中正确的是( )AA，B，C，D四点中必有三点共线BA，B，C，D四点中不存在三点共线C直线AB与CD相交D直线AB与CD平行考点 平面的基本性质题点 点共线、线共点、点在线上问题答案 B解析 两条平行直线、两条相交直线、直线及直线外一点都分别确定一个平面4空间中四点可确定的平面有( )A1 个 B3 个C4 个 D1 个或 4 个或无数个考点 平面的基本性质题点 确定平面问题答案 D解析 当这四点共线时，可确定无数个平面；当这四点不共线且共面时，可确定一个平面；当这四点不共面时，其中
