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1、,第4章 插 值 与 逼 近,摘 要,本文主要介绍了插值方法中的多项式插值方法,插值方法是数值分析中的一个简单而又重要的方法，利用该方法可以通过函数在有限个点处的函数值求出其近似函数，进而估算出函数在其它点处的值,插值方法在离散数据处理、函数的近似表示、数值微分、数值积分、曲线与曲面的生成等方面有重要的应用,1.1.1 插值问题,构造一个简单易算的函数，使其满足下述条件：,(4-1),(4-2),1.1 引 言,设已知函数在上个互异点处的函数值和导数值,以上问题称作插值问题，,称为插值节点，,（4-2）称为插值条件。,在插值法中需考虑的问题：,简单函数类的选取问题 存在唯一性问题 余项估计问题
2、 收敛性问题,1.1.2 Lagrange插值基本概念,我们的目标是找一个简单的函数，例如多项式函数,使之满足条件,即在给定点 处， 与 是相吻合的。,假设 是定义在区间 上的未知或复杂函数, 但已知该函数在互异点,处的函数值,(4-3),条件(4-3)称为插值条件,并把求 的过程称为插值法。,把 称为 的插值多项式(函数),通常把 称为插值节点,称为被插函数.,称为插值区间,设, ,由插值条件可得,显然，其系数是满足Vandermorde（范德蒙）行列式,，满足,这实际上就证明了代数多项式插值的存在唯一性。,4.2.1 Lagrange插值公式,的情形，,且,构造一次多项式,，满足条件：,考
3、虑,给定,由直线的两点式可知：,，解之，得,进一步可改写成,其中,分别称其为关于节点 和 的插值基函数。,并且具有性质：,从而，,满足插值条件条件：,插值基函数的个数=插值节点的个数；,注意：,插值基函数的次数=插值节点的个数-1；,插值基函数决定着插值多项式满足插值条件；,插值基函数与插值节点的次序无关。, 满足条件：,且,构造二次多项式,给定,进一步写成,其中,，均为二次的插值基函数多项式，且满足,下面我们 以为例来确定出：,由条件,可知,其中A为待定系数。又由,，可得,从而，,同理，,是 的两个根，从而,进而满足条件的二次Lagrange插值多项式为：,设 是 上的 个互异点，取,(4-
4、6),其中,显然,(4-7),称为 次Lagrange插值基函数,就是 多项式空间 中满足插值条件,从而,的唯一的多项式，,，并利用,解,首先计算插值基函数：,例1,于是,在插值问题中，为了提高插值精度，有时需增加插值节点个数插值节点个数发生变化后，所有的Lagrange插值基函数都会发生变化，从而整个Lagrange插值多项式的结构发生变化，这在计算实践中是不方便的为了克服Lagrange插值多项式的缺点，能灵活地增加插值节点，使其具有“承袭性”，我们引进Newton插值公式。,4.2.2 Newton插值公式,，将基函数取作：,上的函数值,(4-8),(4-9),来确定,差商展开式！,例如
5、，,时，,，由插值条件:,可得,从而,时，应有,由,得,的一般表达式，我们给出均差的定义。,即,实际上，由于插值多项式的唯一性，Newton插值多项式只不过是Lagrange插值多项式的另一种表现形式，两者是可以互推的。为得到Newton插值多项式的一般表达式, 即, 称,(4-11),(4-12),均差有如下性质：,，其中,1,对称性，即在,中任意调换,的位置时，均差的值不变, 即,意味着上式求和的次序的改变，而其值不变。,为自然数，则,3,诸 的齐次函数，,2,若,事实上，由1可以看出任何两个节点调换顺序，只是,4,此处,练习，,，求,和,解:,若,次Newton插值多项式公式：,从而我们
6、可以构造出,为了便于计算均差，常利用如下形式生成均差表：,例2,已知,注意：,求 关于上述,节点组的三次插值多项式,解 首先利用均差表计算均差,由上面的均差表可知，,故所求的插值多项式为：,例 3,已知,求 关于上述节点组的插值多项式,解 首先利用均差表计算均差,由上面的均差表可知，,故所求的插值多项式为：,插值余项,定理4.2,其中,(4-14),证明：因为,有,个互异根,所以,有,个互异根,（Rolle定理），,有一个根,使得,又注意,便知,递推地得到：,从而,求牛顿2次插值多项式，使其在,处与,的值相同。,4.5 正交函数族在逼近中的应用,4.5.1 正交多项式简介,对于 上的连续函数
7、，定义内积：,其中可积函数(x)0（xa,b）是权函数。,连续函数 和 的内积满足：,，当且仅当 时，,（1）,（2）,（3）,（4）,给定线性无关的函数组,若 ,正交多项式系,可用如下Schmidt正交化过程得到正交向量系：,易证：,其中,可以证明,线性相关,因此，,是正交向量系。,并且,最后，得到标准正交向量系：,进行正交化即得正交多项,特别取多项式系,式系：令,取,则 构成正交多项式系。,例1，,解,求 上关于 二次正交多项式族。,取,下面验证 和 俩俩相互正交。,事实上，,例2，,解,求 上关于 二次正交多项式族。,取,正交多项式的一些重要性质：,性质 2,性质 3,性质2和性质3是构
8、造Gauss型求积公式的重要依据,性质 1,恰好是n次多项式，,是 的一组基底函数。,在 内恰有 个互异零点。,与次数低于 次的所有多项式正交。,4.5.2 函数的最佳平方逼近,设,求,使得,这等价于求多元函数的极小值点：,称为法方程组。经常是病态的。但是，如果用标准正交多项式,，则法方程组矩阵为,单位阵，且,就是,的正交展开式,4.5.3 数据拟合的最小二乘法,这些数据往往带有随机的误差，如果利用这些数据按插值法求,与实际不符的结果。,的近似表达式，必然将误差带入函数关系式中，甚至可能得到,函数关系,例如，,称为散点图）时，这些点可能并不共线（但这些点又必然在直线,的周围），因此插值多项式不
9、会是线性函数只能另,而在xOy坐标平面上将以这组数据为坐标的点描出来（所得图形,问题的好方法。,使其满足,简称最小二乘法，,显然，求解,等价于求多元函数,的最小值点,令,得,即,进一步有，,称此方程组为法方程组。,写成矩阵形式为,可由Gramer法则求解该方程组，即得,根据散点图中散点的分布情况或根据经验确定拟合,建立并求解法方程组。,用最小二乘法做数据拟合问题的步骤是：,的曲线的类型；,求拟合下列数据的最小二乘曲线,例3,法方程组为：,解,解得,故所求直线方程是,即,以上讨论的是线性最小二乘拟合问题，即拟合函数是待定参量的线性函数，法方程组是线性方程组。但有时也会遇到非线性情形。,或,例如，
10、已知拟合曲线方程的形式为,或,此时法方程组是非线性方程组（求解比较困难）：,和,我们可按如下方式将非线性问题转为线性问题：,取,，记,取,，记,或,则上述非线性问题就变为由观测数据,求最小二乘拟合曲线,或,这是个线性问题。,其中,其中,或,，令,那么 相应的值,求拟合下列数据的最小二乘曲线,取,例4,解,求最小二乘拟合曲线，,如表中所示。,则上述问题化为,即,解得,又,，故所求曲线是,又例如，拟合曲线方程的形式为,或,可设,，则得,又设,，则得,。,也可以利用正交多项式！,约瑟夫路易拉格朗日 (Joseph Louis Lagrange，17361813）,法国数学家、物理学家,1755年拉格
11、朗日发表第一篇论文“极大和极小的方法研究”，发展了欧拉所开创的变分法，为变分法奠定了理论基础。1756年，受欧拉的举荐，拉格朗日被任命为普鲁士科学院通讯院士。1783年，被任命为都灵科学院名誉院长。出任法国米制委员会主任。制定了被世界公认的长度、面积、体积、质量的单位，拉格朗日为此做出了巨大的努力。1791年，拉格朗日被选为英国皇家学会会员，又先后在巴黎高等师范学院和巴黎综合工科学校任数学教授。1795年建立了法国最高学术机构法兰西研究院后，拉格朗日被选为科学院数理委员会主席。他自己的一系列研究工作包括，编写了一批重要著作：论任意阶数值方程的解法、解析函数论和函数计算讲义。,他是参议员，帝国伯
12、爵，并被授予帝国大十字勋章。,18世纪最伟大的科学家之一。在数学、力学和天文学三个学科,领域中都有历史性的贡献，其中尤以数学方面的成就最为突出。,拉格朗日科学研究所涉及的领域极其广泛。他在数学上最突出的贡献是使数学分析与几何与力学脱离开来，使数学的独立性更为清楚，从此数学不再仅仅是其他学科的工具。拉格朗日在代数方程和超越方程的解法上，作出了有价值的贡献，推动了代数学的发展。最终解决了高于四次的一般方程为何不能用代数方法求解的问题。因而也可以说拉格朗日是群论的先驱。在解析函数论以及他早在1772年的一篇论文中，他用幂级数表示函数的处理方法对分析学的发展产生了影响，成为实变函数论的起点。拉格朗日也
13、是分析力学的创立者。拉格朗日在其名著分析力学中，在总结历史上各种力学基本原理的基础上，发展达朗贝尔、欧拉等人研究成果，引入了势和等势面的概念，建立了拉格朗日方程，把力学体系的运动方程从以力为基本概念的牛顿形式，改变为以能量为基本概念的分析力学形式，奠定了分析力学的基础，为把力学理论推广应用到物理学其他领域开辟了道路。拉格朗日用自己在分析力学中的原理和公式，建立起各类天体的运动方程。在天体运动方程的解法中，拉格朗日发现了三体问题运动方程的五个特解，即拉格朗日平动解。此外，他还研究彗星和小行星的摄动问题，提出了彗星起源假说等。近百余年来，数学领域的许多新成就都可以直接或间接地溯源于拉格朗日的工作。所以他在数学史上被认为是对分析数学的发展产生全面影响的数学家之一。,设 是 上的 个互异点，取,其中,显然,称为 次Lagrange插值基函数,(4-6),(4-7),
