《非二次函数方程根问题应对策略参评论文》由会员分享，可在线阅读，更多相关《非二次函数方程根问题应对策略参评论文（5页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、非二次函数方程根问题应对策略- 1 - 非二次函数方程根问题应对策略朱中良 (蕲春县横车高级中学 , 湖北 435317)非二次函数方程根问题是高考常考的知识点. 这类问题涵盖知识点多, 综合性强 , 能较好地考查数学思想方法, 学生们求解起来往往颇感困难, 本文就非二次函数方程 根问题常见类型结合一些高考试题和模拟试题进行分析, 探寻解题策略 , 以供参考 . 1. 判断方程根的个数问题【例 1】(2008 年元月黄冈市)方程sin2cos，0, 2的根的个数是（）A.1 个 B.2个 C.3 个 D.4个 【解】 因为方程有根 , 故cos0, 令sin,(11)xx, 则问题转化为方程2
2、21xx的根个数问题 , 记12xCy; 221Cyx, 则问题转化为两曲线交点个数问题, 在同一坐标系中画出它们的图象, 如图所示 , 故选 B. 【评】方程根个数与曲线交点个数是相同. 本例先对数式换元转化 , 再进行数形 转化, 再考查曲线交点的个数 . 【例 2】若函数()fx的定义域R, 对任意实数(,)x都满足()()fxfx,(1)(1)fxfx, 若当0,1x,2()fxx. 函数5()logxg x, 则方程()()fxg x的根的个数为 ( ) A.4 B.6 C.8 D.10 【解】()fx和()gx均为偶函数 , 它们的图象都关于y轴对称 , 依条件()()fxfx,(
3、1)(1)fxfx, 知()fx是以 2 为最小正周期的周期函数. 在同一坐标系中画出它们的图象( 只画y轴右侧 , 因为它们均为偶函数 ), 依对称性可知原方程的根为10 个. 【评】本例是利用函数性质画图, 再考查两图象交点的个数. 2. 知方程根个数反求参数取值范围问题【例 3】(2008 年 3 月长沙市 ) 已知函数 )0()1()0(12)( xxfxxfx ，若方程axxf)(有且只有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是 ( ) A .0,(B(,1)C 1,0D,00 x y 12xCy221Cyx0 x y 1 2 3 4 5 非二次函数方程根问题应对策略- 2 - 【解
4、】 记1()Cyfx,2Cyxa在同一坐标系中画出它们的图象 , 欲使原方程有两个不相等的实根, 则1a,选 B. 【评】注意函数在(0,)上的性质 , 画出函数1()Cyfx的图象 , 又2Cyxa是一组平行直线 , 当1a,时,它们总有两个不同交点. 【例 4】(2005 年上海考题 )设定义域为R的函数 )1(0)1(1lg)( xxxxf, 则关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个不同的实数根的充要条件是( ) 0,0 cb0,0 cb0,0 cb 0,0 cb【解】 画出图象 , 若关于x的方程0)()(2cxbfxf有 7 个根, 令()fxt, 则方程20tbtc必有一个
5、根10t, 另一个根20t. 故0,0 cb. 选 C. 【评】 这类问题称为 “ 复合方程 ” 根问题 , 在解题时一是要注意关于t的方程20tbtc根与关于的x的方程0)()(2cxbfxf的根对应关系 , 二是要定性地画出图象 . 若设方程的 7 个根分别为1234567,xxxxxxx, 则依根的对称性知1234567xxxxxxx的值为 7. 3. 函数导数不等式与方程根综合题【例 5】（2008 年元月份武昌区改编）已知函数2lnfxxax在区间（ 1，2 上是增函数，gxxax在区间（0，1）上为减函数 . （）试求函数,fxgx的解析式；( ) 若mR,0x时，试就参数m的取值
6、讨论方程fxgxm根的个数. 【解】 （）20a fxx xQ在2,1x恒成立 , 所以22xa,2a. 又0 21 xaxg在1,0x恒成立 , 所以xa2,2a. 从而有2a. 故xxxfln22,xxxg2. （）令()()()Fxfxg xm, 则 xxxxF1122)(xxxxxx)222)(1(所以xF在1 ,0上是减函数 , 在,1上是增函数 , 0 x y x=1 非二次函数方程根问题应对策略- 3 - 从而当0x时, min12FxFm. 依函数性质画草图 . 因此, 当2m时,图象与x轴有两个不同交点 , 即方程()()fxgxm在,0有两异根. 当2m时, 图象与x轴仅有
7、 1 个交点 , 即方程()()fxgxm在,0只有一个根1x; 当2m时,图象与x轴无交点 , 方程()()fxgxm在,0上无根 ; 【评】 本例第( ) 问解法是构造差函数()()()Fxfxg xm, 再利用导数来研究函数()Fx的单调性和极值 , 从而画出()Fx的草图 , 于是方程有解等价于函数图象与x 轴有交点 , 方程解的个数与图象和x轴的交点个数相同【例 6】(2006 年福建卷 )已知函数2()8,()6 ln.fxxx gxxm（I ）求()fx在区间,1t t上的最大值( );h t（II ）是否存在实数,m使得()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点？
8、若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。 【解】 （I ）略 （II ）函数()yfx的图象与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，即函数()()()xgxfx的图象与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22( )86 ln,6286()282(1)(3)(0),xxxxmxxxx xxxxx xQ当(0,1)x时，()0,()xx是增函数；当(1, 3)x时，()0,()xx是减函数；当(3,)x时，()0,()xx是增函数；当1,x或3x时，()0.x()(1)7,()(3)6 ln 315.xmxm极 大 值极 小 值 当x充分接近 0 时，()0,x当x充分大时，()0.x依性
9、质画出()()()xgxfx的草图 , 要使()x的图象与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须()70,()6ln 3150,xmxm极 大 值极 小 值即7156 ln 3.m所以存在实数m，使得函数()yfx与()ygx的图象有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,156 ln 3).【评】 本小题主要考查函数的单调性、极值、最值等基本知识，考查运用导数研0 x y 1 12Fm0 x y 1 3 非二次函数方程根问题应对策略- 4 - 究函数性质的方法，考查运算能力，考查函数与方程、数形结合、分类与整合等数 学思想方法和分析问题、 解决问题的能力 . 图象有三个不同交点与方程()(
10、)fxg x有三个根实质是相同的，本例用导数来研究函数的单调性和极值, 数形结合 , 画草图便 可使问题获得解决 .【例 5】( 中学数学教学参考2008 年 1-2 期)设函数23()1(1). 23n nnxxxfxxnN nL( ) 试确定3()fx和4()fx( ) 说明4()0fx方程是否有解 ; ( ) 对于自然数n, 试给出关于的方程()0nfx的解的情况的一个定性结论, 并加以证明 . 【解】 ( )233()1 23xxfxx,23()10fxxx所以3()fx是减函数 ; 2344()1 234xxxfxx,2324()1(1)(1)fxxxxxx在区间(,1)上4()fx
11、为减函数 , 在(1,)上4()fx为增函数 . ( ) 由( ) 知4min445()(1)0,()0 12fxffx无解. ( ) 猜想当n为偶数时 , 关于x方程()0nfx无解; 当n为奇数时 , 关于x的方程()0nfx有且只有一解 , 下面证明 : 当n为偶数时 , 242()(1)(1)0nnfxxxxxL, 所以, ()nfx在(,1)上为减函数 , 在(1,)上为增函数 , min211()(1)11 231(1) 2111111()()() 2345222110 2nnkfxfkkkkLL所以()0nfx无解. 当n为奇数时 , 易证231()1nnfxxxxxL1,()0
12、nxfx时1,x时有231()1()110 11nnnnfxxxxxxxxxL非二次函数方程根问题应对策略- 5 - 所以()nfx是R上的减函数 . 又因为(0)10,nf2111()1()(1) 231nnnfnnnn nL当n取不小于 1 的奇数时 , ()0nfn, 所以关于x的方程()0nfx的方程有且只有一解 . 【评】本题查功能强大 , 考查学生对导数及不等式的基本知识和基本技能及掌 握程度以及运算能力, 以 及归纳推理能力和逻辑推理能力, 在 “给出关于的方程()0nfx的解的情况的一个定性结论, 并加以证明”这一问有一定的难度，要用到猜想、证明、分类讨论和根存在判断定理及数形
13、结合思想等。总之，对于非二次函数方程根问题考查题求解主要策略是数形结合法，等价转化 法，用导数法来研究函数的性质法。理解下面几个重要结论对解题有帮助。 方程()()fxgx解的个数与函数图象1:()Cyfx和2:()Cygx交点的个数 是相同的，与构造差函数()()()h xfxgx和x轴的交点个数也是相同的。含参数m的方程分离变元后得，()()fxg m有解的充要条件是()g m取值集合就是函数()yfx值域. 函数()fx在,a b连续，若()()0fafb，则至少有一个实数0(,)xa b，使得0()0fx. 函数()fx在,a b连续且单调递增 ( 减) ，若()()0fafb，则有且只有一个实数0(,)xa b，使得0()0fx.
