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1、1,第一型线积分和面积分,Line Integrals with Respect to Arc LengthSurface Integrals with Respect to Surface Area,2,第一型曲线积分是对弧长的线积分， C是平面或空间的可求长曲线段, ds是弧微元；,一、第一型线积分,1. 概念和记法,积分“区域”：平面或空间的曲线；,4 第一型线积分和面积分,3,第一型线积分可求曲线长：,物理意义之一：质量非均匀分布的曲线 C 的质量；,第一型线积分是通过化为定积分而进行计算的。,2. 第一型曲线积分的计算法,4,若曲线 C 给参数方程,可以证明，,这种情况下一型曲线积分
2、的计算式：,即,5,例1,计算,设 C 是曲线：,的一段弧。,解,6,例2,计算,设 C 为连接,三点的折线段。,解,三直线段的参数式 如图所示，故,若曲线C给交面式方程,若存在,则 C 的,参数方程：,于是,( 平面上的问题通常只是少一个变量! ),8,当 C 为平面曲线,给极坐标方程,例3,解1 (用直角坐标),计算,设 C 为右半个单位圆:,9,利用对称性：,解2 (用参数方程),10,解3 (用极坐标),C:,例4 (求柱面的侧面积) 设椭圆柱面,内所截下部分的侧面积 A 。,解,用微元法.,12,二、第一型曲面积分,1. 概念和记法,积分区域： 中的一曲面,是 中的曲面, 为曲面面积
3、元；,被积函数 定义在曲面 上；,第一型曲面积分是对曲面面积的面积分,13,第一型面积分可求曲面面积：,物理意义举例：质量非均匀分布的曲面,的质量,第一型面积分是通过化为二重积分而进行计算的。,14,曲面 S 给参数方程,用微元法：,2. 第一型曲面积分的计算法,令,15,于是, 第一型面积分化成二重积分计算式,其中,16,曲面 S 给直角坐标系下的显式方程,由于又可表示成参数式：,17,曲面 S 给一般方程：,于是化为二重积分的计算式：,当满足,存在隐函数,18,例5,求半径为 的球面面积。,解 球面的参数方程为：,19,经计算,于是得球面积,20,例6,计算,其中曲面 是圆锥面,解 根据条件，此锥面应定义在平面区域,21,例7,求半径相等的两个,圆柱面正交所截立体 的表面积 A。,解 如图建立坐标系后,两柱面的方程分别为,22,充分利用图形的对称性, 只 需对定义在,上的一片柱面,作计算，,23,例8 求质量均匀分布，半径为 R 的球缺面的质心坐标。 球缺面如下给出：,24,因曲面对称且质量分布均 匀，故,解,设球缺面的面密度为,25,即所求质心为:,26,习题 6.6P.191. N.1(单), N.3(2)(3), N.4, N.5, N.9(1), N.10(单), 选 (B)(N.1, N.4.,6月9日作业,接上习题课,
