材料力学13能量法

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1、前面讨论了求简单结构的位移：,三角架以切代弧,梁积分法（繁琐）、叠加法（不方便）,在外力作用下，利用功能原理求结构指定点位移的方法叫能量法。,局限性,1、能量法：,第十三章 能量法,能量法的特点,1解题简单、适用性广；,2不受材料和形状限制，适用于线弹性、非线性和塑性问题；（只讨论线弹性问题）,3可求解静定与超静定问题；,工程结构形状复杂，受力复杂。利用能量法可以求结构任一指定点的任意方向的位移，且求解过程简单。,求位移的普遍方法,功能原理,物体受力产生弹性变形时，外力作用点将沿力的方向产生位移，因而外力要作功，若不计动能的变化和其它的能量损失。,外力功W物体所储存的应变能V 。,2、应变能和

2、功能原理,应变能：在外力作用下，物体因产生弹性变形而储存的能量称为弹性应变能，也称变形能。,3、线弹性体（线弹性结构）,（1）材料服从胡克定律。,（2）变形微小，各力的作用互不影响。,（4）线弹性结构受到充分约束，在任何外力作用下没有刚体位移。,即：位移是由变形引起。,讨论对象：线弹性体。,应用 叠加原理 的条件,（3）任一点的位移与载荷呈线性齐次关系。,1、拉压,静载P,加载过程中始终有,外力功,应变能,q(x),略去高阶微量，认为dx只承受FN (x),P=FN,应变能密度（变形比能）,13-2 杆件变形能计算,2、扭转,加载过程中始终有,外力功,应变能,T=me,当扭矩随截面位置变化时,

3、3、弯曲,加载过程中始终有,外力功,应变能,M=m,纯弯曲,横力弯曲,M=M(x),理论证明： 剪力对变形的影响很小，剪切应变能远远小于弯曲应变能。,应变能的特点：,（2）应变能的数值恒为正值；,（3）应变能为载荷的二次函数，同种类型荷载的变形能不能叠加。,（1）基本变形的应变能通式：,F-广义力泛指力或力偶矩；,d-广义位移为线位移或角位移；,证明,1） 共同作用下：,2） 单独作用下：,3） 单独作用下：,（4）弹性体中的应变能只决定于外力和位移的最终值，与加载的次序无关；,先施加P1,再施加P2,P1保持不变，作功为,P2作功为,总功为：,AB又伸长,先施加P2,再施加P1,AB又伸长,

4、P2保持不变，作功为,P1作功为,总功仍为上述表达式。,（5）应变能是可逆的。(跳板跳水),分析：,求简支梁外力P作用点C的挠度。,例,1)求反力,2) 弯矩方程,AC段：,CB段：,( 0 x1 a),解：,直接利用功能原理求位移的实例,3) 由功能原理,( 0 x2 b),结果大于零，说明位移的方向与力的方向一致。,只适用于结构上有一个载荷，要求载荷作用点沿载荷方向的位移。,利用能量法求解时，所列弯矩方程应便于求解。,13-3 应变能的普遍表达式,基础知识,线弹性结构上受一个外力作用，任一点的位移与该力成正比。,广义,线弹性结构上任意一点的广义位移与各广义力成线性齐次关系。,比例加载时，线

5、弹性结构上任一外力作用点沿外力方向的位移与该点的广义力成正比。,即：线弹性体的变形能等于每一外力与其相应位移乘积的二分之一的总和。,采用比例加载,应变能只取决于受力变形的最终状态，因此可采用便于计算的方式计算应变能。,克拉贝依隆原理,对于组合变形,k是用来修正横力弯曲时切应力不沿截面均匀分布的修正系数， 它的数值和截面形状有关。矩形k=6/5；圆形k=10/9。,对于双向弯曲，弯矩沿形心主轴分解,换成,若杆件及杆系的变形是以弯曲变形为主的，因轴力和剪力远小 于弯矩对变形的影响，故在计算这类杆件的变形时，通常不计轴力 和剪力的影响。,例：试求图示悬臂梁的应变能，并利用功能原理求自由端B的挠度。,

6、解：,变形能的应用,1.计算变形能,2.利用功能原理计算变形,例题：悬臂梁在自由端承受集中力F及集中力偶矩Me作用。设EI为常数，试求梁的应变能。, 当F和Me分别作用时, 用普遍定理,13-4 互等定理,功的互等定理:,位移互等定理:,即：F1 力在由F2力引起的位移上所作的功，等于F2力在由F1力引起的位移上所作的功。,即： F2引起的F1 作用点沿 F1方向的位移，等于同样大小的力F1 引起的F2作用点沿 F2方向的位移。,(1) 互等定理只适用于线弹性结构；,说明：,(2) 互等定理中的力与位移应理解为广义力和相应的广义位移。则位移互等定理中的相同大小的力为数值相同，位移相同也仅代表数

7、值相同，量纲对应。,（3）这里是指结构不可能发生刚性位移的情况下,只是由变形引起的位移.,例：求图示简支梁C截面的挠度。,F,例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 。,F,(a),(b),例 （a）中Fk=10KN时，1、2、3点的挠度分别为若（b）中1、2、3点作用荷载F1=50KN， F2=40KN，F3=20KN，求k点的挠度？,解： 由功的互等定理,即,13-5 卡氏定理,若只给 以增量 ，其余不变，在 作用下，原各力作用点将产生位移,变形能的增加量：,略去二阶小量，则：,如果把原有诸力看成第一组力，把 看作第二组力，根据互等定理：,所以：,举例,利用功能原理,（1）卡氏第二定理只适用于

8、线性弹性体,说明：,（2）Fi 为广义力，i为相应的位移,（3）卡氏第二定理的应用,（a） 轴向拉伸与压缩,（b） 扭转,（c） 弯曲,（4） 平面桁架,（5） 组合变形,例 外伸梁受力如图所示,已知弹性模量EI.梁材料为线弹性体.求梁C截面的挠度和A截面的转角.,F,A,B,C,l,a,FRA,FRB,AB:,BC:,A,B,C,l,a,FRA,F,解:,FRB,A,B,C,l,a,FRA,F,例题 刚架结构如图所示 .弹性模量EI已知。材料为线弹性. 不考虑轴力和剪力的影响，计算C截面的转角和D截面的水平位移.,A,B,C,D,a,a,2a,Me,解 : 在C截面虚设一力偶 Ma ,在D截

9、面虚设一水平力F.,CD:,CB:,AB:,A,B,C,D,a,a,2a,Me,2a,A,B,C,D,a,a,Me,例：求图示悬臂梁中点C处的铅垂位移 。,结果为负，说明位移与所虚加的力方向相反。,13-7 单位荷载法 莫尔积分,一、莫尔定理的推导,求任意点A的位移wA,计算弹性变形比较简便的方法,A,图b,变形能为,a,A,图,F1,F2,A,图c,（1）先在A点作用单位力F0 ,再作用F1、F2力,（2）三个力同时作用时,任意截面的弯矩:,变形能:,莫尔积分（单位载荷法/单位力法）,桁架：,二、普遍形式的莫尔积分,注意:上式中应看成广义位移,把单位力看成与广义位移相对应的广义力.,将计算挠

10、度、转角的公式写成统一的形式,若需要我们求结构上两点的相对位移， 怎么办？,在两点的相应的位移处，施加一对方向相反的单位力，再用莫尔积分计算，即可求得相应位移。 若求两个截面的相对转角，就在两个截面上作用转向相反的一对单位力偶。,三、使用莫尔定理的注意事项,（5）莫尔积分必须遍及整个结构.,（1）M（x）：结构在原载荷下的内力;,（3）所加广义单位力与所求广义位移之积,必须为功的量纲;,（6）若积分为正，则1D为正，说明D方向与相应单位力相同。,求A点竖直位移。,求A点水平位移。,求A点转角。,“相应” 的含义,结构受力如图,求A、B两点相对位移。, 1+ 2= AB,1 1+ 1 2= 1

11、AB,求A、B两点相对转角。,结构受力如图,利用单位载荷法，求线弹性结构位移的步骤：,1、计算载荷作用下结构的内力。（内力方程要简单，便于积分）,2、计算单位载荷作用下结构的内力。（画出单位载荷作用图！）,3、代入公式计算。,计算刚架的位移时，一般忽略轴力、剪力。,求C点挠度,例1：试用莫尔定理计算图(a)所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,例题 2 已知如图，求A点的垂直位移及B截面的转角。,BC段：,AB段：,BC段：,AB段：,解：,（）,(1)载荷作用于结构的内力(内侧受拉为正),(2)单位载荷作用于结构的内力,(3)代入公式,求yA,例题 2 已知如图，求A点的垂直位移及B截面的转角。

12、,BC段：,AB段：,解：,(1)载荷作用于结构的内力,求B,BC段：,AB段：,(2)单位载荷作用于结构的内力,(3)代入公式,负号表示B与单位力偶方向相反，顺时针。,结论：轴力对细长杆的位移影响很小，一般忽略不计。,BC 段：FN= P,A点竖直向下的位移增加l。,设杆的截面为圆形，ab4d ，比较l 和 yA ：,例3：求简支梁A端转角。,解：,CB段：,AC段：,1.载荷作用下的内力(先求支反力),2.单位载荷作用下的内力,CB段：,AC段：,3.代入公式计算。,13-8 计算莫尔积分的图乘法,等直杆的情况下,莫尔积分中的EI为常量,可提到积分号外面,只需计算:,C,M(x),常见几何

13、图形的面积和形心公式如下：,顶点： 切线水平， 即剪力为零。,注意：,(5)用叠加法作弯矩图求解较容易。,（2）当直线弯矩图分段时，必须分段图乘，然后求和。,（3）当M 图为直线时，图乘关系可颠倒。,纵坐标,（4）其它内力也有类似的图乘关系。,w 曲线弯矩图的面积；,曲线弯矩图面积的形心对应的直线弯矩图的值。,求梁中点的挠度。,求B点转角 。,分两段,一段,求B点转角。,载荷弯矩图为直线， 图乘关系可以颠倒。,w 曲线弯矩图的面积；,曲线弯矩图面积的形心对应的直线弯矩图的值。,其它内力的图乘关系：,只考虑弯矩时：,叠加法作载荷弯矩图,可以分别画各个载荷单独作用于结构 的弯矩图。,也可以画到一个

14、图中。,杆件异侧受拉，画两侧；,杆件同侧受拉：先画直线弯矩图，以此为 基线，再画另一弯矩图。,叠加法：几个载荷共同作用所引起的某一截面的弯矩，等于各载荷单独作用于结构时所引起的弯矩总和。,注意：弯矩图的叠加是纵坐标的叠加！,（1）叠加法作载荷弯矩图,（2）作单位力弯矩图,（3）进行图乘,解 ：,（1）叠加法作载荷弯矩图,（2）作单位力弯矩图,（3）进行图乘,为负，方向向上。,解 ：,例：已知如图，利用图乘法求D点竖直位移。,（1）叠加法作载荷弯矩图,（2）作单位载荷的弯矩图,简化作法,解 ：,例：已知如图，利用图乘法求D点竖直位移和转角。,求D点转角,l,l,l,解：,例 求图示刚架C点的竖直位移和水平位移。已知EI。,M图,例：图示刚架，EI=const。求A截面的水平位移 AH 和转角A 。,CL12TU41,解：,例：试用图乘法求所示悬臂梁自由端B的挠度和转角。,L,F,解（1）求自由端的挠度,m=1,(2) 求自由端的转角,