《教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义》由会员分享，可在线阅读，更多相关《教育部课题完全搜索自网络收藏平面向量数量积的物理背景及其含义（18页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、教育部重点课题新教育子课题在高中数学教学中如何达到理想课堂的实践,温州市瓯海区三溪中学 张明,2.4.1平面向量数量积的 物理背景及其含义,问题1：如图所示，一物体在力F的作用下产生位移S，（）力F所做的功W= 。 （）请同学们分析这个公式的特点：W（功）是 量，F（力）是 量，S（位移）是 量是 。,问题：你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？,我们学过功的概念，即一个物体在力F的作用下产生位移s（如图）,F,S,力F所做的功W可用下式计算W=|F| |S|cos 其中是F与S的夹角,从力所做的功出发，我们引入向量“数量积”的概念。
2、,一、数量积的定义：,注意：向量的数量积是一个数量。,记法“ab”中间的“ ”不可以省略，也不可以用“ ”代替。,活动二：探究数量积的概念,思考：,讨论并完成下表：,问题：向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？,ab=|a| |b| cos,当0 90时ab为正；,当90 180时ab为负。,当 =90时ab为零。,一、问向量的数量积或内积为什么定义为 ？ 定义是随便定义的吗？难道是定义起来很随便？还是随便起来不定义？,答：数学上的一个定义不会来自空中楼阁，而是有坚实的现实基础，比如这个定义就是物理中功的原型。在语文写作中，作者在构思一个人物形象时都可以在现实
3、生活中找到原型。可以问你们的语文老师。比如钱钟书的围城里面的人物，贾平凹的废都里人物。,二、平面向量的数量积为什么取名数量积？积是什么意思？数量是什么意思？合起来是什么意思？,总结：,二、1、同学们还记得直线或线段在一个平面内的投影吗？它是什么？线段的长度有什么改变？2、在一个平面内一条线段在一条直线上的投影是怎样子的？线段的长度有什么改变？3、那向量在另一个向量上的投影是怎么回事？答：线段只有大小没有方向，所以投影肯定是正的，但向量是即有大小又有方向，所以大小、方向都有投影。那如何表示方向的投影？所以向量的投影是可正可负的，请同学们看看向量投影的定义。,答：画一个平面和一条直线或线段，投影是
4、条平面内的直线 或线段。,答：投影还是线段，长度,二、数量积的几何意义：,叫做向量 在 方向上 （或向量 在 方向上）的投影。,（1）投影的概念：,（2）数量积的几何意义：,探究（二）：平面向量数量积的运算性质,思考1：设a与b都是非零向量，若ab，则ab等于多少？反之成立吗？,ab ab0,思考2：当a与b同向时，ab等于什么？当a与b反向时，ab等于什么？特别地，aa等于什么？,当a与b同向时，abab； 当a与b反向时，abab； aaa2a2或a .,思考3：ab与ab的大小关系如何？为什么？,abab,思考4：ab与ba是什么关系？为什么？,思考5：对于实数，(a)b有意义吗？它可以
5、转化为哪些运算？,(a)b(ab)a(b),注：,探究：,我们学过了实数乘法的哪些运算律？这些运算律对向量是否也适用？,五、数量积的运算律：,。,四、向量数量积的三种特殊情况或性质。如果你觉得理解起来抽象，该怎办？答：用两个具体的向量来代入一下，这两个具体向量可以取例1，再加画图来理解。五、向量数量积的三条运算律哪几条可以利用定义来证明，很快的。哪一条用定义证明不行？同学们用定义证明是什么感觉？是不是觉得是天马行空找不到一个坚实的支撑点，空荡荡的？这就是抽象运算。,六、对于向量数量积的运算律，因为是实数满足交换律、结合律，加绝对值的性质，再根据定义，所以向量数量积也满足交换律、结合律。对于证明
6、满足结合律比交换律要难许多。其实在证明结合律的时候取 ，具体值反而容易理解。,七、我们讲过世界是和谐的，虽然无奇不有，今天就是讲讲无奇不有。即三个向量的内积不满足结合律，即还有不满足消去律，即,。,总结：,并思考通过本题你有什么收获？,例题：,因为向量与实数一样满足交换律、结合律、分配律，所以在形式上一样，本质上不一样。比如还有向量的和平方公式、平方差公式。但有些东西是形式不一样，本质一样。比如论坛上有句话，你换了马甲我就不认识你了。对于因为向量因有运算律，所以不必每一步都根据向量数量积的定义。一种是教材代数解法，但如果一题多解，还有种几何解法。我们都涉及。但几何解法比较难。所以几何解法我们用来验证。可这两种解法可以比较优劣。代数解法不知道本质，几何解法可以看出事物的本质。代数解法是垂直但不知道为什么垂直，几何解法却可以知道垂直为什么是垂直。,对于例3,总结：,练习：,1若a =0，则对任一向量b ，有a b=0,2若a 0，则对任一非零向量b ,有a b0,3若a 0，a b =0，则b=0,4若a b=0，则a b中至少有一个为0,5若a0，a b= b c，则a=c,6若a b = a c ,则bc,当且仅当a=0 时成立,7对任意向量 a 有,练习：,作业：,
