《高考数学（精讲+精练+精析）专题3_2 积分与微积分基本定理试题 理（含解析）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学（精讲+精练+精析）专题3_2 积分与微积分基本定理试题 理（含解析）（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、专题专题 3.23.2 积分与微积分基本定理积分与微积分基本定理【三年高考三年高考】1. 【2015 高考湖南，理 11】2 0(1)xdx .【答案】0.【解析】0)21() 1(22200xxdxx.2.【2015 高考陕西，理 16】如图，一横截面为等腰梯形的水渠，因泥沙沉积，导致水渠截面边界呈抛物线型（图中虚线表示） ，则原始的最大流量与当前最大流量的比值为 【答案】1.2【解析】建立空间直角坐标系，如图所示：原始的最大流量是110 102 22162 ，设抛物线的方程为22xpy（0p ） ，因为该抛物线过点5,2，所以2225p，解得25 4p ，所以225 2xy，即22 25y
2、x，所以当前最大流量是532353 55222240222 55255257575753xdxxx ，故原始的最大流量与当前最大流量的比值是161.240 3，所以答案应填：1.23.【2015 高考天津，理 11】曲线2yx 与直线yx 所围成的封闭图形的面积为 .【答案】1 6xy4. 【2014 江西高考理第 8 题】若120( )2( ),f xxf x dx则10( )f x dx （ ）A.1 B.1 3 C.1 3D.1【答案】B5. 【2014 山东高考理第 6 题】 直线34xyxy与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为（ ）A.22 B.24 C.2 D.4【答案】D【解
3、析】由已知得，23242 001(4)(2)|44Sxx dxxx，故选D.6. 【2014 陕西高考理第 3 题】定积分10(2)xxe dx的值为（ ）.2Ae .1Be .C e .1De【答案】C【解析】1212120 00(2)()|(1)(0)xxxe dxxeeee，故选C【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 定积分属于理科内容，从近几年的高考试题来看，定积分重点考查定积分的应用，利用定积分求值，求面积，题型为选择题或填空题【2017 年高考复习建议与高考命题预测】定积分可以看作是导数在某一区间上的逆运算它是新课标新增加的内容之一，在以前的课本中没有出现定积分的概念，在高
4、考中主要考查定积分的计算和定积分的几何意义，多为容易题，一般每年出一道题,有时和二项式结合出题,因此在 2017 年复习备考中,只须掌握积分的概念,积分的运算,会用积分求面积,体积即可.由于在 2016 年的高考试题中积分没出题,预测 2017 年高考对定积分考查，可能是利用定积分求值，或与几何概型结合出题，利用定积分来求封闭图形的面积【2017【2017 年高考考点定位年高考考点定位】高考对定积分的考查主要有定积分的计算和定积分的几何意义,作为新增内容,它是大学微积分的基础,很受出题人的青睐,故在复习时应引起重视考点一、求已知函数的定积分考点一、求已知函数的定积分【备考知识梳理备考知识梳理】
5、1、定积分的概念如果函数 f x在区间, a b 上连续，用分点011iinaxxxxxbL将区间, a b 等分成n个小区间，在每个小区间1,iixx上任取一点1,2,iiL L ，n ,作和式 11nnii iibafxfn ，当n 时，上述和式无限接近某个水常数，这个常数叫做函数在区间上的定积分，记作 baf x dx，即 1limnbianibaf x dxfn 2、微积分基本定理如果 f x是区间, a b上的连续函数，并且 Fxf x ，那么 baf x dxF bF a,这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿莱布尼兹公式.3、定积分的基本性质（1） =kbbaakf x dxf
6、x dx,其中k 为常数（2） bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx（3） bcbaacf x dxf x dxf x dx,其中acb 【规律方法技巧规律方法技巧】1.求函数 f x的定积分，关键是求出函数 f x的一个原函数 F x，即满足 Fx f x正确运用求导运算与求原函数运算互为逆运算的关系2.计算简单定积分的步骤(1)把被积函数变为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的和或差；(2)利用定积分的性质把所求的定积分化为若干个定积分的和或差；(3)分别用求导公式找到F(x)，使得F(x)f(x)；(4)利用牛顿莱布尼兹公式求出各个定积分的值；(5)计算所求定积
7、分的值3.求导运算与求原函数运算互为逆运算，求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.【考点针对训练考点针对训练】1.1.【2016 届吉林大学附中高三第二次模拟】121( 1)dxxx （ ）（A）4（B）2（C）3（D）12【答案】B【解析】依题意112111022x dxxdx，其中21yx表示的是单位圆的上半部分.2.2. 【2016 届辽宁省锦州市高三下学期质量检测二】已知22cosaxdx,则二项式6 2axx的展开式中3x的系数为（ ）A20 B20 C160 D160【答案】C考点二、求分段函数的定积分考点二、求分
8、段函数的定积分【备考知识梳理备考知识梳理】1、分段函数的定积分(1)分段函数在区间, a b 上的定积分可分成几段定积分的和的形式(2)分段的标准是使每一段上的函数表达式是确定的，一般按照原函数分段的情况分，无需分得过细2、奇函数与偶函数在对称区间上的定积分若 f x为偶函数，且在关于原点对称的区间, a a上连续,则 02aaaf x dxf x dx 若 f x为奇函数，且在关于原点对称的区间, a a上连续,则 0aaf x dx 【规律方法技巧规律方法技巧】分段函数在区间, a b上的定积分可分成几段定积分的和的形式. 分段的标准只需依据已知函数的分段标准即可【考点针对训练考点针对训练
9、】1.求函数 3011421445xxxf xxxx 在区间0,5 上的定积分.【答案】16109 ln2122.【2016 届海南师范大学附属中学高三临考模拟】设 ,2 , 1 ,1 , 0,sin)(2xxxxxf则20)(dxxf等于（ ）A1cos37 B1cos310 C1cos37 D1cos310【答案】B【解析】2122132 010011710( )sincos1cos1cos1333f x dxxdxx dxxx ，选 B.考点三、定积分的几何意义考点三、定积分的几何意义【备考知识梳理备考知识梳理】1、当函数 f x在区间, a b上恒为正时，定积分 baf x dx的几何
10、意义是直线,0xa xb y 和曲线 yf x围成的曲边梯形的面积；2、一般情况下，定积分 baf x dx的几何意义是介于x 轴、曲线 yf x和直线,xa xb之间的曲边梯形的面积的代数和，其中在x 轴上方的面积等于该区间上定积分值，x轴下方的面积等于该区间上定积分的相反数.【规律方法技巧规律方法技巧】1.1.利用定积分求平面图形面积的关键是画出几何图形，结合图形位置，确定积分区间以及被积函数，从而得到面积的积分表达式，再利用微积分基本定理求出积分值2. 定积分的应用及技巧：(1)对被积函数，要先化简，再求定积分(2)求被积函数是分段函数的定积分，依据定积分的性质，分段求定积分再求和(3)
11、对含有绝对值符号的被积函数，要去掉绝对值符号才能求定积分(4)应用定积分求曲边梯形的面积，解题的关键是利用两条曲线的交点确定积分区间以及结合图形确定被积函数求解两条曲线围成的封闭图形的面积一般是用积分区间内上方曲线减去下方曲线对应的方程、或者直接作差之后求积分的绝对值，否则就会求出负值易错提示 在使用定积分求两曲线围成的图形的面积时，要注意根据曲线的交点判断这个面积是怎样的定积分，既不要弄错积分的上下限，也不要弄错被积函数用微积分基本定理求定积分时，要掌握积分与导数的互逆关系及求导公式的逆向形式3.定积分的应用主要有两个问题：一是能利用定积分求曲边梯形的面积；二是能利用定积分求变速直线运动的路
12、程及变力做功问题，其中，应特别注意求定积分的运算与利用定积分计算曲边梯形面积的区别.【考点针对训练考点针对训练】1.1.【2016 届山东省东营市胜利一中高三最后一卷】如图所示，由函数 sinfxx与函数 cosg xx在区间30,2 上的图象所围成的封闭图形的面积为（ ）A3 21 B4 22 C2 D2 2【答案】D【解析】由 sinfxx和 cosg xx在30,2 的交点坐标为)22,45(),22,4(，两函数图象所围成的封闭图形的面积为dxxxdxxxdxxxS)sin(cos4523)cos(sin445)sin(cos 04224523)cos(sin445)cos(sin 0
13、4)cos(sin xxxxxx.故选 D.2.【2016 届安徽省六安一中高三下组卷三】函数 2242,20, 02xxf x xxx 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为（ ）A5 B1 C3 D1【答案】A【应试技巧点拨应试技巧点拨】1. 利用定积分求曲边图形面积时，一定要找准积分上限、下限及被积函数当图形的边界不同时，要分不同情况讨论2求曲边图形面积的方法与步骤（1）画图，并将图形分割为若干个曲边梯形；（2）对每个曲边梯形确定其存在的范围，从而确定积分的上、下限；（3）确定被积函数；（4）求出各曲边梯形的面积和，即各积分的绝对值的和3. 定积分 baf x dx的几何意义是介于x轴、曲
14、线y f x以及直线,xa xb之间的曲边梯形面积的代数和 ，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数,所以在用定积分求曲边形面积时，一定要分清面积与定积分是相等还是互为相反数.二年模拟1. 【2016 届山西省榆林市高三二模】设1211mx dx ，若将函数 sinf xx的图像向左平移m个单位后所得图像与原图像重合，则的值不可能为（ ）A4 B6 C8 D12【答案】B2. 【2016 届山东省师大附中高三最后一模】设函数 20f xaxb a，若200( )2 ()f x dxf x，00x ，则0x等于( )A.3 3B.2 3 3C.3 2D.3【答案】B【解析】函数 20f xaxb a，2 002f xdxf x（）（）， 2232 0002 08|232 23aaxb dxxbxabf xaxb，（），2 0
