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1、30 数学通报 2014年 第53卷 第11期 高中生对负数大小关系的理解 林佳乐 汪晓勤 (华东师范大学数学系 200241) l问题的提出 历史卜。数学家对负数大小关系的理解，经历 _rl一个漫长、曲折的过程希腊学者Thomaidis 和Tzanakis曾对此作了考察 ，表1总结了数学 家的一些错误观点 表I 历史上数学家对数轴上数的大小关系的理解 数学家 结果 比较策略 两个负整数各加上一个 最小正整数，使其变为正 筒 儿 一4 1 数，通过所加之数的大小 来比较负数的大小 通过与原点的距离来比 牛顿 一l1 较大小离原点越远，有 理数越大 ，”0，若zE(0，a)， 1； 波尔查诺 贝
2、0 z9和 。Y。( ，YR)，关于 z，Y我们可以分别得出什么结论? (3)如果n，b，C是三个负整数，存在一个最小 的整数，使得a，b，C加上这个整数后均为正数，请 问这个最小的整数是什么? 对203名学生依次进行编号，按学生所用的 策略对学生的解答进行分类整理、统计和分析 3研究结果 31 总体测试结果 表3给出两个年级的总体测试结果 表3总体测试结果(百分比) 正确 部分正确 错误 空白 题次 问题 商一 高三 商一 高三 高一 高三 高一 高三 -z 9 51O 907 O O 49O 93 0 0 1 。 389 333 208 222 349 352 54 93 3 最小整数问题
3、 94 185 54 37 664 574 188 204 从表中可见，在第1题上，高一学生正确率接 近5O 96，而高三学生的正确率明显高于高一学 生，达到9O 和85 第2题的正确率明显低于 第1题，两个年级学生的正确率、错误率以及部分 正确的百分比也都相差不大，相比于第1题，本题 正确率明显偏低第3题的正确率急剧下降，但 高三学乍的正确率更高一些整体上看，学生对 于有理数的大小关系比较掌握并不理想 32对测试结果的分析 321第1题测试结果分析 本题是一道比较简单且常规的不等式问题， 无论是高一学生还是高三学生，学生的求解策略 比较单一，具体见表4从表中可见，大部分被试 均采用直接开方法
4、，其次是因式分解法，而这两种 方法也是课本中的常用方法采用开方法的被 试，正确率不高，仅为570 ；采用因式分解法的 被试，正确率为100 ；另外极少数同学使用的求 根法正确率也为100 给出错误答案的被试中， 很大一部分由z 9直接得出z3，这种错 误与历史上数学家波尔查诺、阿贝尔的策略类 似 表4被试对第1题的回答(百分比) 代表性回答 类别 策略 百分比 正确率 正确 错误 1 开方法 z 9 3或z9 z3 847 570 z。9 (z一3)(z+3)0 2 因式分解法 103 1OO z3或-z3或zl Y l 325 97O z。Y； 当z，Y0时，zY 4 分类讨论法 3O0 2
5、33 当z0，Y0时，z0时，f l9) Y ) 正确 27 32 7 11 23 11 部分 0 0 2O 7 20 2O 正确 错误 73 68 63 71 30 32 空白 O 0 10 l1 27 36 中国学生在第12上的正确率相对较高，而 在第3题上的正确率并没有比希腊学生高，说明 学生在数轴上数的大小关系的理解上还存在较大 的困难 在第1题上，两国学生采用开方法和因式分 解法都较多利用开方法，两国学生由z 9得出z3，与历史 上波尔查诺、阿贝尔等数学家的观点类似；中国学 生的比率稍高于希腊学生希腊学生中，部分被试 采用了文字叙述策略，而中国学生并没有采用该 策略 对于第2题，部分
6、中国学生将y看成是正数 来处理，或者只考虑正半轴情形，忽略负半轴情 形，这与部分希腊学生答案类似 对于第3题，希腊学生容易混淆“，b，f三个 数中的最大、最小数，其错误与历史上牛顿等数学 家的错误类似，而中国学生则几乎无此错误很 多学生并没有给出题中所求的最小整数，而是相 当于给出一个范围，认为所求数比一a，b，一c 都要大，出现最多的错误是一abc或 I a+b+c f本题中，希腊学生G1组的正确率 是G2组正确率的两倍，但中国学生的表现刚好 相反，高三组正确率是高一组正确率的两倍 4研究结论与启示 本研究表明，高中生在负数的大小关系上存 在一定障碍，特别是当题中给出的是大小关系不 确定的字
7、母表示的量，而非确切的数字时，学生遇 到很大困难即便是分情况讨论，往往也会考虑 (下转第38页) 38 数学通报 2014年 第53卷 第11期 讨论一个函数的性态，至少应包括其定义域、值 域、单调性、奇偶性、周期性、凹凸性、拐点、渐近 线、极值、最值等诸多性质，只有将函数的这些性 态都搞清楚了，才能正确地作出其图像，避免数形 结合解题导致的错误这在我们今后的学习中，要 引起高度的重视 4感悟让纠错成为习惯 学生受知识背景、思维方式、情感体验、表达 形式、运算能力等因素的影响，学习过程中势必会 出现这样那样的错误如何对待学生学习中的错 误，是一个值得我们深入探讨的问题“错”往往孕 育着比“正确
8、”更丰富的内涵和创造因素，在平时 的教学中，教师要积极应对学生的错误，用心去捕 捉和发现学生学习中的错误，提炼错误中的有用 成分，充分利用好错误资源，通过研究错误产生的 根源，深刻反思教学的得失，将纠错当作一种习 惯，让错误生辉，引领学生走出错误，获取成功 英国心理学家贝恩布里说过：“差错人皆有 之，而作为教师，对学生的错误不加以利用则是不 能原谅的”面对学生出现的错解，教师怎样才能 有效地帮助学生认识产生错误的原因，使学生从 错误中走出来呢?许多老师喜欢采用“告诉”的方 法，一是针对学生解题出现的错误，进行集中讲 评，告知学生错冈和注意事项，要求学生不要再犯 类似的错误，称为“亡羊补牢”；二
9、是对学生容易出 错的问题，提前暗示，事先指出，叫做“防患于未 然”但效果怎样呢?往往是学生听起来懂，做起 来错，学生责怪自己粗心，教师埋怨学生太笨，果 真如此吗?症结何在? 建构主义认为：知识不是通过教师传授得到 的，而是学习者在一定的情境下，借助教师和学习 伙伴等其他人的帮助，利用必要的学习材料，通过 意义建构的方式而获得正如著名的特级教师马 明先生所说的那样：“犹如抛盘子节目，老师抛得 越快，学生丢得也越快”犯错误校正错误的过程 也是一种学习，对错误的认识也应该由学生自己 建构起来，成功的乐趣只有在经历失败的痛楚后 才能获得更深切的体验 错误往往是正确的先导，错误也往往是发现 的先导，学生
10、的“错解”有其内在的合理性，从学生 的“错解”中拣出合理的成份，寻找出致错的根源， 探索出正确的解法，总结出新的规律和结论，让学 生“从跌倒的地方自己爬起来”，符合人类认识世 界、改造世界的客观规律从学生的错误中发现 “闪光点”，变告诉为探索，以探索释疑，让学生在 探索、合作和交流中学习和感悟，应该是帮助学生 纠正错误和走出错误的最为有效的方法 (上接第33页) 不周全，出现漏解现象究其原因，是教师在教学 中对于确定数字的不等式介绍得比较多，而带有 字母的不确定量的大小关系比较相对少所以， 建议教学过程中适当加入含有字母的不等式，从 学生所用策略中，分析困错误成因，为教学服务， 从而加深学生对
11、这部分知识的理解 从历史相似性观点来看，中国学生与希腊学 生表现类似对于刚学习这部分知识的学生来 说，历史相似性较为明显，而对于已学习过这部分 知识的学生来说，历史相似性几乎不存在希腊 学牛在第3题上的回答反映出他们在比较负数大 小时的困难，Thomaidis和Tzanakiss认为，一些 学生的想法与牛顿、笛卡儿或欧拉相似而中国 学生在本题上并没有显示出历史相似性对于第 12题，学生的错误答案大多反映了历史相似 性，这一点与希腊学生不同Thomaidis和Tza nakis认为，过多的教学因素限制了学生对问题的 解决，但中国学生并未表现出这一点 参考文献 1 Thomaidis，Y，Tzan
12、akis，C Fhe notion of“parallelism”re visited：historical evolution and studentsconception of the order relation on the number line EJEducational Studies in Mathematics，2007，66：165一l83 2 汪晓勤等从一次测试看关于学生认知的历史发，I：原 J 数学教育学报，2005，3：3033 3汪晓勤等高中 对实无穷的理解J数学教育学报， 2O06，4：90 93 4任明俊等高叶1生对函数概念的理解：历史相似性初探J 数学教育学报，2007，4：8487 5 蒲淑萍等学生对字母的理解：历史相似性研究 数学教 育学报，2012，3：3842
