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1、第二章 一维随机变量及其分布,第一节 随机变量 第二节 离散型随机变量 第三节 随机变量的分布函数 第四节 连续型随机变量及其概率密度 第五节 随机变量的函数的分布,概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，为了更方便有力的研究随机现象，就要用数学分析的方法来研究， 因此为了便于数学上的推导和计算，就需将任意的随机事件数量化当把一些非数量表示的随机事件用数字来表示时， 就建立起了随机变量的概念,1. 为什么引入随机变量?,引言 随机变量的引入,2. 随机变量的引入,实例1 在一装有红球、白球的袋中任摸一个球,观察摸出球的颜色.,S=红色、白色,非数量,将 S 数量化,可采用下列方法,红色,白
2、色,即有 X (红色)=1 ,X (白色)=0.,这样便将非数量的 S=红色，白色 数量化了.,实例2 抛掷骰子,观察出现的点数.,S=1，2，3，4，5，6,样本点本身就是数量,且有,则有,第一节 随机变量,定义 设X X (w )是定义在样本空间W上的实值函数，称X X (w )为随机变量.,随机变量通常用大写字母X，Y，Z，W，.等表示,下图给出样本点w与实数X X (w )对应的示意图,随机变量随着试验的结果不同而取不同的值, 由于试验的各个结果的出现具有一定的概率, 因此随机变量的取值也有一定的概率规律.,(2)随机变量的取值具有一定的概率规律,随机变量是一个函数 , 但它与普通的函
3、数有着本质的差别 ,普通函数是定义在实数轴上的,而随机变量是定义在样本空间上的 (样本空间的元素不一定是实数).,说明,(1)随机变量与普通的函数不同,随机事件包容在随机变量这个范围更广的概念之内.或者说 : 随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是从动态的观点来研究随机现象.,(3)随机变量与随机事件的关系,例如，从某一学校随机选一学生，测量他的身高.,我们可以把可能的身高看作X，则X是一个随机变量,然后我们可以提出关于X的各种问题.,如 “X1.7”表示学生的身高超过1.7米事件；,P(1.5X1.7)=?,P(X1.5)表示计算学生的身高不超过1.5米的概率；,可见，随机变量
4、这个概念实际上是包容了比随机事件更广的概念. 也可以说，随机事件是从静态的观点来研究随机现象，而随机变量则是一种动态的观点，就象数学分析中常量与变量的区别那样.,例3 一射手向一目标射击，记X 表示直到命中目,例1 掷一枚骰子，用X 表示出现的点数。,例2 观察某储蓄所一天的储蓄额，用X 表示,X 是一个随机变量。,X 是一个随机变量。,X 是一个随机变量。,一天的储蓄额。,标为止所需要的射击次数。,解：分析,当 0.15 X1000 0.1时，报童赔钱,故报童赔钱 X 666,例4 一报童卖报，每份0.15元，其成本为0.10元.报馆每天给报童1000份报，并规定他不得把卖不出的报纸退回.
5、设X为报童每天卖出的报纸份数，试将报童赔钱这一事件用随机变量的表达式表示.,3.随机变量的分类,离散型,(1)离散型 随机变量所取的可能值是有限多个或 无限可列个, 叫做离散型随机变量.,观察掷一个骰子出现的点数.,随机变量 X 的可能值是 :,随机变量,连续型,实例1,1, 2, 3, 4, 5, 6.,非离散型,其它,实例2 若随机变量 X 记为 “连续射击, 直至命中时的射击次数”, 则 X 的可能值是:,实例3 设某射手每次射击打中目标的概率是0.8, 现该射手射了30次,则随机变量 X 记为“击中目标 的次数”,则 X 的所有可能取值为:,实例2 随机变量 X 为“测量某零件尺寸时的
6、测量 误差”.,则 X 的取值范围为 (a, b) .,实例1 随机变量 X 为“灯泡的寿命”.,(2)连续型 随机变量所取的可能值可以连续地充 满某个区间,叫做连续型随机变量.,则 X 的取值范围为,三、小结,2. 随机变量的分类: 离散型、连续型.,1. 概率论是从数量上来研究随机现象内在规律性的，因此为了方便有力的研究随机现象， 就需将随机事件数量化，把一些非数量表示的随机事件用数字表示时， 就建立起了随机变量的概念 因此随机变量是定义在样本空间上的一种特殊的函数,第二节 离散型随机变量及其概率分布,对于离散型随机变量，为了描述它的取值规律，我们不仅需要知道该随机变量的所有可能取值，而且
7、还应知道其取每个值的概率.,这样，我们就掌握了X这个随机变量取值的概率规律.,从中任取3 个球,取到的白球数X是一个随机变量,X可能取的值是0,1,2,随机变量X取每个值的概率为,例1,且,说明,定义,用这两条性质判断 一个函数是否是 概率函数,一、离散型随机变量及其概率分布,2 离散型随机变量的概率分布表示形式,（1）列表法,（2）图示法,（3）公式法,列表法也可表示为,解: 依据概率函数的性质:,a0,从中解得,例2.,设随机变量X的概率函数为：,k =0,1,2, ,试确定常数a .,解：X 的所有可能取值为0，1，2，3.,“X=0” 表示第一次取到正品,“X=1” 表示第一次取到废品
8、，第二次取到正品，,例3：一批零件中有9个正品和3个废品，安装机器时，从这批零件中任取一个，如果取出的是废品不再 放回，而再取一个零件，直到取到正品为止，求在取得正品以前已取出的废品数X 的分布律。,“X=2” 表示前第两次取到废品，第三次取到正品，,“X=3” 表示前第三次取到废品，第四次取到正品，,关于分布律的说明：,若已知一个离散型随机变量X的概率分布：,则可以求得 X 所生成的任何事件的概率：,特别地，,至少有一件废品的概率为多少？,至多有一件废品的概率为多少？,例如在上例中,例4 袋中有4个黑球，3个白球，2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球得0分，每取到一个白球得1分，每取到一
9、个红球得2分，用X表示所得的分数，求随机变量X的概率分布。,解：依题意，X的所有可能取值为0，1，2，3，4,“X=0”表示取到两个球都是黑球；,“X=1”表示取到两个球一个是黑球， 一个是白球；,“X=2”表示取到两个球一个是黑球，一个是红,“X=3”表示取到两个球一个是红球，一个是白球；,“X=4”表示取到两个球都是红球。,球，或者两个都是白球；,所以X 的概率分布为：,二、常见离散型随机变量的概率分布,设随机变量 X 只可能取0与1两个值 , 它的分布律为,则称 X 服从 (01) 分布或两点分布.,1.两点分布 或(01) 分布,实例1 “抛硬币”试验,观察正、反两面情况.,随机变量
10、X 服从 (01) 分布.,实例2 200件产品中,有190件合格品,10件不合格品,现从中随机抽取一件,那末,若规定,则随机变量 X 服从(0 1)分布.,两点分布是最简单的一种分布,任何一个只有两种可能结果的随机现象, 比如新生婴儿是男还是女、明天是否下雨、种籽是否发芽等, 都属于两点分布.,说明：,两点分布随机数演示,将试验 E 重复进行 n 次, 若各次试验的结果互 不影响 , 即每次试验结果出现的概率都不依赖于其 它各次试验的结果, 则称这 n 次试验是相互独立的, 或称为 n 次重复独立试验.,(1) 重复独立试验,2.二项分布,(2) n 重伯努利试验,伯努利资料,将试验 E 独
11、立重复地进行n 次, 则称这一串重复的独立试验为n重伯努利试验。,例6 设生男孩的概率为p,生女孩的概率为q=1-p，令X表示随机抽查出生的4个婴儿中“男孩”的个数.我们来求X的概率分布。,分析：显然这是一个4重贝努力实验。X表示随机抽查的4个婴儿中男孩的个数，生男孩的概率为 p.,X的概率函数是：,男,女,X=0,X =1,X =2,X =3,X =4,X所有可能取值为0,1,2,3,4.,用X表示n重贝努里试验中事件A发生的次数，则,（2）,不难验证：,（1）,称随机变量X服从参数为n和p的二项分布，记作,XB(n,p),当n=1时， P(X=k)=pk(1-p)1-k,k=0,1 X服从
12、01分布,例7 已知100个产品中有5个次品，现从中有放回地取3次，每次任取1个，求在所取的3个中恰有2个次品的概率.,依题意，每次试验取到次品的概率为0.05.,设X为所取的3个中的次品数，,于是，所求概率为：,解: 因为这是有放回地取3次，因此这3 次试验的条件完全相同且独立，它是3重贝努里试验.,例8： 一条自动生产线上产品的次品率为0.2，假使各件产品是否为次品是相互独立的，连续生产10件，求：10件产品中次品数的概率分布。 次品率不超过10%的概率。 已经发现一件次品的条件下，求次品率不超过10%的概率。,解：设X 表示10件产品中的次品数，,其X 的概率分布为,则XB(10,0.2
13、),二项分布的图形特点：,XB(n,p),当(n+1)p为整数时，二项概率P(X=k)在k=(n +1)p和k =(n+1)p-1处达到最大值.称k为二项分布的最可能值。,其中x表示不超过x的最大整数部分。,对于固定n及p，当k增加时，概率P(X=k) 先是随之增加直至 达到最大值，随后单调减少.,碰运气能否通过英语四级考试,大学英语四级考试，你们懂的，若按100分制来计算分数，除写作部分15分外，多达85分的选择题，每题1分，某学生抱有侥幸心理，全靠运气能通过考试吗？算算概率。,小概率事件原理认为：在一次试验中，小概率事件不发生！但是，如果不断重复试验，小概率事件迟早会发生！为什么呢？ 于是
14、，我们明白了一首歌：伤心总是难免的。既然伤心总是难免的，那伤心一次又何妨？人生漫漫长路，我们何必为一两次挫折而耿耿入怀呢？,3. 泊松分布,泊松分布的图形,泊松分布随机数演示,泊松分布的背景及应用,二十世纪初卢瑟福和盖克两位科学家在观察 与分析放射性物质放出的粒子个数的情况时,他 们做了2608次观察(每次时间为7.5秒)发现放射 性物质在规定的一段时间内, 其放射的粒子数X 服从泊松分布.,在生物学、医学、工业统计、保险科学及 公用事业的排队等问题中 , 泊松分布是常见的. 例如地震、火山爆发、特大洪水、交换台的电 话呼唤次数等, 都服从泊松分布.,电话呼唤次数,交通事故次数,商场接待的顾客
15、数,地震,火山爆发,特大洪水,例1：某电话交换台每分钟接到的呼叫次数XP(2)，求：,（1）一分钟内恰好有一次呼叫的概率； （2）一分钟内呼叫次数不超过3次的概率。,解：X P(2),查表1,P(X=1)0.270671,=P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3),=0.857124,显示出电话交换台的繁忙程度,例 商店的历史销售记录表明，某种商品每月的销售量服从参数为l= 10的泊松分布为了以95%以上的概率保证该商品不脱销，问商店在月底至少应进该商品多少件？,解,由附录的泊松分布表知,只要在月底进货15件(假定上个月没有存货)，就可以95%的概率保证这种商品在下个月内不会脱销
16、,证明略,2.二项分布的泊松近似,上面我们提到,单击图形播放/暂停 ESC键退出,例3 某人进行射击，每次命中目标的概率为0.02，独立射击400次，试求击中次数不少于2次的概率。,解：设400次射击中，击中目标X 次，,所求概率为P(X2)=1-P(X=0)-P(X=1)=,由于n 很大 p很小，而np8适中。可用近似计算,？,则XB(400, 0.02),例4：设X服从参数为2的poisson分布，则A) X只取非负整数B) P(X=0)=C) P(X=0)=P(X=1)D) P(X 1)=2,3. 几何分布,若随机变量 X 的分布律为,则称 X 服从几何分布.,实例 设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有放回的抽样检查 , 直到第一次抽到一只次品为止 ( 在此之前抽到的全是正品 ), 那么所抽到的产品数 X 是一个随机变量 , 求X 的分布律.,
