《2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第32讲等比数列的概念及基本运算》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2011届新课标人教版高中第1轮总复习理科数学课件第32讲等比数列的概念及基本运算（38页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1,2,第五单元 数列、推理与证明,3,第32讲,等比数列的概念及基本运算,4,1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.,5,1.已知数列an的前n项和Sn=an-3(a为不等于零的实数),那么数列an（ ）,D,A.是等比数列 B.当a1时是等比数列 C.从第2项起是等比数列 D.从第2项起是等比数列或等差数列,6,由Sn=an-3,可得 an=a-3 (n=1)(a-1)an-1 (n2). 当a=1时，数列-3,0,0,0，为从2项起的等差数列； 当
2、a1时，为从第2项起的等比数列.,7,2.已知等比数列an满足a1+a2=3,a2+a3=6,则a2011=（ ）,A,A.22010 B.22011 C.32010 D.32011,令an的公比为q， 则a1(1+q)=3，a1q(1+q)=6， 则a1=1，q=2，所以a2011=a1q2010=22010.,8,3.若数列an成等比数列,则“a2010a2012=16”是“a2011=4”的（ ）,B,A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件,由a2010a2012=16,则a2011=4，充分性不满足; 由a2011=4，则a2010a2012=a
3、20112=16.,9,4.（2010江苏溧水模拟）等比数列an中，Sn是数列an的前n项和，S3=3a3，则公式q= .,- 或1,当q=1时,an=a1,S3=3a3,则q=1符合题意. 当q1时, =3a1q2,解得q=- 或1(舍去). 所以q=- 或1.,10,5.2009年，某内河可供船只航行的河段长为1000 km，但由于水资源的过度使用，促使河水断流，从2010年起，该内河每年船只可行驶的河段长度仅为上一年的 ，则到2018年，该内河可行驶的河段长度为 km.,1000,11,设an表示第n年船只可行驶河段长度(2009为第一年）， 则an= an-1，a1=1000， 所以a
4、n=1000( )n-1，a10=1000( )9.,12,等比数列 (1)等比数列定义 .(nN*),这是证明一个数列是等比数列的依据，也可由anan+2=an+12来判断. (2)等比数列的通项公式为 . (3)对于G是a、b的等比中项,则G2ab,G= .,=q(非零常数),an=a1qn-1,13,(4)特别要注意等比数列前n项和公式应分为q=1与q两类.当q=1时,Sn= ;当q时,Sn= .,na1,或,14,题型一 等比数列的基本运算,例1,在等比数列an中，已知a1+an=66,a2an-1=128,Sn=126,求n和q.,利用等比数列的性质，将a2an-1 转换成a1an，
5、从而求出a1和an，再根据等比数列的通项公式与前n项和公式列方程组求解.,15,因为a2an-1=a1an,所以a1an=128.a1an=128a1+an=66,a1=64 a1=2an=2 an=64 将代入Sn= ,得q= , 由an=a1qn-1,得n=6. 将代入Sn= ,得q=2, 由an=a1qn-1，得n=6.,解方程组,解得,或,16,(1)对于“知三求二”问题，通常是利用通项公式与前n项公式列方程组求解，但有时计算过程较繁杂.若注意运用等比数列的性质解题，就可化繁为简. (2)当已知a1、q(q)、n时，用公式Sn= 求和较为方便；当已知a1、q（q）、an时，则用公式Sn
6、= 求和较为方便.,17,一个等比数列有三项，如果把第二项加上4，那么所得的三项就成等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成等比数列，求原来的等比数列.,18,设所求的等比数列为a,aq,aq2, 则2(aq+4)=a+aq2,且(aq+4)2=a(aq2+32), 解得a=2,q=3或a= ,q=-5. 故所求的等比数列为2,6,18或 ,- , .,这种解法利用等比数列的基本量a1,q,先求公比，后求其他量，这是解等差数列、等比数列的常用方法，其优点是思路简单、实用，缺点是有时计算较繁杂.,19,题型二 等比数列的判定及证明,例2,（2010都昌模拟）已知数列an
7、满an+n (n为奇数）an-2n (n为偶数). (1)求a2,a3,a4,a5； (2)设bn=a2n-2,求证:数列bn是等比数列； (3)在(2)的条件下，求数列an的前100项中所有偶数项的和.,足:a1=1， an+1 =,20,(1)因为a1=1,当n=1奇数,a2= a1+1= ; 当n=2偶数，a3=a2-22=- ; 同理，a4= ，a5=- .,21,(2)证明：因为bn=a2n-2， 所以 = = = = = . 又b1=a2-2=- ， 所以数列 bn是以b1=- 为首项,公比为 的等比数列.,22,(3)由(2)得bn=(- )( )n-1=-( )n=a2n-2,
8、 所以a2n=2-( )n, 所以S=a2+a4+a100 =(2- )+2-( )2+2-( )50 =250- =99+ .,23,本题是以分段形式给出的数列通项，特别要根据n的奇偶选递推式，而不是an+1的下标的奇偶.同时判定等比数列的常用方法有两种：第一种定义法，即证 =q(q是非零常数）；另一种是等比中项法，即证an2=an-1an+1.当已知通项公式或把递推公式看作一整体时，常用定义法.,24,题型三 等比数列的最值,例3,等比数列an的首项为a1=2010，公比q=- . （1）设bn表示数列an的前n项的积，求bn的表达式； （2）在（1）的条件下，当n为何值时，数列bn有最大
9、项？,25,(1)因为an=2010(- )n-1, 所以bn=a1a2an =2010n(- )0+1+2+(n-1) =2010n .,(1)求出an的通项公式，再由bn=a1a2an得表达式.(2)先判断bn的符号，再由|bn|的单调性，进一步探求.,26,(2)因为 = , 所以，当n10时， = 1， 所以|b11|b10|b1|； 当n11时， = |b12|, 又因为b110，b120， 所以bn的最大值是b9和b12中的最大者. 因为 = =20103( )30=2010( )1031. 所以当n=12时,bn有最大项为b12=201012(- )66.,27,等比数列的通项公
10、式类同于指数函数，根据公比q与首项a1的正负、大小有不同的单调性:a10 a11 00q1 0q1为单调减数列；当q0时为摆动数列，应分类讨论其项的符号与绝对值.,或,当,当,或,28,（2010安徽师大附中)设数列bn的前n项和为Sn，bn=2-2Sn；数列an为等差数列，且a5=14，a7=20.(1)求数列bn的通项公式；(2)若cn=anbn(n=1,2,3,)，Tn为数列cn的前n项和，求证：Tn .,29,(1)由bn=2-2Sn，令n=1，则b1=2-2S1, 又S1=b1，所b1= , 当n2时，由bn-1=2-2Sn-1， 可得bn-bn-1=-2(Sn-Sn-1)=-2bn
11、， 即 = . 所以bn是以b1= 为首项， 为公比的等比数列， 于是bn=2 .,30,(2)数列an为等差数列， 公差d= (a7-a5)=3，可得an=3n-1. 从而cn=anbn=2(3n-1) . 所以Tn=22 +5 +8 +(3n-1) , 所以 Tn=22 +5 +(3n-4) +(3n-1) , 所以 Tn=23 +3 +3 + +3 - -(3n-1) , 从而Tn= - - 1，令bn=an+1(n=1,2,).若数列bn有连续四项在集合-53,-23,19,37,82中，则6q= .,-9,33,因为数列bn有连续四项在集合 -53,-23,19,37,82中， 又a
12、n=bn-1，所以数列an有连续四项在集合-54,-24,18,36,81中,且必有正项、负项； 又|q|1，所以q0且b1,b,r均为常数)的图象上.(1)求r的值；(2)当b=2时，记bn=2(log2an+1)(nN*).证明：对任意的nN*，不等式 成立.,35,(1)因为对任意的nN*,点(n,Sn)均在函数y=bx+r(b0且b1,b,r均为常数)的图象上,所以Sn=bn+r. 当n=1时,a1=S1=b+r; 当n2时,an=Sn-Sn-1=bn+r-(bn-1+r)=bn-bn-1=(b-1)bn-1. 因为b0，且b，所以，当n时，数列an是以b为公比的等比数列. 又a1=b+r,a2=b(b-1), 所以 =b,即 =b,得r=-1.,36,(2)由(1)知，当b=2时，an=(b-1)bn-1=2n-1, bn=2(log2an+1)=2(log22n-1+1)=2n. 则 = ,所以 = . 下面用数学归纳法证明不等式 = 成立. 当n=1时,左边= ,右边= . 因为 ,所以不等式成立.,
