一元一次方程根的判别式

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1、公式法解一元二次方程（3）,龙口十中 单婷,一、教材分析,1、教材的地位与作用公式法解一元二次方程是鲁教版八年级数学下册第七章第三节的内容，共分5个课时，本节学习第三课时。内容是一元二次方程根的判别式的理解和应用，是在学习了配方法、公式法解一元二次方程的基础上对一元二次方程求根公式的进一步的深入研究和理解。通过本节课的学习，使学生理解一元二次方程的根的判别式，并能用根的判别式判断方程根的情况，更有利于学生顺利的解一元二次方程，同时为以后学习不等式的解法和函数的有关内容奠定基础。,2、教学重、难点教学重点：一元二次方程的根的判别式定理及逆定理的正确理解和应用教学难点：对一元二次方程的根的判别式定

2、理及逆定理使用条件的透彻理解。,二、教学目标,1、感悟一元二次方程的根的判别式的产生过程;能运用根的判别式判别方程根的情况和进行有关的推理论证；会运用根的判别式求一元二次方程中字母系数的取值。 2、经历一元二次方程根的判别式的探究过程，体会分类讨论和转化的思想方法，感受数学思想的严密性与方法的灵活性。 3、通过对一元二次方程定理及逆定理的运用，体会数学的互逆思想，提高学生的计算能力及解决实际问题的能力。 4、通过对一元二次方程根的判别式的意义及作用的探究，培养学生对科学的探索精神和严谨的治学态度。,三、学情分析及教法学法,1、学情分析：学生在上一节推导求根公式以及用公式法解一元二次方程的过程中

3、，对b2-4ac的作用已经有所了解，在此基础上来进一步研究b2-4ac的作用，它是前面知识的深化和总结。对于八年级学生来讲，对分类讨论、归纳总结的数学思想已经有所接触，教学中可以先让学生解几个根的情况不同的方程，以获得更充分的感性认识，然后结合求根公式及b2-4ac的符号情况进行讨论，从而得出结论。,2、教法与学法： 教法：采用引导探究式和讨论交流式相结合的教学方法。 学法：指导学生从一元二次方程求根公式的推导过程中提出问题，解决问题，从而学会从具体的问题情景中抽象出数学问题，发展学生的思维能力。,四、教学资源,多媒体课件和导学案,五、教学过程,一、创设情境引入新知 二、探究发现形成新知 三、

4、综合应用巩固新知 四、感悟收获系统新知 五、分层作业发展新知,（一）、创设情境引入新知,1、用公式法解下列方程：,观察上面解一元二次方程的过程，回答下列问题： （1）上面三个方程都有实数根吗？为什么？ （2）一元二次方程的实数根和谁有关呢？,设计意图：通过设计问题情境，自然而然的引出不是所有的一元二次方程都有实数根， 从而引导学生去思考到底一元二次方程和谁有关？继而发现b2-4ac的值的符号在解一元二 次方程中所起的重要作用，激发了学生的学习兴趣，培养了学生的探索精神，变“老师教” 为“自己钻”，从而发挥了学生的主观能动性。培养学生思考问题的能力。,教学过程,（二）、探究发现形成新知,经过上面

5、问题的讨论，学生已经发现b2-4ac与方程根的关系，这是 教师指出，刚才的结论是对于三个特殊的方程是成立的，那么换一个方 程是不是还成立呢？为什么会有这样的结论呢？让学生带着这两个问题 自学课本P53页P54页的议一议，然后再小组讨论。设计意图：这样设计是为了培养学生思维的严谨性，养成严格论证 问题的习惯以及自学能力的培养。通过小组讨论，在组内解决自己不懂的 地方，通过生帮生，让学生充分发挥了学习的主动性，真正成为学习的主人。让学生自己去体验知识生成的同时发展了学生的分类思想和归纳思想。,特别强调，因为a0，所以4a20，因此b2-4ac的取值尤为重要,教学过程,定义： 我们把b2-4ac叫做

6、一元二次方程 ax2+bx+c=0(a0) 根的判别式，通常用希腊字母表示，即=b2-4ac,定理： 当0时，一元二次方程有两个不相等的实数根； 当0时，一元二次方程有两个相等的实数根； 当0时，一元二次方程没有实数根； 当0时，一元二次方程有实数根。,逆定理 ：,当一元二次方程有两个不相等的实数根时，0 当一元二次方程有两个相等的实数根时，0 当一元二次方程没有实数根时，0 当一元二次方程有实数根时，0,教学过程,强调定理与逆定理的用途不同定理的用途是：在不解方程的情况下，根据值的符号，用定理来判断方程根的情况。逆定理的用途是：在已知方程根的情况下，用逆定理来确定值的符号，进而可求出系数中某

7、些字母的取值范围。,设计意图：这一环节是为了培养学生学会如何用数学语言来阐述发现结论，如何将感性认识上升到理性认识，以及加深学生对两个定理的认识，为下面定理及逆定理的运用做好铺垫。,教学过程,（三）、综合应用巩固新知 练习一： 用一元二次方程的根的判别式定理，完成下面题目： 方程x2+2x-1=0中，a= b= c= ，b2-4ac= 方程有 个实数根。 方程-2x2-3x=0中，a= b= c= ，b2-4ac= 方程有 个实数根。 方程4x2+4x+1=0中，a= b= c= ，b2-4ac= 方程有 个实数根。 方程x2+x+1=0中，a= b= c= ，b2-4ac= 方程有 个实数根

8、。,设计意图：加强学生对一元二次方程根的判别式的理解，同时是学生认识到只要 能正确求出根的判别式的值，就可以不解方程判别一元二次方程的根的情况。,教学过程,例1、不解方程，判断下列方程的根的情况 1）4y2+9=12y 2)5(t2+1)-6t=0,提出问题：例1中的方程和刚才练习的方程有什么区别？ 不解方程判别一元二次方程的根的情况的一般步骤：化方程为一般形式。求出判别式的值。根据判别式的值，判断方程根的情况。 简称：一化、二求、三判断,设计意图：学生通过仿照练习1解决了例1的问题发展了学生的类比思想， 对根的判别式的定理得到进一步的巩固，最后由学生自己总结出解题步骤， 有利于提高学生的归纳

9、能力和语言表达能力，体会数学的严谨性。,教学过程,强调：1、只要能判别的值的符号就可以，具体数值不必算出。2、判别跟的情况不必求出方程的根。,练习2：不解方程，判断下列方程的根的情况： 必做题：（1）2x23x-40；（2）16y2924y； （3）5（x2-1）-7x0 选做题：（4）,设计意图：练习题设计必做和选做，充分关注了学生的个体差异， 遵循分层教学的原则，在掌握基础的同时还为学优生提供了思维的发展空间。,问题：练习2中的第一题和第三题整理成一般形式后二次项系数和常数项有什么共同点？它们的根的情况又如何？,教学过程,结论： 对于任意一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)当a、c异号

10、时， b2-4ac0，方程有两个不相等的实数根。,设计意图：通过上面的练习，进一步得到这个结论，实际上就是一个解题技巧， 学生掌握这个结论，在做简单的判断根的情况的题目时便可以直接得到结论，使学 生体会到数学的魅力，激发了学生主动去发现问题，解决问题的兴趣。,教学过程,例2 ：求证：关于x的方程x2-mx-m2-1=0恒有两个不相等的实数根。,问题： 1是谁决定了方程有两个不相等的实数根？2现在要证方程两个不相等的实数根，只要证明什么就行了？,设计意图：例2是补充的一个用定理证明的题目，它含有字母系数，它的证 明实际与练习2中的第4题的解法类似，但学生易于出错，往往错用逆定理来证。 所以我设计

11、的目的主要是为了给学生创造一个知识运用迁移及巩固的机会 培养学生分析问题，解决问题的能力,证明： =(-m)2-4(-m2-1)=m2+4m2+4=5m2+45m2+40 0方程有两个不相等的实数根,教学过程,练习3： 求证：关于x的方程x2-（m-1）x-3（m+3）=0恒有两个不相等的实数根。,设计意图：通过小组交流，班内交流，培养合作互助意识，树立自信心，通过对 关于变形的归纳，使学生对知识有了系统的掌握，有利于以后对这一类型题的解决。,证明：=-(m-1)2-4-3（m+3）=m2+10m+37 =（m+5）2+12 （m+5）20 （m+5）2+12 0即：0 所以，方程有两个不相等

12、的实数根,关于的变形：一般情况下， 由配方或因式分解后能变形 成a2,-a2,a2+b,-(a2+b),(a+b)2, -(a+b)2等形式；那么的符号 就明朗了，即可判断其符号,教学过程,例3：已知关于x的方程x2-ax+a+3=0有两个相等的实数根，求a的值。,问题：条件中的“有两个相等的实数根”说明了什么？,设计意图：本题实际上是一个根的判别式的逆定理的应用，以巩固逆定理的运用方法，通过提出问题引导学生自己分析、解决问题。以提高学生分析、解决问题的能力。,教学过程,=0,练习4：已知关于x的方程x2-3x+k=0,当k取何值时，方程1）有两个不相等的实数根2）有两个相等的实数根3）没有实

13、数根4）有两个实数根,设计意图：通过本练习让学生进一步巩固根的判别式的逆定理的运用，同时采用投影仪展示学生作业是为了换一种讲解的的方式，通过不同的方式来激起学生的学习兴趣，以提高课堂学习效率。,教学过程,（四）、感悟收获系统新知,注意根的判别式定理与逆定理的使用区别： 一般当已知值的符号时，使用定理；当已知方程根的情况时，使用逆定理。,（1）通过这一节课的学习，你学到了哪些知识？ （2）应用一元二次方程根的判别式来解决实际问题时，应注意哪些问题？ （3）你是否还存在疑问呢？,2a,-,b,设计意图：通过总结归纳，完善学生已有的学习结构，升华知识，提炼方法，感受学习的快乐，增添学习的动力，达到教

14、学目标。,（五）、分层作业发展新知,必做题：1、不解方程判别下列方程根的情况1)x2+10x+26=0 2)(a+b)x2-2ax+(a-b)=02、已知关于x的方程x2+(m+1)x+(m-2)2=0有两个相等的实数根，1）求m的值2）求这时方程的根。 选做题：已知：方程X2+2X-n+1=0没有实数根；求证：方程X2+bnx=1-2n一定有两个不相等的实根。设计意图：通过分层布置作业使学生既能及时巩固本节课所学知识，同时对学有余力的学生也留出自由发挥的空间。充分关注了学生的个体差异。,本节课我严格遵守新课程标准，以学生为主体，教师为主导的原则，不断创设自主探索与合作交流的学习环境，首先以学

15、生学过的旧知识公式法解一元二次方程入手，提出有思考价值的问题，让学生自己去观察，思考以探究一元二次方程求根公式中b2-4ac的取值范围与根的情况之间的关系为载体，利用小组合作为平台，让学生自主探索，体会从特殊到一般的数学思想，所谓良好的数学教育，就是不仅掌握了数学知识，而且还懂得了数学思想。在本节课的教学设计中，特别注意了数学思想的教学。在针对一元二次方程的求根公式进行讨论时，正是运用了分类思想，分别就b2-4ac0、b2-4ac0、b2-4ac0三种情形进行讨论的；定理和逆定理的叙述更是集中体现了分类思想的应用。另外，对于不是一般形式的一元二次方程，要想不解方程而判断其根的情况，就必须先将其

16、化为一般形式，然后运用定理加以判断，体现了化归思想的运用。,六、总体设计思路,为了让学生在本节课上能牢固掌握一元二次方程根的判别式定理与逆定理，我设置了3个例题，从不同角度来运用定理与逆定理，并在每道例题后面设置了巩固练习，来强化学生对例题的理解和掌握，例题，和练习的设置都是遵循由易到难，有简单到复杂的认知规律设计的，完全尊重了学生的思维发展规律。差异教学强调照顾学生的个体差异，充分发展每个学生的潜能而且重视集体作用，强调同学间合作帮助，为此，我除了尽可能多的创造学生合作探究的学习环境以外，在每个练习和布置作业中都设置了必做题和选做题，照顾学生的个体差异，让不同的学生在数学上得到不同的发展，人人都体会到成功的喜悦，达到了激发学生学习积极性的目的，培养他们健康的心态和良好的心理品质，真正给予孩子们一片自由的天空。本节课所有的练习和作业我都是以导学案的形式出现的，在课前印发了一张试卷，按顺序依次是练习1、2、3、4和最后的作业。,