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1、,第4讲,函数的单调性与最值,1函数的单调性定义,f(x1)f(x2),单调增区间,设函数 yf(x)的定义域为 A，区间 IA，如果对于区间 I,内的任意两个值 x1、x2，当 x1x2 时，都有yf(x)在区间 I 上是单调增函数，I 称为 yf(x)的,，那么就说；,如果对于区间 I 内的任意两个值 x1、x2，当 x1f(x2),单调减区间,2用导数的语言来讲函数的单调性,设函数 yf(x)，如果在某区间 I 上间 I 上的增函数；如果在某区间 I 上,，那么 f(x)为区，那么 f(x)为区间 I,上的减函数,f(x)0,f(x)x12，,x1x2(x1x2)a，,x1x2x1x2,
2、由 x2x12 得 x1x2(x1x2)16，x1x20. 要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需 f(x1)f(x2)0 恒成立，则 a16.要使 f(x)在区间2，)上是增函数，则 a2x316，)恒成立， 故当 a16 时，f(x)在区间2，)上是增函数,【互动探究】,1已知 f(x),x xa,(xa),(1)若 a2，试证 f(x)在(，2)内单调递增；(2)若 a0 且 f(x)在(1，)内单调递减，求 a 的取值范围,则 f(x1)f(x2),2(x1x2) (x12)(x22),.,(x12)(x22)0，x1x20，f(x1)f(x2)，f(x)在(，2)内单调递增,(1
3、)证明：任设 x1x22，,(3)y 2,(5)yx .,(2)解：任设 1x1x2，则,考点 2 函数的最值与值域例 2：求下列函数的值域：,(1)y,3x2x2,；,(2)yx22x3(5x2)；,x2x x x1,；,(4)yx 2x1；,4 x,x x1,0，y3.,解题思路：关于 x 的一次分式函数，这种题目可通过求关于 x 的方程在定义域内有解的条件来求得值域，也可以经过变形(分离常量)，观察得出结果； 有理分式函数，去分母化成关于 x 的二次方程，用判别式可求值域，也可把函数解析式化成 A,B,2,(A、B 是常数)的形式来求值域；用换元法将无理函,数化为有理函数或将已知等式化成
4、关于 x 的二次方程，用判别式求函数的值域,解析：(1)方法一：y,3x2x2,(3x6)83x2,8 x2,，,由于,8 x2,(3)方法一：y 2,1 2,x x1,函数 y,3x2x2,的值域是y|yR 且 y3,3x2 方法二：由 y ，得 xx2,2(y1)y3,，y3.,(2)yx22x3(x1)24，x5，2，其图像是开口向下，顶点为(1,4)，在 x5，2上对应的抛物线上的一段弧当 x5 时，ymin12；当 x2 时，ymax3.yx22x3(5x2)的值域是12,3,x2x x x1,1,.,axb,故 x2 时，f(x)极大值f(2)4；x2 时，f(x)极小值f(2)4
5、.所求函数的值域为(，44，),(4)反函数法： 适用于形如 y,cxd,类的函数,常用的求值域的方法有：(1)代入法：适用于定义域为有限集的函数(2)分离系数法：若函数 yf(x)解析式中含有|x|，x2， ，sinx，cosx 等元素，又能用 y 表示出来，则利用这些元素的有界性解出 y 的范围(3)配方法：适用于二次函数类的函数,mx nxp,(3)y 2,(5)判别式法： 适用于形如 y,ax2bxc2,类的函数,(6)换元法：主要处理一些根式类的函数(7)不等式法：借助于不等式的性质和均值不等式等工具求最值(8)最值法：通过求导求出最值【互动探究】2求下列函数的值域：,(1)y,3x
6、2 54x,； (2)yx2x2；,3x21x 2,.,考点 3,借助于导数判断函数的单调性,解题思路：可用分离参数的方法，再结合不等式恒成立知识求解；也可求出整个函数的递增(减)区间，再用所给区间是所求区间的子区间知识求解,解析：函数 f(x)的导数 f(x)x2axa1，令 f(x)0，解得 x1 或 xa1.,当 a11 即 a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，,不合题意,当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1，a1)内为减函数，在(a1，)上为增函数,依题意应有：当 x(1,4)时，f(x)0；当 x(6，)时，f(x)0.,所以 4a16，解得
7、 5a7，所以 a 的取值范围是5,7,在研究函数的单调性时，当函数解析式中既含有指数函数、对数函数、又含有二次或三次函数，定义法判断单调性较为困难，用导数来研究较为方便本题关键之处在于就变量系数值进行分类讨论【互动探究】3设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数，当 x0 时，f(x)g(x)f(x)g(x)0，且 g(3)0，则不等式 f(x)g(x),0 的解集是(,),D,A(3,0)(3，)C(，3)(3，),B(3,0)(0,3)D(，3)(0,3),解析：当 x0，所以函数 f(x)g(x)在(，,0)上为增函数又 f(x)g(x)为奇函数，f(x)g(x)在(
8、0，)上为增函数且 f(3)g(3)0，f(3)g(3)0，,故 f(x)g(x)0 的解集为(，3)(0,3),错源：没有考虑定义域,误解分析：(1)忽略 x 需满足 4xx20 这个条件；(2)对复合,函数单调性的判断出错,【互动探究】4(2014届兰州一中考试)函数：yxsinx；yxcosx；yx|cosx|；yx2x 的图像(部)如图 241，但顺序被打乱，,),C,照从左到右将图像对应的函数序号安排正确的一组是(图 241,则按,A BC D,f(mx) mf(x)0 恒 成 立 ， 则 实 数 m 的 取 值 范 围 是_,解析：已知 f(x)为增函数且 m0，若 m0，由复合函数的单调性可知 f(mx)和 mf(x)均为增函数，此时不符合题意当 m,本题是较为典型的恒成立问题，解决恒成立问题通常可以利用分离变量转化为最值的方法求解，属于难题求函数值域的常用方法：有配方法、分离变量法、单调性法、图像法、换元法、不等式法等无论用什么方法求函数的值域，都必须考虑函数的定义域1 (2013 年 佛 山 调 研 ) 已 知 函 数 f(x) ,.,.,本题中奇偶性与单调性的判别，都是直接利用定义来解决. 需要我们理解两个定义，掌握其运用的基本模式，并能熟练的进行代数变形，得到理想中的结果,
