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1、第 5 章 离散信号与系统的时域分析,5.0 引 言 5.1 离散时间基本信号 5.2 卷积和 5.3 离散系统的算子方程 5.4 离散系统的零输入响应 5.5 离散系统的零状态响应 5.6 系统差分方程的经典解法,5.0 引 言,在前面几章的讨论中，所涉及的系统均属连续时间系统，这类系统用于传输和处理连 续时间信号。此外，还有一类用于传输和处理离散时间信号的系统称为离散 时间系统， 简称离散系统。数字计算机是典型的离散系统例子，数据控制系统和数字通信系统的核心组成部分也都是离散系统。 鉴于离散系统在精度、可靠性、可集成化等方面，比连续系统具有更大的优越性，因此，近几十年来，离散 系统的理论研
2、究发展迅速，应用范围也日益扩大。在实际工作中，人们根据需要往往把 连续系统与离散系统组合起来使用，这种系统称为混合系统。,5.1 离散时间基本信号,5.1.1 离散时间信号,连续时间信号，在数学上可以表示为连续时间变量t的函数。这类信号 的特点是：在时间定义域内，除有限个不连续点外， 对任一给定时刻都对应有确定的信号值。离散时间信号，简称离散信号，它是离散时间变量tk(k=0,1, 2, )的函数。信号仅在规定的离散时间点上有意义，而在其它时间则没有定义，如图 5.1-1(a)所 示。鉴于tk按一定顺序变化时，其相应的信号值组成一个数值序列，通常把离散时间信号定义为如下有序信号值的集合： fk
3、=f(tk) k=0, 1, 2, (5.1-1) 式中，k为整数，表示信号值在序列中出现的序号。,图 5.1 1 离散时间信号,式(5.1-1)中tk和tk-1之间的间隔(tk-tk-1)可以是常数，也可以随k变化。在实际应用中，一般取为常数。例如，对连续时间信号均匀取样后得到的离散时间信号便是如此。对于这类离散时间信号，若令tk-tk-1=T，则信号仅在均匀时刻t=kT(k=0,1,2,)上取值。此时，式(5.1 - 1)中的f(tk)可以改写为f(kT)，信号图形如图 5.1-1(b)所示。 为了简便，我们用序列值的通项f(kT)表示集合f(kT)，并将常数T省略，则式(5.1-1)可简
4、写为 fk=f(k) k=0, 1, 2, (5.1-2),工程应用中，常将定义在等间隔离散时刻点上的离散时间信号称为离散时间序列 ，简称序列。,5.1.2 离散时间基本信号,1. 单位脉冲序列 单位脉冲序列定义为,图 5.1 2 单位脉冲序列,位移单位脉冲序列,或,图5.1-3 移位单位脉冲序列,2. 正弦序列,正弦序列的一般形式为,由于,式中，m、N均为整数。式(5.1-5)表明，只有当 为整数，或者,为有理数时，正弦序列才是周期序列；否则为非周期序列。,(5.1 - 6),当正弦序列是通过抽取连续时间正弦信号的样本获得时， 如果假设正弦信号 的周期为T0，取样间隔为Ts，那么，经过抽样得
5、到的正弦序列可表示为,式中， ， 将它代入式(5.1 - 6)可 得,对于连续时间正弦信号 , 按几种不同间隔Ts抽样得到的正弦序列示于图 5.1-4 中。当 时，有 此时， ， 是一个周期为 16 的周期性正弦序列，其 图形如图 5.1-4(a)所示。当 ，可得到如图 5.1 - 4(b)所示的序列，其 ，是一个周期为23 的周期性正弦序列 ；当 ，序列图形如图5.1 - 4(c)所示，其 ，由于 ,是一无理数，故f(k)是一非周期正弦序列，值得注意的是此时它的包络函数f(t)仍具有周期性。,图 5.14 正弦序列,3. 指数序列,指数序列的一般形式为,(1)若A和 均为实数， 则 为实指数
6、序列。当a1时，f(k)随k单调指数增长。当0a 1时，f(k)随k单调指数衰减；当a-1时，f(k)的绝对值随k按指数规律增长。 当-1a0时，f(k)绝对值随k按指数 规律衰减。 且两者 的序列值符号呈现正、负交替变化；当a=1时，f(k)为常数序列。当a=-1时，f(k)符号也呈现正、 负交替变化。(图 5.1 5 所示),图 5.1 5 实指数序列,(2) 若A=1，=j0，则,是虚指数序列。我们已经知道，连续时间虚指数信号e j0t是周期信号。然而，离散 时间虚指数序列ej0k则只有满足一定条件时才是周期的， 否则是非周 期的。根据欧拉公式，式(5.1 - 9)可写成,可见，e j0
7、k的实部和虚部都是正弦序列，只有其实部和虚部同时为周 期序列时，才能保证ej0k是周期的。,(3) 若A和均为复数，则f(k)=Aek为一般形式的复指数序列 。 设复数A=|A|ej, =+j0，并记e=r， 则有,可见，复指数序列f(k)的实部和虚部均为幅值按指数规律变化的正弦序列。,图 5.1 6 复指数序列,4. Z序列 Z序列的一般形式为,式中，z为复数。通常，称序列值为复值的序列为复序列。显然， Z 序列是一复序列。若将z表示为极坐标形式,根据欧拉公式， 还可写成,5.2 卷 积 和,5.2.1 卷积和的定义,定义两个连续时间信号f1(t)和f2(t)的卷积运算为,同样地， 我们定义
8、,为序列f1(k)和f2(k)的卷积和运算，简称卷积和 ( Convolution Sum)。,(5.2 - 2),如果f1(k)为因果序列，由于k0时，f1(k)=0，故式(5.2 - 2)中求和下限可 改写为零，即,如果f2(k)为因果序列，而f1(k)不受限制，那么式(5.2 - 2)中，当(k-i) 0，即ik时，f2(k-i)=0, 因而和式的上限可改写为k，也就是,如果f1(k)和f2(k)均为因果序列， 则有,(5.2 - 5),考虑到f1(k)、f2(k)均为因果序列，根据式(5.2 - 5)，可将上式表示为,例 5.2 1 设f1(k)=e-k( k)，f2(k)=(k),
9、求f1(k)*f2(k)。,解 由卷积和定义式(5.2 - 2)得,显然，上式中k0，故应写为,与卷积运算一样，用图解法求两序列的卷积和运算也包括信号的翻转、平移、相乘 、求和等四个基本步骤。,例 5.2 2 已知离散信号,求卷积和f1(k)*f2(k)。,解 记卷积和运算结果为f(k)，由式(5.2 - 2)得,第一步，画出f1(i)、f2(i)图形，分别如图 5.2 - 1(a)、 (b)所示。第二步，将f2(i)图形以纵坐标为轴线翻转 180，得到f2(-i)图形，如图 5.2 - 1(c)所示。第三步，将f2(-i)图形沿i轴左移(k0)或右移(k0)|k|个时间单位，得到f2(k-i
10、) 图形。例如，当k=-1和k=1时，f2(k-i)图形分别如图 5.2 - 1(d)、 (e)所示。,第四步，对任一给定值k，按式(5.2 - 6)进行相乘、求和运算，得到序号为k的卷 积 和序列值f(k)。若令k由-至变化，f2(k-i)图形将从-处开始沿i轴自左向右移动 ，并由式(5.2 - 6)计算求得卷积和序列f(k)。对于本例中给定的f1(k)和f2(k) ，具体计算过程如下：,于是，其卷积和为,对于两个有限长序列的卷积和计算， 可以采用下面介绍的更为简便实用的方法计算。 这种 方法不需要画出序列图形， 只要把两个序列排成两行，按普通乘法运算进行相乘， 但中 间结果不进位，最后将位
11、于同一列的中间结果相加得到卷积和序列。 例如，对于例5. 2 - 2 中给定的f1(k)和f2(k)，为了方便，将f2(k)写在第一行， f1( k)写在第二行， 经序列值相乘和中间结果相加运算后得到,图5.2-1 卷积和计算,5.2.2 卷积和的性质,性质1 离散信号的卷积和运算服从交换律、结合律和分配律，即,性质 2 任一序列f(k)与单位脉冲序列(k)的卷 积和等于序列f(k)本身， 即,性质 3 若f1(k)*f2(k)=f(k)，则,式中k1 , k2均为整数。,例 5.2-3 已知序列x(k)=(3)-k(k) ，y(k)=1, -k, 试验证x(k)和y(k)的卷积和运算满足交换
12、律，即,解 先计算x(k)*y(k)，考虑到x(k)是因果序列，根据式(5.2-3)，有,再计算y(k)*x(k)，同样考虑到x(k)是因果序列，可得,求解过程中对k没有限制，故上式可写为 x(k)*y(k)=y(k)*x(k)=1.5 -k 可见，x(k)*y(k)运算满足交换律。,所以,例 5.2-4 已知序列f1(k)=2-(k+1) (k+1)和f2(k)=(k-2)，试计算卷积和f1(k)*f2(k)。解 用下面两种方法计算。方法一：图解法。将序列f1(k), f2(k)的自变量换为i，画出f 1(i)和f2(i)的图形如图 5.2-2(a), (b)所示。将f2(i)图形翻转 18
13、0后，得f2(-i)，如图5.2-2(c)所示。当k1时，由图 5.2-2(d)可知，其乘积项f1(i)f2(k-i)为零，故f1(k)*f2(k)=0。,图 5.2-2,当k1时，按卷积和定义，参见图 5.2-2(e)，可得,于是,故有,方法二： 应用卷积和性质 3。 先计算,上式中k0， 故有,再应用卷积和性质 3，求得,5.2.3 常用序列的卷积和公式,表 5.1 常用序列的卷积和公式,5.3 离散系统的算子方程,5.3.1 LTI离散时间系统,图 5.3-1 离散系统的输入输出模型,离散时间系统的状态和状态变量。离散时间系统在k0时刻的状态是指 满足如下条件的数目最少的一组数据x1(k
14、0), x2(k0), , xn(k0)。 这组 数据连同k0k上的输入f(k)就可以惟一地确定k时刻的输出y(k)，而不需具体知道k 0以前的输入情况。n称为离散系统的阶数。在实际工作过程中，系统的状态x1(k0), x2(k0), , xn(k0)随k0不同 而变化，我们把描述系统状态变化的变量称作状态变量， 它是一组序 列信号，记为x1(k), x2(k), , xn(k)。,离散时间系统的零输入响应、零状态响应和完全响应。设k0为初始观察 时刻，则可将系统的输入区分为两部分，称k0以前的输入为历史输入信号，称k0及k0以后的输入为当前输入信号或简称输入信号。我们将仅由k0时刻的初始状态
15、或历史输入信号引起的响应称作零输入响应，记为yx(k)；仅由当前输入信号引起的响应称作零状态响应，记为yf(k)。而将零输入响应、零状态响应之和 称作系统的完全响应，记为y(k)。,离散时间系统的齐次性、叠加性和线性特性。设离散系统的输入输出关系为 f(k) y(k)所谓齐次性是指对于任意常数a、 输入f(k)和输出y(k)，恒有 af(k) ay(k) (5.3-3)所谓叠加性是指对于输入f1(k)、f2(k)和输出y(k)，若设 f1(k)y1(k)，f2(k) y2( k)，则恒有 f1(k), f2(k) y1(k)+y2(k) (5.3- 4) 式中，f1(k), f2(k)表示f1(k)和f2(k)同时作为系统的输入。,齐次性和叠加性统称为线性特性。 对于任意常数a和b，输入f1(k)和 f2(k)共同作用时，系统的线性特性可表示为 af1(k), bf2(k) ay1(k)+by2(k) (5.3 - 5) 它同时体现了式(5.3-3)的齐次性和式(5.3-4)的叠加性。线性离散时间系统和非线性离散时间系统。 若离散时间系统的响应可 分 解为零输入响应和零状态响应两部分， 且零输入响应与初始状态或历史输入信号、 零状态 响应与当前输入信号之间分别满足齐次性和叠加性，则称该系统为线性离散时间 系统，否则称为非线性离散时间系统。,
