莫尔—库伦理论1

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1、1 莫尔库伦理论长期以来， 人们根据对材料破坏现象的分析，提出了各种不同的强度理论。其中适用于土的强度理论有多种，不同的理论各有其优缺点。在土力学中被广泛采用的强度理论要推莫尔库伦强度理论。1773 年，法国学者库伦 (Coulomb)根据砂土的试验结果，提出土的抗剪强度 f在应力变化不大的范围内，可表示为剪切滑动面上法向应力 的线性函数。即后来库伦又根据粘性土的试验结果，提出更为普遍的抗剪强度公式: 1936 年，太沙基 (Terzaghi) 提出了有效应力原理。根据有效应力原理，土中总应力等于有效应力与孔隙水压力之和，只有有效应力的变化才会引起强度的变化。因此，土的抗剪强度可表示为剪切破坏

2、面上法向有效应 的函数。上述库仑公式应改写为1910 年莫尔(Mohr)提出材料产生剪切破坏时， 破坏面上的是该面上法向应力的函数，即2 该函数在直角坐标系中是一条曲线，如图 1 所示，通常称为莫尔包线。土的莫尔包线多数情况下可近似地用直线表示，其表达式就是库伦所表示的直线方程。 由库伦公式表示莫尔包线的土体抗剪强度理论称为莫尔库伦 (MohrCoulomb)强度理论。图 1 莫尔包线1. 土中某点的应力状态我们先来研究土体中某点的应力状态，以便求得实用的土体极限平衡条件的表达式。为简单起见，下面仅研究平面问题。在地基土中任意点取出一微分单元体，设作用在该微分体上的最大和最小主应力分别为1和3

3、。而且，微分体内与最大主应力1作用平面成任意角度 的平面mn 上有正应力 和剪应力 图 2（a） 。3 （a）（b）图 2 土中任意一点的应力（a）微分体上的应力； （b）隔离体上的应力为了建立 、与1和3之间的关系，取微分三角形斜面体abc 为隔离体 图 2（b）。将各个应力分别在水平方向和垂直方向上投影根据静力平衡条件得310,sin1.0sin1.0cos1.00( )0,cos1.0cos1.0sin1.00( )xdsdsdsaydsdsdsb联立求解以上方程 (a) 、(b) ，即得平面 mn上的应力13131311()()cos 222(1)1()sin 22由以上两式可知，在

4、1和3已知的情况下，斜截面mn 上的法向应力 和剪应力 仅与斜截面倾角 有关。由式（ 1）得上式表示圆心为（） 、半径为关的莫尔圆。莫尔圆上任一点代表与大主应力1作用面成 角的斜面，其纵坐标代表该面上的法向应力，横坐标代表该面上的剪应力。在直角坐标系中（图3）以为横坐标轴以 为纵坐标轴，按4 图 3 用莫尔应力圆求正应力和剪应力一定的比例尺， 在轴上截取 OB 3，OC 1，以 O1为圆心，以( 1- 3)2 为半径，绘制出一个应力圆。并从O1C开始逆时针旋转 2角，在圆周上得到点 A。可以证明， A点的横坐标就是斜面mn上的正应力，而其纵坐标就是剪应力 。事实上，可以看出， A 点的横坐标为

5、而 A点的纵坐标为2. 土的极限平衡条件莫尔库伦破坏准则为了建立实用的土体极限平衡条件，将土体中某点的莫尔应力圆和土体的抗剪强度与法向应力关系曲线(简称抗剪强度线 )画在同一个直角坐标系中， 这样，就可以判断土体在这一点上是否达到极限平衡5 状态。由前述可知，莫尔应力圆上的每一点的横坐标和纵坐标分别表示土体中某点在相应平面上的正应力和剪应力 ， 如果莫尔应力圆位于抗剪强度包线的下方 图 4（a）即通过该点任一方向的剪应力都小于土体的抗剪强度 f，则该点土不会发生剪切破坏，而处于弹性平衡状态。若莫尔应力圆恰好与抗剪强度线相切图 4（b），切点为B，则表明切点 B 所代表的平面上的剪应力与抗剪强度

6、 f相等，此时，该点土体处于极限平衡状态。（ a）（b）图 4 莫尔应力圆与土的抗剪强度之间的关系（a）土处于弹性平衡状态；（b）土处于极限平衡状态根据莫尔应力圆与抗剪强度线相切的几何关系，就可以建立起土体的极限平衡条件。下面，我们就以图 5 中的几何关系为例， 说明如何建立无粘性土的极限平衡条件6 图 5 无粘性土极限平衡条件推导示意图（2）土体达到极限平衡条件时，莫尔应力圆与抗剪强度线相切于B点，延长 CB与轴交于 A 点，由图中关系可知OB=OA 再由切割定理，可得在AOC中，有因此，7 又由于，所以，有（3）对粘性土和粉土而言，可以类似地推导出其极限平衡条件，为（4）这可以从图 6 中

7、的几何关系求得。作EO平行 BC ，通过最小主应力3的坐标点 A作一圆与 EO相切于 E点，与 轴交于 I 点。图 6 粘性土与粉土极限平衡条件推导示意图由前可知下面找出 IG 与 c 的关系（ G点为最大主应力坐标点） 。由图中角8 度关系可知 EBD 为等腰三角形， ED=BD=c ，则有在GIF 中而且 OG=OI+IG 所以同理可以证明（5）还可以证明（6）或由图 5 的几何关系可以求得剪切面(破裂面)与大主应力面的夹角关系，因为（7）9 所以（8）即剪切破裂面与最大主应力作用平面的夹角为（共轭剪切面 )。由此可见，土与一般连续性材料(如钢、混凝土等 )不同，是一种具有内摩擦强度的材料

8、。 其剪切破裂面不产生于最大剪应力面，而是与最大剪应力面成的夹角。如果土质均匀，且试验中能保证试件内部的应力、 应变均匀分布， 则试件内将会出现两组完全对称的破裂面（图 7） 。图 7 土的破裂面确定式（2）至式（ 8）都是表示土单元体达到极限平衡时（破坏时）主应力的关系， 这就是莫尔库伦理论的破坏准则，也是土体达到极限平衡状态的条件，故而，我们也称之为极限平衡条件。理论分析和试验研究表明， 在各种破坏理论中， 对土最适合的是10 莫尔库伦强度理论。 总结莫尔库伦强度理论， 可以表述为以下三个要点：(1) 剪切破裂面上，材料的抗剪强度是法向应力的函数，可表达为(2)当法向应力不很大时， 抗剪强度可以简化为法向应力的线性函数，即表示为库伦公式（3）土单元中，任何一个面上的剪应力大于该面上土体的抗剪强度， 土单元体即发生剪切破坏， 用莫尔库伦理论的破坏准则表示，即为式（ 2）至式（ 8） 。剧仲林2010年 8 月 7 日星期六