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1、带电粒子在有界磁场中运动的八类问题带电粒子在磁场中的运动问题是高中物理的一个难点，也是高考的热点。 带电粒子在有界磁场中的运动问题，综合性较强， 解这类问题既要用到物理中的洛仑兹力、圆周运动的知识，又要用到数学中的平面几何中的圆及解析几何知识，对学生的各方面能力要求较高。在历年的高考试题中几乎年年都有这方面的考题。笔者在指导高三复习过程中，对带电粒子在有界磁场中的运动问题进行了专题复习，探究解题方法， 取得了良好的教学效果。下面按照有界磁场的形状对这类问题进行分类解析，供参考。一. 带电粒子在足够长的长方形磁场中的运动例 1如图 5 所示，一束电子（电量为e）以速度 V 垂直射入磁感强度为B，
2、宽度为d 的匀强磁场中，穿透磁场时速度方向与电子原来入射方向的夹角是30，则电子的质量是，穿过磁场的时间是。解析：电子在磁场中运动，只受洛仑兹力作用，故其轨迹是圆弧的一部分，又因为fV，故圆心在电子穿入和穿出磁场时受到洛仑兹力指向交点上，如图5 中的 O 点，由几何知识知，AB间圆心角 30， OB 为半径。r=d/sin30=2d，又由 r=mV/Be 得 m=2dBe/V又 AB圆心角是30，穿透时间t=T/12，故 t=d/3V。带电粒子在长足够大的长方形磁场中的运动时要注意临界条件的分析。如已知带电粒子的质量m 和电量e,若要带电粒子能从磁场的右边界射出，粒子的速度 V 必须满足什么条
3、件？这时必须满足r=mV/Bed,即 VBed/m. 二带电粒子在半无界磁场中的运动例 2 【2007 天津理综 19 】如图所示，在x 轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O 处以速度进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120 角，若粒子穿过y 轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的正负是A32aB，正电荷B 2aB，正电荷C32aB，负电荷D 2aB，负电荷【解析】依据左手定则知：粒子带负电；因B,所以粒子作匀速圆周运动，依据牛顿第二定律有2 q BmR, 由几何知识得sin30RRa,
4、解得粒子比荷32qmaB. 带电粒子的半无界磁场中的运动问题在高考试题中多次出现：如98和 99年全国高考物理试题第 24题、 2001年全国高考理科综合试题第30题等。B A B d VV300 O图 5三带电粒子在圆形磁场中的运动例 3、圆心为O、半径为r 的圆形区域中有一个磁感强度为B、方向为垂直于纸面向里的匀强磁场，与区域边缘的最短距离为L 的 O处有一竖直放置的荧屏MN，今有一质量为m 的电子以速率v 从左侧沿方向垂直射入磁场，越出磁场后打在荧光屏上之P 点，如图3 所示，求OP 的长度和电子通过磁场所用的时间。解析 ：电子所受重力不计。它在磁场中做匀速圆周运动，圆心为O，半径为 R
5、。圆弧段轨迹AB所对的圆心角为 ，电子越出磁场后做速率仍为v 的匀速直线运动，如图 4 所示，连结OB，OAOOBO，又 OAOA，故 OBOB，由于原有BPOB，可见 O、B、P 在同一直线上， 且 O OP=AOB=， 在直角三角形P中，OP=(L+r)tan，而 )2(tan1)2tan(2 tan 2，Rr)2tan(,所以求得R 后就可以求出OP 了，电子经过磁场的时间可用t=VRVAB来求得。由RVmBeV2得 R=tan)(.rLOPeBmVmVeBrRr)2tan(，22222 22)2(tan1)2tan(2 tanrBeVmeBrmV22222,)(2tan)(rBeVme
6、BrmVrLrLPO，)2arctan(22222rBeVmeBrmV)2arctan(22222rBeVmeBrmVeBmVRt带电粒子的圆形磁场中的运动问题在高考试题中多次出现：如94 年全国高考物理试题第 31 题、 2002 年全国高考理科综合试题第27 题等。四带电粒子在半圆形磁场中的运动例 4 【2007 宁夏理综24 （17 分） 】在半径为R 的半圆形区域中有一匀强磁场，磁场的方向垂直于纸面，磁感应强度为B。一质量为m，带有电量q 的粒子以一定的速度沿垂直于半圆直径AD 方向经 P点（ APd）射入磁场（不计重力影响）。M N O, LA O 图 3 P M N O, LA O
7、 图 4 R /2/2B P O/ ?如果粒子恰好从A 点射出磁场，求入射粒子的速度。?如果粒子经纸面内Q 点从磁场中射出， 出射方向与半圆在Q 点切线方向的夹角为（如图）。求入射粒子的速度。【解析】由题知粒子在匀强磁场中作匀速圆周运动。? 依据洛 伦兹力公式、向 心力公式及牛顿第二定律有20q Bmr, 由 “ 粒 子 恰 好 从A 点 射 出 磁 场 ” 知 粒 子 轨 道 半 径02dr, 解得粒子入射速度 2qBdm。?依据洛伦兹力公式、向心力公式及牛顿第二定律有2 1 1qBmr, 粒子从 Q 点射出磁场时，其轨迹中心在直径AD 上的O点，如图所示。连接O Q，设轨迹半径为 r，在
8、OO Q 中， Q=，OQ=R，O Q=r，OO=R-(d-r)= R+r-d，由余弦定理得222()2cosRrdRrRr，解得221 cosdRdrRd, 由式得1221cosqdBRdm Rd。五带电粒子在正方形磁场中的运动例 5长为 L 的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图6 所示，磁感强度为B，板间距离也为L，板不带电，现有质量为m，电量为q 的带正电粒子 (不计重力 )，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度V 水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是：A使粒子的速度V5BqL/4m；C使粒子的速度VBqL/m；D使粒子速度BqL/4m5BqL/4m 时粒子能从右边穿
9、出。粒子擦着上板从左边穿出时，圆心在O点，有r2L/4，又由 r2mV2/Bq=L/4 得 V2BqL/4m V2BqL/4m 时粒子能从左边穿出。综上可得正确答案是A、B。六带电粒子在环状磁场中的运动例 6核聚变反应需要几百万度以上的高温，为把高温条件下高速运动的离子约束在小范围内（否则不可能发生核反应），通常采用磁约束的方法（托卡马克装置）。如图 7 所示，环状匀强磁场围成中空区域，中空区域中的带电粒子只要速度不是很大，都不会穿出磁场的外边缘而被约束在该区域内。设环状磁场的内半径为R1=0.5m，外半径 R2=1.0m，磁场的磁感强度B=1.0T，若被束缚带电粒子的荷质比为q/m=4710
10、C/，中空区域内带电粒子具有各个方向的速度。试计算（1）粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度。（2）所有粒子不能穿越磁场的最大速度。解析： （1） 要粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场，则粒子的临界轨迹必须要与外圆相切,轨迹如图8 所示。由图中知2 122 12 1)(rRRr，解得mr375. 01由12 1 1rVmBqV得smmBqrV/105.171 1所以粒子沿环状的半径方向射入磁场，不能穿越磁场的最大速度为smV/105.17 1。（ 2）当粒子以V2的速度沿与内圆相切方向射入磁场且轨道与外圆相切时，则以 V1速度沿各方向射入磁场区的粒子都不能穿出磁场边界，
11、如图9 所示。由图中知mRRr25.0212 2由22 2 2rVmBqV得smmBqrV/100 .172 2所以所有粒子不能穿越磁场的最大速度smV/100. 17 2七带电粒子在有“圆孔”的磁场中运动例 7、如图 10 所示，两个共轴的圆筒形金属电极，外电极接地，其上均匀分布着平行于轴线的四条狭缝a、b、c 和 d，外筒的外半径为r，在圆筒之外的足够大区域中有平行于轴线方向的均匀磁场，磁感强度的大小为B。在两极间加上电压， 使两圆筒之间的区域内有沿半径向外的电图 8 r1 图 9 OO2 a b c d S o 图 10 场。一质量为、带电量为q 的粒子，从紧靠内筒且正对狭缝a 的 S点
12、出发，初速为零。如果该粒子经过一段时间的运动之后恰好又回到出发点S，则两电极之间的电压U 应是多少？（不计重力，整个装置在真空中）解析：如图11 所示，带电粒子从S点出发，在两筒之间的电场作用下加速，沿径向穿过狭缝a 而进入磁场区， 在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动。粒子再回到S点的条件是能沿径向穿过狭缝d.只要穿过了d，粒子就会在电场力作用下先减速，再反向加速，经d 重新进入磁场区，然后粒子以同样方式经过c、b，再回到S 点。设粒子进入磁场区的速度大小为 V，根据动能定理，有221mVqU设粒子做匀速圆周运动的半径为R，由洛伦兹力公式和牛顿第二定律，有RVmBqV2由前面分析可知， 要回到 S
13、点， 粒子从 a 到 d 必经过 43圆周，所以半径 R 必定等于筒的外半径r，即 R=r.由以上各式解得; mqrBU222. 八在相反方向的两个有界磁场中的运动带电粒子例 8 【2007 全国理综 25 （22 分） 】两平面荧光屏互相垂直放置，在两屏内分别取垂直于两屏交线的直线为x轴和y轴，交点O 为原点，如图所示，在0y，0xa的区域有垂直于纸面向里的匀强磁场，在0y，xa的区域有垂直于纸面向外的匀强磁场，两区域内的磁感应强度大小均为B.在 O 点有一处小孔，一束质量为m、带电量为q(0q)的粒子沿x轴经小孔射入磁场，最后打在竖直和水平荧光屏上，使荧光屏发亮， 入射粒子的速度可取从零到
14、某一最大值之间的各种数值.已知速度最大的粒子在0xa的区域中运动的时间与在xa的区域中运动的时间之比为2:5，在磁场中运动的总时间为712T，其中T为该粒子在磁感应强度为B的匀强磁场中作圆周运动的周期。试求两个荧光屏上亮线的 范围（不计重力的影响）. 解：该题属于带电质点在匀强磁场中的运动问题。依据左手定则知粒子刚进入磁场时所受洛伦兹力沿y轴向上，所以粒子将向上偏转；又粒子入射方向与磁场方向垂直，所以粒子在垂直磁场的平面内即纸平面内做匀速圆周运动。依据洛伦兹力、向心力公式及牛顿a b c d S o 图 11 第二定律有2 q BmR解得mRqB，即R，速度大的粒子轨道半径大，在0xa区域的最
15、大半径mRa。对于速度更大的粒子将会进入xa的区域，不能打到y 轴所在的荧光屏上。y方向光屏亮线范围如图1 所示：带电粒子的轨迹与直线xa相切，此时ra， y 轴上的最高点坐标为22yRa； 所以 y 方向荧光屏上亮线的范围为02ya。x 轴上光屏亮线范围如图2 所示：左边界的极限情况是与直线x=a 相切的圆跟x 轴的切点D ，由几何知识知D点在 x 轴上的坐标为x=2a；设速度最大的粒子的运动径迹如图2 中的实线所示，由两段圆弧组成，圆心分别是C和C， 由对称性知Px轴, 所以C在 x 轴上，又 mCMMCR, 可见C与点 D重合。设速度最大的粒子在左右两部分磁场中经历时间的分别为1t和2t
16、, 则有1225tt12712ttT解得116tT（2512tT）。设粒子在左边磁场中的方向偏角为，综上所述，各题中运动的带电粒子垂直进入有界的匀强磁场，若仅受洛仑兹力作用时，它一定做匀速圆周运动，这类问虽然比较复杂，但只要准确地画出轨迹图，并灵活运用几何知识和物理规律，找到已知量与轨道半径R、周期T的关系，求出粒子在磁场中偏转的角度或距离以及运动时间不太难。练习： 1. （1983年高考试题）一个负离子，质量为m，电量大小为 q，以速率 V垂直于屏S经过小孔 O射入存在着匀强磁场的真空室中(如图 1).磁感应强度 B的方向与离子的运动方向垂直 ,并垂直于图 1中纸面向里 . (1)求离子进入磁场后到达屏S 上时的位置与 O点的距离 . (2)如果离子进入磁场后经过时间t到达位置 P,证明 :直线 OP与离子入射方向之间的夹角跟t的关系是t mqB2。解析：
