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1、1 绵阳市开元中学高2014级高三一轮复习解三角形知识点、题型与方法归纳制卷：王小凤学生姓名：一、知识点归纳（注重细节，熟记考点）1正弦定理及其变形2(sinsinsinabcRRABC为三角形外接圆半径）变式：12sin,2sin,2sinaRA bRB cRC（）(边化角公式）2 sin,sin,sin222abcABCRRR（ ）(角化边公式）3:sin:sin:sina b cABC（ ）sinsinsin(4),sinsinsinaA aA bBbBcC cC2正弦定理适用情况：（1）已知两角及任一边；（2）已知两边和一边的对角（需要判断三角形解的情况）.3余弦定理及其推论22222
2、22222cos2cos2cosabcbcAbacacBcababC222222222cos2cos2cos2bcaAbcacbBacabcCab 4余弦定理适用情况：（1）已知两边及夹角；（2）已知三边 . 注解三角形或判定三角形形状时，可利用正余弦定理实现边角转化 ( 这也是正余弦定理的作 用) ，统一成边的形式或角的形式. 5常用的三角形面积公式（1）高底 21 ABCS；（2）111=sinsinsin2224abcSabCacBbcARABCR为外接圆半径（两边夹一角）；6三角形中常用结论（1）,(abc bca acb 即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边）（2）sinsin(
3、ABCABabAB在中，即大边对大角，大角对大边）（3）在ABC中，ABC，所以sinsinABC ； coscosABC；tantanABC ；sincos, 22ABCcossin22ABC7实际问题中的常用角（1）仰角和俯角在视线和水平线所成的角中， 视线在水平线上方的角叫仰角，在水平线下文的叫俯角 （如图）（2）方位角从指北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为 （如图）注：仰角、俯角、方位角的区别是：三者的参照不同。仰角与俯角是相对于水平线而言的，而方位角是相对于正北方向而言的。（3）方向角：相对于某一正方向的水平角（如图）如： 北偏东即由指北方向顺时针旋转到达目标方向；
4、“东北方向”表示北偏东（或东偏北）45. （4）坡度：坡面与水平面所成的二面角的度数（如图，角为坡角）二、题型示例（注重基础，熟记方法）考点一：正弦定理、余弦定理的简单应用1在ABCV中，若 A60 ，B45 ，BC3 2，则 AC () A4 3B2 3 C3 D3 22在ABCV中，2223abcbc ，则A等于() A60B45C120D150考点二：利用正弦定理、余弦定理判断三角形的形状3设ABCV的内角,A B C所对的边分别为, ,a b c, 若coscossinbCcBaA, 则ABCV的形状为()A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不确定4若 ABC 的三个内角满足7:5:
5、3sin:sin:sinCBA，则 ABC() A一定是锐角三角形B一定是直角三角形C一定是钝角三角形D可能是锐角三角形，也可能是钝角三角形2 5在ABC中，若cos A cos Bb a，则 ABC 是() A等腰三角形B等边三角形C直角三角形D等腰三角形或直角三角形考点三：利用正余弦定理求三角形的面积6在ABC中，3AB,1AC,30A，则ABC面积为 () A32B34C32或3D34或327已知ABC的三边长3,5,6abc，则ABC的面积为 () A14B 2 14C 15D 2 15考点四：利用正余弦定理求角8在锐角中ABC,角,A B所对的边长分别为,a b.若 2 sin3 ,
6、aBbA则角 等于 () A12B6C4D39在 ABC 中，若 a18，b24，A45 ，则此三角形有() A无解B两解C一解D解的个数不确定10在ABC,内角,A B C所对的边长分别为, , .a b c1sincossincos,2aBCcBAb且ab,则B() A6B3C23D56考点五：正余弦定理实际应用问题11如图： A，B 是海面上位于东西方向相距5 33海里的两个观测点，现位于A 点北偏东45，B 点北偏西60的 D 点有一艘轮船发出求救信号，位于 B 点南偏西60且与 B 点相距20 3海里的 C 点的救援船立即前往营救，其航行速度为每小时30 海里，该救援船到达D 点需要
7、多长时间？解由题意知 AB5(33)海里，DBA90 60 30 ，DAB90 45 45 ，ADB180 (45 30 )105 . 在DAB 中，由正弦定理，得DB sinDABAB sinADB，DBAB sinDAB sinADB5(33) sin 45 sin 105 5(33) sin 45 sin 45 cos 60 cos 45 sin 60 5 3( 31)31 210 3(海里)又DBCDBAABC30 (90 60 )60 ，BC20 3(海里)，在DBC 中，由余弦定理，得CD2BD2BC22BD BC cos DBC 3001 2002 10 3 20 31 2900
8、，CD30(海里)，需要的时间 t30301(小时)故救援船到达D 点需要 1 小时三、高考真题赏析1（2016 年山东） 在 ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为a，b，c，已知tantan2(tantan).coscosABABBA（）证明：a+b=2c; （）求cosC 的最小值 . 【解析】 ( ) 由cosAtanB+cosBtanA=tanB)+2(tanA得cosAcosBsinBcosAcosBsinAcosAcosBsinC2，所以CBCsinsinsin2，由正弦定理，得cba2=+（）由 abcabbaabcbaC22222222)(cos21123122312322
9、2)(bacabc所以Ccos的最小值为212（2016 年四川）在ABC 中，角 A,B,C 所对的边分别是a,b,c,且coscossinABCabc. （I）证明：sinsinsinABC；（II）若22265bcabc，求tan B. 【解析】（I）证明：由正弦定理 sinsinsinabcABC可知原式可以化解为coscossin1sinsinsinABCABC A和B为三角形内角, sinsin0AB 则，两边同时乘以sinsinAB，可得 sincossincossinsinBAABAB3 由和角公式可知，sincossincossinsinsinBAABABCC原式得证。（II
10、 ）由题22265bcabc ,根据余弦定理可知，2223cos25bcaAbcA为 为三角形内角，0,A，sin0A则2 34sin1 55A，即cos3sin4AA由（I）可知coscossin1sinsinsinABCABC，cos11sintan4BBB tan4B3（2016 年全国 I）ABC的内角 A， B，C 的对边分别为a，b，c，已知2cos( coscos ).C aB+bAc（I）求 C；（II）若7,cABC的面积为3 32，求ABC的周长【解析】 (1) 由正弦定理得：2cossincossincossinCABBAC2cossinsinCABCABC，0ABC、，
11、sinsin0ABC 2cos1C，1cos2C0C，3C 由余弦定理得：2222coscababC即221722abab237abab133 3sin242SabCab6ab2187ab5abABC周长为57abc4(2015 高考新课标2) ABC中，D是BC上的 点，AD平分BAC，ABD面积是ADC面积的 2 倍() 求sinsinBC；()若1AD，2 2DC，求BD和AC的长5（2015 高考四川，理19） 如图， A，B，C，D 为平面四边形 ABCD 的四个内角 . （1）证明：1costan;2sinAAA（2）若180 ,6,3,4,5,ACABBCCDADo求tantan
12、tantan 2222ABCD的值 . ABCD4 6 （2013 级绵阳一诊， 19）已知如图，在Rt ABC中，60A，6AB，点 D、E 是斜边 AB 上两点(I)当点D是线段AB靠近A的一个三等分点时，求CD CA的值；(II)当点DE、在线段AB上运动时，且30DCE，设ACD，试用表示DCE的面积S，并求S的取值范围解： （1）在 RtABC 中，AC=ABcos60o =3 216，231ABAD. CDCAAD ，2 ()CD CACAADCACAAD CA2| | cosCAADCAADCA，=9+2 3 cos120o=6. （2）在 ACD 中， ADC=180o -A-
13、DCA=120o - ，由正弦定理可得 ADCAC ACD sinsin，即)120sin(233 )120sin(233 CD. 在AEC 中， ACE= +30o ，AEC=180o -60o -( +30o )=90o- ，由正弦定理可得： AECACACEsinsin，即 cos233)90sin(233 CE，cos233)120sin(2334130sin21CECDSDCEc o s)120sin(11627，令 f( )=sin(120o- )cos ，0o 60o ， f( )=(sin120ocos -cos120o sin )coscossin21cos2322sin212122cos123)2sin212cos23(21 43)602sin(21 43，由 0o 60o ，知 60o2 +60o180o， 0sin(2 +60o)1 ，43 f( ) 21 43，)32(4)(1 f334，)32( 427DCES12327
