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1、33 综合法与分析法综合法与分析法1了解直接证明的两种基本方法：综合法和分析法 2了解综合法和分析法的思考过程与特点，能熟练运用综合法和分析法证明命题1综合法 从命题的_出发，利用_，通过_推理，一步一步地 接近要证明的结论，直到完成命题的证明我们把这样一种思维方法称为_【做一做 1】 已知pa(a2)，q2a24a2(a2)，则( )1 a2Apq Bpq Cpq Dpq 2分析法 从求证的_出发，一步一步地探索保证前一个结论成立的_条件，直到归结 为这个命题的_，或者归结为_等我们把这样一种思维方法称为 _综合法：(1)综合法是“由因到果” ，即由已知条件出发，推导出所要证明的等式或不 等
2、式成立 (2)综合法格式从已知条件出发，顺着推证，由“已知”得“推知” ，由“推知” 得“未知” ，逐步推出求证的结论，这就是顺推法的格式，它的常见书面表达式是 “，”或“” 分析法：(1)分析法是“执果索因” ，一步步寻求上一步成立的充分条件，因此分析法 又叫作逆证法或执果索因法 (2)分析法格式与综合法正好相反，它是从要求证的结论出发，倒着分析，由未知 想需知，由需知逐渐地靠近已知(已知条件，已经学过的定义、定理、公理、公式、法则等) 这种证明方法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可以逆推的，它的常见书写表达 式是“要证明需要证明”或“” 【做一做 2】 已知函数f(x)lg，若f(a)
3、b，则f(a)等于( )1x 1xAb BbC. D1 b1 b答案：答案：1条件 定义、公理、定理及运算法则 演绎 综合法【做一做 1】 A a2，pa1 a2a22224.1 a2而a24a2(a2)222，q2a24a24.pq. 2结论 充分 条件 定义、公理、定理 分析法【做一做 2】 B f(a)lglg11a 1a(1a 1a)lgf(a)b.1a 1a1如何选择综合法或分析法证明不等式？ 剖析：(1)综合法是证明不等式的最基本、最常用的方法，由条件或一些重要不等式入 手，难度不大的不等式证明多直接采用综合法，但对于比较复杂的不等式的证明还需要结 合分析法等其他方法及技巧才能完成
4、 (2)对于一些条件复杂、结论简单的等式或不等式的证明经常用综合法；对于一些条件 简单、结论复杂的不等式的证明常用分析法 2用分析法证题时过程的写法 剖析：(1)证明不等式时往往误用分析法，把“逆求”作“逆推” ，分析法过程没有必 要“步步可逆” ，仅需寻求充分条件即可，而不是充要条件 (2)用分析法证明时，要正确使用一些联结关联词，如“要证明” “只需证明” “即证” 等题型一 用综合法证明不等式 【例题 1】 已知x0，y0，xy1，求证：9.(11 x)(11 y)分析：观察要证明的不等式，可以由条件入手，将xy1 代入要证明的不等式，用 综合法可证；也可从基本不等式入手，用综合法证明不
5、等式 反思：用综合法证明不等式时，可以从条件出发，也可以从基本不等式出发，通过换 元、拼凑等方法构造定值，但若连续两次或两次以上利用基本不等式，需要注意几次利用 基本不等式时等号成立的条件是否相同 题型二 用分析法证明不等式【例题 2】 已知ab0，求证：.ab2 8aab 2abab2 8b分析：本题条件较为简单，结论比较复杂，我们可以从要证的结论入手，一步步探求 结论成立的充分条件，即用分析法 反思：由于题目中条件比较简单，结论比较复杂，用综合法比较困难，可以从结论出 发，逐步反推，寻求使当前命题成立的充分条件 题型三 用分析法探索命题成立的条件【例题 3】 给出一个不等式(xR R)，经
6、验证：当c1,2,3 时，对于x21cx2c1ccx取一切实数，不等式都成立试问：当c取任何正数时，不等式对任何实数x是否都成 立？若能成立，请给出证明；若不成立，请求出c的取值范围，使不等式对任何实数x都 能成立 反思：探索性问题，可以探索条件，探索结论，探索方法，而分析法是用来探索条件的重要手段答案：答案：【例题 1】 证法 1：xy1，(11 x)(11 y) (1xy x)(1xy y)52.(2y x)(2x y)(y xx y)又x0，y0， 0， 0. 2，y xx yy xx y当且仅当 ，即xy 时取等号y xx y1 2则有5229 成立(11 x)(11 y)证法 2：x
7、0，y0,1xy2，xy当且仅当xy 时取等号，xy .1 21 4则有1 11189 成立(11 x)(11 y)1 x1 y1 xyxy xy1 xy2 xy【例题 2】 证明：因为ab0，所以要证成立，ab2 8aab 2abab2 8b即证()2成立ab2 4aabab2 4b只需证成立ab2aabab2b只需证1成立，ab2aab2b即证2且2，abaabb即.baab0，成立ba成立ab2 8aab 2abab2 8b【例题 3】 解：解：不成立设f(x)，x21cx2c令x2c，则c，则f(x)(c)，1f(x)c1c1c1c.c1c1cc1cc要使不等式对任何实数x都成立，x2
8、1cx2c1cc即f(x)0 成立，c1cc只需10，即c1. (c0)，c1 c也就是x2c ，即x2 c对任意的x都成立1 c1 c只需 c0，又c0，c1 时原不等式对一切实数x都能成立1 c1 设函数yf(x)(xR R)的图像关于直线x0 及直线x1 对称，且x0,1时，f(x)x2，则等于( ) 23fA. B. C. D.21 41 43 49答案：答案：B 由于函数f(x)的图像关于直线x0 及直线x1 对称，所以函数f(x)是偶函数，且f(1a)f(1a)，所以要求，只需求出，即求，而)23(f)23(f)211 ( f，即求，而.此题用了综合法与分析法相结合的)211 (
9、f)211 ( f 21f41 21 212 f方法2 已知a，b是不相等的正数，则x，y的关系是( )2baxbayAxy Bxy Cxy D不确定2答案：答案：B x0，y0， 要比较x，y的大小，只需比较x2，y2的大小，即比较与ab的大小22 abbaa，b为不相等的正数，ab.ab2ab，即x2y2.xy.22 abba3 已知不等边三角形的三边按从小到大的顺序排列成等比数列，则公比q的取值范围 是( )A.q1 B1q215 215 C. q D0q215 215 215 答案：答案：B 设三角形的三边长为a，b，c，且abc，则baq，caq2.a0，1q.2514 若 sin
10、sin sin 0，cos cos cos 0，则 cos() _.答案：答案： 观察已知条件中有三个角，而所求结论中只有两个角21，所以我们只需将已知条件中的角消去即可，依据 sin2cos21 消去. 由已知，得 sin (sin sin )， cos (cos cos )， (sin sin )2(cos cos )2sin2cos21，化简并整理得 cos().215 已知abc，求证：.cbba11 ca 4答案：答案：分析：本题中出现的有ab，bc和ac，注意它们之间的关系为 ac(ab)(bc)，从而解答问题 证明：abc，ab0，bc0，ac0， 且ac(ab)(bc)cbca baca cbcbba bacbba )()()()(cbba bacb 24，当且仅当abbc时，等号成立cbba bacb 22成立cbba11 ca 4
