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1、1 绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习解三角形知识点、题型与方法归纳制卷:王小凤学生姓名:一、知识点归纳(注重细节,熟记考点)1正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径)变式:12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC()(边化角公式)2 sin,sin,sin222abcABCRRR( )(角化边公式)3:sin:sin:sina b cABC( )sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbBcC cC2正弦定理适用情况:(1)已知两角及任一边;(2)已知两边和一边的对角(需要判断三角形解的情况).3余弦定理及其推论22222
2、22222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab 4余弦定理适用情况:(1)已知两边及夹角;(2)已知三边 . 注解三角形或判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化 ( 这也是正余弦定理的作 用) ,统一成边的形式或角的形式. 5常用的三角形面积公式(1)高底 21 ABCS;(2)111=sinsinsin2224abcSabCacBbcARABCR为外接圆半径(两边夹一角);6三角形中常用结论(1),(abc bca acb 即两边之和大于第三边,两边之差小于第三边)(2)sinsin(
3、ABCABabAB在中,即大边对大角,大角对大边)(3)在ABC中,ABC,所以sinsinABC ; coscosABC;tantanABC ;sincos, 22ABCcossin22ABC7实际问题中的常用角(1)仰角和俯角在视线和水平线所成的角中, 视线在水平线上方的角叫仰角,在水平线下文的叫俯角 (如图)(2)方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角,如B点的方位角为 (如图)注:仰角、俯角、方位角的区别是:三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的,而方位角是相对于正北方向而言的。(3)方向角:相对于某一正方向的水平角(如图)如: 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向;
4、“东北方向”表示北偏东(或东偏北)45. (4)坡度:坡面与水平面所成的二面角的度数(如图,角为坡角)二、题型示例(注重基础,熟记方法)考点一:正弦定理、余弦定理的简单应用1在ABCV中,若 A60 ,B45 ,BC3 2,则 AC () A4 3B2 3 C3 D3 22在ABCV中,2223abcbc ,则A等于() A60B45C120D150考点二:利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3设ABCV的内角,A B C所对的边分别为, ,a b c, 若coscossinbCcBaA, 则ABCV的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定4若 ABC 的三个内角满足7:5:
5、3sin:sin:sinCBA,则 ABC() A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形,也可能是钝角三角形2 5在ABC中,若cos A cos Bb a,则 ABC 是() A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形考点三:利用正余弦定理求三角形的面积6在ABC中,3AB,1AC,30A,则ABC面积为 () A32B34C32或3D34或327已知ABC的三边长3,5,6abc,则ABC的面积为 () A14B 2 14C 15D 2 15考点四:利用正余弦定理求角8在锐角中ABC,角,A B所对的边长分别为,a b.若 2 sin3 ,
6、aBbA则角 等于 () A12B6C4D39在 ABC 中,若 a18,b24,A45 ,则此三角形有() A无解B两解C一解D解的个数不确定10在ABC,内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B() A6B3C23D56考点五:正余弦定理实际应用问题11如图: A,B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点,现位于A 点北偏东45,B 点北偏西60的 D 点有一艘轮船发出求救信号,位于 B 点南偏西60且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救,其航行速度为每小时30 海里,该救援船到达D 点需要
7、多长时间?解由题意知 AB5(33)海里,DBA90 60 30 ,DAB90 45 45 ,ADB180 (45 30 )105 . 在DAB 中,由正弦定理,得DB sinDABAB sinADB,DBAB sinDAB sinADB5(33) sin 45 sin 105 5(33) sin 45 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 5 3( 31)31 210 3(海里)又DBCDBAABC30 (90 60 )60 ,BC20 3(海里),在DBC 中,由余弦定理,得CD2BD2BC22BD BC cos DBC 3001 2002 10 3 20 31 2900
8、,CD30(海里),需要的时间 t30301(小时)故救援船到达D 点需要 1 小时三、高考真题赏析1(2016 年山东) 在 ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,已知tantan2(tantan).coscosABABBA()证明:a+b=2c; ()求cosC 的最小值 . 【解析】 ( ) 由cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA得cosAcosBsinBcosAcosBsinAcosAcosBsinC2,所以CBCsinsinsin2,由正弦定理,得cba2=+()由 abcabbaabcbaC22222222)(cos21123122312322
9、2)(bacabc所以Ccos的最小值为212(2016 年四川)在ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc. (I)证明:sinsinsinABC;(II)若22265bcabc,求tan B. 【解析】(I)证明:由正弦定理 sinsinsinabcABC可知原式可以化解为coscossin1sinsinsinABCABC A和B为三角形内角, sinsin0AB 则,两边同时乘以sinsinAB,可得 sincossincossinsinBAABAB3 由和角公式可知,sincossincossinsinsinBAABABCC原式得证。(II
10、 )由题22265bcabc ,根据余弦定理可知,2223cos25bcaAbcA为 为三角形内角,0,A,sin0A则2 34sin1 55A,即cos3sin4AA由(I)可知coscossin1sinsinsinABCABC,cos11sintan4BBB tan4B3(2016 年全国 I)ABC的内角 A, B,C 的对边分别为a,b,c,已知2cos( coscos ).C aB+bAc(I)求 C;(II)若7,cABC的面积为3 32,求ABC的周长【解析】 (1) 由正弦定理得:2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABCABC,0ABC、,
11、sinsin0ABC 2cos1C,1cos2C0C,3C 由余弦定理得:2222coscababC即221722abab237abab133 3sin242SabCab6ab2187ab5abABC周长为57abc4(2015 高考新课标2) ABC中,D是BC上的 点,AD平分BAC,ABD面积是ADC面积的 2 倍() 求sinsinBC;()若1AD,2 2DC,求BD和AC的长5(2015 高考四川,理19) 如图, A,B,C,D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 . (1)证明:1costan;2sinAAA(2)若180 ,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantan
12、tantan 2222ABCD的值 . ABCD4 6 (2013 级绵阳一诊, 19)已知如图,在Rt ABC中,60A,6AB,点 D、E 是斜边 AB 上两点(I)当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时,求CD CA的值;(II)当点DE、在线段AB上运动时,且30DCE,设ACD,试用表示DCE的面积S,并求S的取值范围解: (1)在 RtABC 中,AC=ABcos60o =3 216,231ABAD. CDCAAD ,2 ()CD CACAADCACAAD CA2| | cosCAADCAADCA,=9+2 3 cos120o=6. (2)在 ACD 中, ADC=180o -A-
13、DCA=120o - ,由正弦定理可得 ADCAC ACD sinsin,即)120sin(233 )120sin(233 CD. 在AEC 中, ACE= +30o ,AEC=180o -60o -( +30o )=90o- ,由正弦定理可得: AECACACEsinsin,即 cos233)90sin(233 CE,cos233)120sin(2334130sin21CECDSDCEc o s)120sin(11627,令 f( )=sin(120o- )cos ,0o 60o , f( )=(sin120ocos -cos120o sin )coscossin21cos2322sin212122cos123)2sin212cos23(21 43)602sin(21 43,由 0o 60o ,知 60o2 +60o180o, 0sin(2 +60o)1 ,43 f( ) 21 43,)32(4)(1 f334,)32( 427DCES12327