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1、新课标高考一轮复习,（湘RJ）,文数,第二单元 函 数,第9讲,二次函数与一元二次方程,掌握二次函数的概念、图象特征；掌握二次函数的性质，会求二次函数在给定区间上的最值；掌握二次函数、二次方程、二次不等式之间的联系，提高综合解题的能力.,复习目标：,1.函数 叫做二次函数，它的定义域是R，这是二次函数的一般形式.另外，还有顶点式： ，其中(h,k)是抛物线顶点的坐标.两根式： ，其中x1、x2是抛物线与x轴交点的横坐标. 2.二次函数的图象是一条 ,经过配方，可得y=ax2+bx+c= ,顶点为 ,对称轴为直线 .其图象和主要性质如下表：,y=ax2+bx+c(a0),y=a(x-h)2+k(
2、a0),y=a(x-x1)(x-x2)(a0),抛物线,知识要点：, ,+),(-, ,最小值,最大值,减,增,增,减,(2)实系数二次方程ax2+bx+c=0(a0)的两根x1、x2的分布范围与二次方程系数之间的关系,如下表所示:,1.函数f(x)=ax2+bx+5满足条件f(-1)=f(3),则f(2)的值为( ) A.8 B.6 C.5 D.与a、b的值有关,由f(-1)=f(3)知b=-2a， 则f(x)=ax2-2ax+5, 而f(2)=4a-4a+5=5.故选C.,解析,C,练一练：,2.“a=0”是“函数y=x2+ax在区间（0，+)上为增函数”的( ) A.充分不必要条件 B.
3、必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,解析,当a=0时，y=x2在（0，+）上为增函数. 而y=x2+ax在（0，+)上为增函数，得到a0.故选A.,A,3.关于x的二次方程x2+2x+a2=0有实数解，则a的取值范围是 .,4.已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且f(x)的最大值是8，则此二次函数的解析式为f(x)= .,-1,1,-4x2+4x+7,5.关于x的二次方程x2+ax+a2-4=0的两根异号，则a的取值范围是 .,解析,(-2,2),设f(x)=a(x-m)2+n,则m= ,n=8,所以f(x)=a(x- )2+8.而f(x)的图象过点
4、（2，-1），所以-1=a(2- )2+8,所以a=-4.所以f(x)=-4x2+4x+7.,已知y=f(x)是二次函数，且f( +x)=f( -x)对xR恒成立，f( )=49,方程f(x)=0的两实根之差等于7，求此二次函数的解析式.,题型一二次函数解析式的求法,例1,二次函数的解析式有三种形式，要根据题意选择适当的形式，从而简化运算.,点评,试求二次函数 f(x)=x2-2ax-1在0，2上的值域.,题型二 二次函数在指定区间上的最值和值域,例2,f(x)=x2-2ax-1=(x-a)2-1-a2. 当a0时， f(x)min=f(0)=-1,f(x)max=f(2)=3-4a.,解析,
5、当0a1时， f(x)min=f(a)=-a2-1,f(x)max=f(2)=3-4a. 当1a2时， f(x)min=f(a)=-a2-1,f(x)max=f(0)=-1. 当a2时，f(x)min=f(2)=3-4a,f(x)max=f(0)=-1. 综上所述，当a0时，值域为-1，3-4a; 当0a1时，值域为-a2-1,3-4a; 当1a2时，值域为-a2-1,-1; 当a2时，值域为3-4a,-1.,已知函数f(x)=ax2+bx(a0)满足条件f(-x+5)=f(x-3),且方程f(x)=x有等根. （1）求f(x)的解析式；（2）是否存在实数m、n(mn)，使f(x)的定义域和值
6、域分别是m,n和3m,3n?若存在，求出m、n的值；若不存在，说明理由.,解析,分析,(1)利用对称性和判别式求解.(2)利用函数f(x)的最大值为 可知，在区间m，n上的最大值3n ，以此为出发点，可避免分类讨论.,(1)函数f(x)满足f(-x+5)=f(x-3),则函数f(x)的图象关于直线x=1对称，故 =1,即b=-2a.又方程f(x)=x有等根，即ax2+(b-1)x=0有等根，所以b=1,a= ,所以f(x)= x2+x.,本题主要考查二次函数的图象和性质，充分利用二次函数的对称性、单调性和最值来解题，避免了分类讨论.,点评,(2)由f(x)= x2+x= (x-1)2+ 在区间
7、m,n上的值域为3m，3n,则3n ,即n .故mn ,所以f(x)在m,n上为增函数，所以f(m)=3m,且f(n)=3n,所以m、n是方程f(x)=3x的两个不等根，所以 x2+x=3x,即x2+4x=0,解得x=0或-4.又mn,所以m=-4,n=0.,题型三 二次函数、方程、不等式的综合,已知f(x)=-3x2+(6-a)ax+b.（1）若a=1时，f(x)0的解集为x|1-6且b为常数时，求实数a的取值范围.,例3,解析,(3)因为-30,所以-3+（6-a)a+b0a2-6a+3-b03- a3+ ,即b的取值范围为(3- ,3+ ).,(1)二次函数值恒大于（小于）零，常结合二次
8、函数的图象和判别式来考虑；(2)二次不等式与二次方程之间有密切的关系：二次不等式解集区间的端点值是对应方程的解；(3)二次方程根的分布问题，可借助二次函数图象直观考察，主要从开口方向、判别式、对称轴、端点函数值四个方面来寻找充要条件.,点评,设函数f(x)=|x2-4x-5|.,(1)在区间-2,6上画出函数f(x)的图象；,备选例题,(2)设集合A=x|f(x)5,B=(-,-20,46,+). 试判断集合A和B之间的关系，并给予证明； (3)当k2时，求证：在区间-1,5上，y=kx+3k的图象位 于函数f(x)图象的上方.,(1)将函数解析式变形为f(x)= x2-4x-5(x5或x-1
9、)-x2+4x+5(-1x5).,f(x)在区间-2,6上的图象如下：,解析,(2)方程f(x)=5的解分别是2- ，0，4和2+ ，由于f(x)在(-,-1和2，5上单调递减，在-1，2和5，+)上单调递增，因此，A=（-,2- )0,42+ ,+).由于2+ -2,所以BA.(3)（证法一)最值法.当x-1,5时，f(x)=-x2+4x+5，g(x)=k(x+3)-(-x2+4x+5)=x2+(k-4)x+(3k-5).因为k2,所以 1.又-1x5,当-1 0. 当 6时，取x=-1,g(x)min=2k0.由可知，当k2时，g(x)0,x-1,5.因此，在区-1，5上，y=k(x+3)
10、的图象位于函数f(x)图象的上方.,如图可知，由于直线y=k(x+3)过点(-3,0)，当k2时，直线y=k(x+3)是由直线y=2(x+3)绕点(-3,0)逆时针方向旋转得到.因此，在区间-1，5上，y=k(x+3)的图象位于函数f(x)的图象的上方.,1.二次函数、一元二次不等式和一元二次方程是一个有机的整体，要深刻理解它们之间的关系，运用函数与方程的思想将它们进行转化，这是准确迅速解决此类问题的关键.2.对二次函数y=ax2+bx+c(a0)在m,n上的最值的研究是本讲内容的重点.对如下结论必须熟练掌握:,(1)当x= m,n时， 是它的一个最值，另一最值在区间端点处取得；当x m,n时，最大值和最小值分别在区间的两个端点处取得.(2)含参数的二次函数在某个区间上的最值问题常需分类讨论.要抓住顶点的横坐标是否属于该区间，结合开口方向及单调性进行分类讨论求解.,3.对于二次函数f(x)=ax2+bx+c（a0），当a0且0成立；当a0且0时，对xR,f(x)0成立.,(2008广东卷）设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0x1x21，求实数a的取值范围.,（方法一）令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,它的两根x1、x2满足0x1x21，如图所示.观察g(x)的图象特征，应满足,解析,本节完，谢谢聆听,立足教育，开创未来,
