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1、第 1 章 光在各向同性介质中的传输特性,1.1 光波的特性 1.2 光波在各向同性介质界面上的反射和折射 1.3 光波在金属表面上的反射和折射,1.1 光波的特性,1.1.1 光波与电磁波 麦克斯韦电磁方程1. 电磁波谱 自从19世纪人们证实了光是一种电磁波后，又经过大量的实验，进一步证实了X射线、射线也都是电磁波。它们的电磁特性相同，只是频率(或波长)不同而已。如果按其频率(或波长)的次序排列成谱，称为电磁波谱，如图1-1所示。通常所说的光学区域(或光学频谱)包括红外线、可见光和紫外线。由于光的频率极高(10121016Hz)，数值很大，使用起来很不方便， 所以采用波长表征，光谱区域的波长
2、范围约从1 mm到10 nm。 人们习惯上将红外线、可见光和紫外线又细分为：,图 1-1 电磁波谱,2. 麦克斯韦电磁方程根据光的电磁理论，光波具有电磁波的所有性质，这些性质都可以从电磁场的基本方程麦克斯韦方程组推导出来。 从麦克斯韦方程组出发，结合具体的边界条件及初始条件， 可以定量地研究光的各种传输特性。麦克斯韦方程组的微分形式为：,式中，D、E、B、H分别表示电感应强度(电位移矢量)、 电场强度、 磁感应强度、磁场强度；是自由电荷体密度； J是传导电流密度。这种微分形式的方程组将空间任一点的电、 磁场量联系在一起，可以确定空间任一点的电、 磁场。,3. 物质方程光波在各种介质中的传播过程
3、实际上就是光与介质相互作用的过程。 因此，在运用麦克斯韦方程组处理光的传播特性时，必须要考虑介质的属性，以及介质对电磁场量的影响。描述介质特性对电磁场量影响的方程， 即是物质方程：,D=E (1-5) B=H (1-6) J=E (1-7),式中，=0r为介电常数，描述介质的电学性质，0是真空中介电常数，r是相对介电常数；=0r为介质磁导率，描述介质的磁学性质，0是真空中磁导率，r是相对磁导率；为电导率，描述介质的导电特性。,应当指出的是，在一般情况下，介质的光学特性具有不均匀性，、和应是空间位置的坐标函数，即应当表示成(x, y, z)、(x, y, z)和(x, y, z)； 若介质的光学
4、特性是各向异性的，则、和应当是张量，因而物质方程应为如下形式：,即D与E、B与H、J与E一般不再同向；当光强度很强时，光与介质的相互作用过程会表现出非线性光学特性，因而描述介质光学特性的量不再是常数，而应是与光场强有关系的量， 例如介电常数应为(E)，电导率应为(E)。对于均匀的各向同性介质，、和是与空间位置和方向无关的常数；在线性光学范畴内，、与光场强无关；透明、无耗介质中， =0；非铁磁性材料的r可视为1。,4. 波动方程麦克斯韦方程组描述了电磁现象的变化规律，指出任何随时间变化的电场，将在周围空间产生变化的磁场，任何随时间变化的磁场， 将在周围空间产生变化的电场，变化的电场和磁场之间相互
5、联系，相互激发，并且以一定速度向周围空间传播。因此，交变电磁场就是在空间以一定速度由近及远传播的电磁波，应当满足描述这种波传播规律的波动方程。 ,下面，我们从麦克斯韦方程组出发，推导出电磁波的波动方程，限定介质为各向同性的均匀介质，仅讨论远离辐射源、 不存在自由电荷和传导电流的区域。此时，麦克斯韦方程组简化为,对(1-10)式两边取旋度， 并将(1-11)式代入， 可得,利用矢量微分恒等式,并考虑到(1-8)式， 可得,同理可得,若令,可将以上两式变化为,(1-13),(1-12),此即为交变电磁场所满足的典型的波动方程，它说明了交变电场和磁场是以速度v传播的电磁波动。由此可得光电磁波在真空中
6、的传播速度为,根据我国的国家标准 GB3102.6-82， 真空中的光速为,c=(2.997 934 580.000 000 012)8m/s,为表征光在介质中传播的快慢， 引入光折射率：,除铁磁性介质外，大多数介质的磁性都很弱，可以认为r1。 因此， 折射率可表示为,此式称为麦克斯韦关系。对于一般介质，r或n都是频率的函数， 具体的函数关系取决于介质的结构。,5. 光电磁场的能流密度电磁场是一种特殊形式的物质，既然是物质，就必然有能量。 此外，因光电磁场是一种以速度v传播的电磁波，所以它所具有的能量也一定向外传播。为了描述电磁能量的传播，引入能流密度玻印亭(Poynting)矢量S，它定义为
7、 S=EH (1-15) 表示单位时间内， 通过垂直于传播方向上的单位面积的能量。,对于一种沿z方向传播的平面光波，光场表示为： E=exE0cos(t-kz)H=hyH0cos(t-kz) 式中的ex、hy是电场、磁场振动方向上的单位矢量，则其能流密度S为 S=szE0H0cos2(t-kz) 式中，sz是能流密度方向上的单位矢量。因为由(1-10)式有 ，所以S可写为,(1-16),该式表明，这个平面光波的能量沿z方向以波动形式传播。 由于光的频率很高，例如可见光为1014量级，所以S随时间的变化很快。而目前光探测器的响应时间都较慢，例如响应最快的光电二极管仅为10-810-9秒，远远跟不
8、上光能量的瞬时变化， 只能给出S的平均值。所以，在实际上都利用能流密度的时间平均值S表征光电磁场的能量传播，并称S为光强，以I表示。假设光探测器的响应时间为T，则,将(1-16)式代入， 进行积分可得,(1-17),式中， 是比例系数。由此可见，在同一种介质中，光强与电场强度振幅的平方成正比。 一旦通过测量知道了光强，便可计算出光波电场的振幅E0。例如，一束105W的激光，用透镜聚焦到10-10m2的面积上，则在透镜焦平面上的光强度约为,相应的光电场强度振幅为,这样强的电场，能够产生极高的温度，足以将目标烧毁。 应当指出，在有些应用场合，由于只考虑某一种介质中的光强，只关心光强的相对值，因而往
9、往省略比例系数，把光强写成 I=E2=E20 如果考虑的是不同介质中的光强， 比例系数不能省略。,1.1.2 几种特殊形式的光波上节得到的交变电场E和交变磁场H所满足的波动方程，可以表示为如下的一般形式：,(1-18),这是一个二阶偏微分方程，根据边界条件的不同，解的具体形式也不同， 例如， 可以是平面光波， 球面光波，柱面光波或高斯光束。,1. 平面光波首先说明，光波中包含有电场矢量和磁场矢量，从波的传播特性来看，它们处于同样的地位，但是从光与介质的相互作用来看，其作用不同。在通常应用的情况下，磁场的作用远比电场弱，甚至不起作用。例如，实验证明，使照相底片感光的是电场，不是磁场；对人眼视网膜
10、起作用的也是电场， 不是磁场。因此，通常把光波中的电场矢量E称为光矢量，把电场E的振动称为光振动，在讨论光的波动特性时，只考虑电场矢量E即可。,1) 波动方程的平面光波解 在直角坐标系中， 拉普拉斯算符的表示式为,为简单起见，假设f不含x、y变量，则波动方程为,为了求解波动方程， 先将其改写为,(1-19),令,可以证明,因而，上面的方程变为,求解该方程，f可表示为,(1-20),对于式中的f1(z-vt), (z-vt)为常数的点都处于相同的振动状态。如图1-2(a)所示，t=0时的波形为，t=t1时的波形相对于波形平移了vt1， 。由此见，f1(z-vt)表示的是沿z方向、以速度v传播的波
11、。类似地，分析可知f2(z+vt)表示的是沿-z方向、以速度v传播的波。将某一时刻振动相位相同的点连结起来，所组成的曲面叫波阵面。由于此时的波阵面是垂直于传播方向z的平面(图1-2(b)，所以f1和f2是平面光波，(1-20)式是平面光波情况下波动方程的一般解。在一般情况下，沿任一方向k、以速度v传播的平面波，如图1 - 2(c)所示。,图 1-2 平面波图示,2) 单色平面光波(1) 单色平面光波的三角函数表示 (1-20)式是波动方程在平面光波情况下的一般解形式，根据具体条件的不同，可以采取不同的具体函数表示。 最简单、 最普遍采用的是三角函数形式，即 f=Acos(t-kz)+Bsin(
12、t+kz) 若只计沿+z方向传播的平面光波，其电场表示式为,(2) 单色平面光波的复数表示 为便于运算，经常把平面简谐光波的波函数写成复数形式。例如，可以将沿z方向传播的平面光波写成,采用这种形式，就可以用简单的指数运算代替比较繁杂的三角函数运算。例如，在光学应用中，经常因为要确定光强而求振幅的平方E20，对此，只需将复数形式的场乘以它的共轭复数即可，,(1-22),应强调的是，任意描述真实存在的物理量的参量都应当是实数，在这里采用复数形式只是数学上运算方便的需要。 由于对(1-22)式取实部即为(1-21)式所示的函数，所以，对复数形式的量进行线性运算，只有取实部后才有物理意义，才能与利用三
13、角函数形式进行同样运算得到相同的结果。此外， 由于对复数函数exp-i(t-kz)与expi(t-kz)两种形式取实部得到相同的函数，所以对于平面简谐光波，采用exp-i(t-kz)和expi(t-kz)两种形式完全等效。因此， 在不同的文献书籍中，根据作者的习惯不同，可以采取其中任意一种形式。,对于平面简谐光波的复数表示式， 可以将时间相位因子与空间相位因子分开来写：,(1-23),式中，,(1-24),称为复振幅。 若考虑场强的初相位， 复振幅为,(1-25),复振幅表示场振动的振幅和相位随空间的变化。在许多应用中， 由于exp(-it)因子在空间各处都相同，所以只考察场振动的空间分布时，
14、 可将其略去不计，仅讨论复振幅的变化。,进一步，若平面简谐光波沿着任一波矢k方向传播，则其三角函数形式和复数形式表示式分别为,(1-26),和,(1-27),相应的复振幅为,(1-28),在信息光学中，经常遇到相位共轭光波的概念。所谓相位共轭光波是指两列同频率的光波，它们的复振幅之间是复数共轭的关系。,假设有一个平面光波的波矢量k平行于xOz平面(图1-3)，在z=0平面上的复振幅为,(1-29),式中的为k与z轴的夹角，则相应的相位共轭光波复振幅为,该式表明，此相位共轭光波是与 波来自同一侧的平面光波， 其波矢量平行于xOz平面、与z轴夹角为-角。如果对照(1-30)式， 把(1-28)式的
15、复数共轭写成,(1-31),(1-30),图 1-3 平面波及其相位共轭波,图 1-4 球面光波示意,2. 球面光波一个各向同性的点光源，它向外发射的光波是球面光波， 等相位面是以点光源为中心、随着距离的增大而逐渐扩展的同心球面， 如图1-4所示。 球面光波所满足的波动方程仍然是(1-18)式，只是由于球面光波的球对称性，其波动方程仅与r有关，与坐标、无关， 所以球面光波的振幅只随距离r变化。若忽略场的矢量性，采用标量场理论，可将波动方程表示为,式中，f=f(r, t)。,(1-32),对于球面光波， 利用球坐标讨论比较方便。此时， (1-32)式可表示为,即,因而其解为,(1-32),(1-
16、33),(1-34),其中，f1(r-vt)代表从原点沿r正方向向外发散的球面光波；f2 (r+vt)代表向原点(点光源)传播的会聚球面光波。球面波的振幅随r成反比例变化。,最简单的简谐球面光波单色球面光波的波函数为,(1-35),其复数形式为,(1-36),复振幅为,(1-37),上面三式中的A1为离开点光源单位距离处的振幅值。,3. 柱面光波一个各向同性的无限长线光源，向外发射的波是柱面光波， 其等相位面是以线光源为中心轴、随着距离的增大而逐渐展开的同轴圆柱面， 如图1-5所示。 柱面光波所满足的波动方程可以采用以z轴为对称轴、不含z的圆柱坐标系形式描述：,(1-38),式中， 。,可以证明，当r较大(远大于波长)时， 其单色柱面光波的表示式为,(1-39),
