空间中直线与直线之间的位置关系

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1、2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系（一）,约2节时,教学目的,1.会判断两条直线的位置关系，学会用图形语言、符号语言表示三种位置关系. 2.理解公理四,并能运用公理四证明线线平行. 3掌握空间两直线的位置关系，掌握异面直线的概念，会用异面直线的定义和反证法证明两直线异面； 4. 掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念，能求出一些较-特殊-的异面直线所成的角,请叙述三条公理和三条推论,如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内,过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面,经过一条直线和这条直线外的一点有且只有一个平面,经过两条相交直线，有且只有一个平面,经过两条平行直线

2、，有且只有一个平面,如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线,回顾,复习引入：,1、同一平面内不重合两条直线有几种位置关系？,2、在同一平面内，同平行于一条直线的两条直线有什么位置关系？,(1)、相交：有且仅有一个公共点。,(2)、平行：在同一平面内没有公共点。,互相平行,提出问题：空间中的两条直线呢？,复习与准备：平面内两条直线的位置关系,相交直线 （有一个公共点）,平行直线 （无公共点）,两路相交,立交桥,立交桥中, 两条路线AB, CD,既不平行，又不相交,1.空间中两条直线的位置关系,观察教室内的日光灯管所在直线与黑板的左右两侧所在的直线,想一想:它们相交

3、吗?平行吗?共面吗?,观察长方体的棱所在 直线,回答类似的问题.,思考：我们把具有上述特征的两条直线取个怎样的名字才好呢？,六角螺母,a与b是相交直线,a与b是平行直线,a与b是异面直线,答：不一定：它们可能异面，可能相交，也可能平行。,分别在两个平面内的两条直线是否一定异面？,合作探究一,：在教室里找出几对异面直线的例子。,两直线异面的判别二 : 两条直线不同在任何一个平面内.,1.异面直线的定义:,不同在 任何 一个平面内的两条直线叫做异面直线。,两直线异面的判别一 : 两条直线 既不相交、又不平行.,注1,按平面基本性质分,同在一个平面内,相交直线,平行直线,不同在任何一个平面内:,异面

4、直线,有一个公共点:,按公共点个数分,相交直线,无 公 共 点,平行直线,异面直线,NEXT,BACK,1）.空间中直线与直线之间的位置关系,2）.异面直线的画法,说明: 画异面直线时 , 为了体现它们不共面的特点。常借助一个或两个平面来衬托.,如图：,(1),(3),(2),练习2：画两直线相交，第三条直线与它们异面。,想一想,做一做：,1.已知M、N分别是长方体的棱C1D1与CC1上的点，那么MN与AB所在的直线是异面直线吗？,想一想,做一做：,答：三对,AB与CD AB与GH EF与GH,3.,课下炒作！,2.下图是一个正方体的展开图，如果将它还原成正方体，那么AB，CD，EF，GH这四

5、条线所在直线是异面直线的有几对？,2. 空间两平行直线,提出问题：在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线互相平行。在空间中，是否有类似的规律？,公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。,公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。,公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。,ab cb,ac,符号表示：设空间中的三条直线分别为a, b, c,若,想一想:空间中,如果两条直线都与第三条直线垂直,是否也有类似的规律?,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,分析：,欲证

6、EFGH是一个平行四边形,只需证EHFG且EHFG,E，F，G，H分别是各边中点,连结BD,只需证： EH BD且EH BDFG BD且FG BD,例题示范,例1： 在空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点。 求证：四边形EFGH是平行四边形。,若连接AC呢？,E,H,F,G,分析：在例题的基础上我们只需要证明平行四边形的两条邻边相等。,菱形,变式一： 在例1中，如果再加上条件AC=BD， 那么四边形EFGH是什么图形?,变式二：,空间四面体A-BCD中,E,H分别是AB,AD的中点,F,G分别是CB,CD上的点,且 ， 求证:四边形ABCD为梯形.,A,B,C

7、,D,E,H,F,G,分析：需要证明四边形ABCD有 一组对边平行，但不相等。,【拓展提升】 1.证明两条直线平行的方法 (1)公理4. (2)三角形中位线的性质. (3)平行四边形的性质. (4)同位角(内错角)相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行. (5)平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行.,3. 等角定理,提出问题:在平面上,我们容易证明“如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补”。在空间中,结论是否仍然成立呢?,观察思考：如图,ADC与ADC、ADC与ABC的两边分别对应平行，这两组角的大小关系如何？,3. 等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应

8、平行，那么这两个角相等或互补。,3. 等角定理,定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补。,定理的推论:如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行,那么这两条直线所成的锐角(或直角)相等.,总结、公理4和等角定理 1.公理4 (1)文字表述:_的两条直线互相平行. (2)符号表述:_. (3)含义:揭示了空间平行线的_性. 2.等角定理 (1)研究对象:在空间中的两个角. (2)条件:两边分别_. (3)结论:这两个角_.,平行于同一条直线,ab且bcac,传递,对应平行,相等或互补,总结、证明角相等的方法 (1)利用题设中的条件，将要证明的两个角放在两个三角形中，利用三

9、角形全等或三角形相似证明两个角相等. (2)在题目中若不好构造三角形或不能利用三角形全等或相似来证明角相等，可考虑两个角的两边，可利用定理证明这两个角的两边分别对应平行且方向相同或相反，从而达到目的.,4. 异面直线所成的角：,如图，已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O作直线aa，bb，我们把a与b所成的锐角（或直角）叫做异面直线a，b所成的角（或夹角）。,为了简便，点O通常取在两条异面直线中的一条上，例如，取在直线b上，然后经过点O作直线aa，a 和b所成的锐角（或直角）就是异面直线a与b所成的角。,想一想:a与b 所成角的大小与点O的位置有关吗?,平移,4. 异面直线所成的角,如果两条

10、异面直线所成的角为直角，就说两条直线互相垂直，记作ab。,注.1、空间中直线与直线垂直包括的两种情况,2.一个重要结论： 若一条直线垂直于两条平行直线中的一条，则它一定与另一条直线垂直，即若ab，ac，则bc. 理由:因为ac，所以a与c所成的角大小为90，又因为ab，所以b与c所成的角大小也为90，所以bc.,略5. 异面直线的判定定理,异面直线定理：过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线。,与 是异面直线,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA 和CC 的夹角是多少？ （3）哪些棱所

11、在的直线与直线AA 垂直？,解：（1）由异面直线的判定方法可知，与直线,成异面直线的有直线,，,例题示范,例2、如图，已知正方体ABCDABCD 中。 （1）哪些棱所在直线与直线BA是异面直线？ （2）直线BA 和CC 的夹角是多少？ （3）哪些棱所在的直线与直线AA 垂直？,与直线 都垂直.,(1)求两异面直线所成的角的一般步骤： 作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线 所成的角； 证：证明作出的角就是要求的角； 计算：求角的值，常利用解三角形 可用“一作二证三计算”来概括 (2)平移直线得出的角有可能是两条异面直线所成角 的补角，要注意识别这种情况,【提升总结】,巩固新知：P48页练习

12、1,2题。,例3: 如图， 是平面 外的一点 分别是 的重心， 求证： 。,证明：连结 分别交 于 ,连结 , G,H分别是ABC,ACD的重心,M,N分别是BC,CD的中点, MN/BD, 又 GH/MN,由公理4知GH/BD.,练习反馈：,1. 判断: （1）平行于同一直线的两条直线平行.（ ） （2）垂直于同一直线的两条直线平行.（ ） （3）过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 . （ ） （4）与已知直线平行且距离等于定长的直线只有两条. （ ） （5）若一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这两个角相等（ ） （6）若两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线

13、所成的锐角（或直角）相等. （ ）,这节课我们学习了 1.两条直线的位置关系（平行、相交、异面），平行公理和等角定理及其推论异面直线的概念、判断及异面直线夹角的概念；2.证明两直线异面的一般方法是“定义法”或“反证法”；求异面直线的夹角的一般步骤是：“作证算答”,异面直线,相交直线,平行直线,异面直线,空间两直线的位置关系,异面直线的定义,异面直线的画法,两异面直线所成的角:,不能因为第一次飞翔遇到了乌云风暴， 从此就怀疑没有蓝天彩霞。天空无痕迹，但你已飞过。 君子有不战，战必胜。,在空间中，垂直于同一条 直线的两条直线一定平行吗？ 与同一条直线异面的两条直线 一定平行吗？,思考题,再见,布置

14、: P51 练习,A组3、4（1）（2）（3） 作业、6.,2.1.2空间中直线与直线 之间的位置关系（二）,两异面直线定义、所成的角,在空间中，垂直于同一条 直线的两条直线一定平行吗？ 与同一条直线异面的两条直线 一定平行吗？,思考：,练习反馈,2选择题（1）“a，b是异面直线”是指 ab=,且a不平行于b； a 平面a，b平面b且ab= a 平面a，b 平面a 不存在平面a，能使a a且b a成立 上述结论中，正确的是 （ ） （A） （B） （C） （D）,（2）长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有 （ ）（A）2对 （B）3对 （C）6对 （D）12对,C,C,（3）两条直线a,b分别和异面直线c,d都相交，则直线a，b的位置关系是（ ）（A）一定是异面直线 （B）一定是相交直线（C）可能是平行直线 （D）可能是异面直线，也可能是相交直线 （4）一条直线和两条异面直线中的一条平行,则它和另一条的位置关系是( ) （A）平行 （B）相交 （C）异面 （D）相交或异面,3两条直线互相垂直，它们一定相交吗？,答：不一定，还可能异面,D,D,4.垂直于同一直线的两条直线,有几种位置关系？,答：三种：相交，平行，异面,5画两个相交平面，在这两个平面内各画一条直线使它们成为（1）平行直线；（2）相交直线；（3）异面直线,