第三节概率的公理化定义,在学习几何和代数时，我们已经知道公理是数学体系的基础. 数学上所说的“公理”，就是一些不加证明而公认的前提，然后以此为基础，推演出所讨论对象的进一步的内容.,即通过规定概率应具备的基本性质来定义概率.,下面介绍用公理给出的概率定义.,1933年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率的公理化定义.,柯尔莫哥洛夫提出的公理为数很少且极为简单， 但在此基础上建立起了概率论的宏伟大厦.,概率的公理化定义,公理2 P(Ω)=1 (2),公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有(3) 这里事件个数可以是有限或无限的 .,公理1 0 P(A) 1 (1),设E是随机试验，Ω是它的样本空间，对于Ω中的每一个事件A，赋予一个实数，记为P(A) ，称为事件A的概率，如果集合函数 P( ) 满足下述三条公理:,公理2 P(Ω)=1 (2),公理3 若事件A1, A2 ,… 两两互不相容，则有(3) 这里事件个数可以是有限或无限的.,公理 1 0 P(A) 1 (1),公理1说明，任一事件的概率介于0与1之间；,公理2说明，必然事件的概率为1；,公理3说明，对于任何互不相容（互斥）的事件序列，这些事件至少有一个发生的概率正好等于它们各自概率之和.,由概率的三条公理，我们可以推导出概率的若干性质. 下面我们就来给出 概率的一些简单性质.,在说明这些性质时，为了便于理解，我们常常借助于文氏图.,文氏图,,,Ａ,设边长为1个单位 的正方形的 面积表示样本空间 S,其中封闭曲线 围成的一切点 的集合表示事件A,把图形的面积理解为相应事件的概率,性质1,,即不可能事件的概率为0 .,由,再利用公理2和公理3即得.,此为互不相容事件概率的加法公式。
特别地，若A和B互不相容,则有,性质2（有限可加性）,若事件A1, A2 ,… An 两两互不相容，则有,由公理3可得例1 设一批同类产品中有50件，其中5件次品现从中任取3件，求其中至少有一件次品的概率为多少？,,因为,1=P(S)=P(A)+P( ),Ａ,性质3 对任一事件A ，有 (4),此性质在概率的计算上很有用，如果正面计算事件A的概率不容易，而计算其对立事件 的概率较易时，可以先计算 ，再计算P(A).,例2 将一颗骰子抛掷4次，问至少出一次“6”点的概率是多少？,令 事件A={至少出一次“6”点},A发生,{出1次“6”点},,{出2次“6”点},{出3次“6”点},{出4次“6”点},直接计算A的概率较麻烦, 我们先来计算A的对立事件,={4次抛掷中都未出“6”点},的概率.,于是 =0.518,因此= =0.482,由于将一颗骰子抛掷4次,共有 =1296种等可能结果,,而导致事件 ={4次抛掷中都未出“6”点} 的结果数有 =625种,例3 有r 个人，设每个人的生日是365天的任何一天是等可能的，试求事件“至少有两人同生日”的概率.,,为求P(A), 先求P( ),用上面的公式可以计算此事出现的概率为=1-0.524=0.476,美国数学家伯格米尼曾经做过一个别开生面的实验，在一个盛况空前、人山人海的世界杯足球赛赛场上，他随机地在某号看台上召唤了22个球迷，请他们分别写下自己的生日，结果竟发现其中有两人同生日.,即22个球迷中至少有两人同生日的概率为0.476.,表 3.1人数 至少有两人同 生日的概率20 0.41121 0.44422 0.47623 0.50724 0.53830 0.70640 0.89150 0.97060 0.994,所有这些概率都是在假定一个人的生日在 365天的任何一天是等可能的前提下计算出来的. 实际上,这个假定并不完全成立，有关的实际概率比表中给出的还要大 . 当人数超过23时，打赌说至少有两人同生日是有利的.,,,移项得第一式,,便得第二式 .,再由,由可加性,性质4 设Ａ、B是两个事件，若 , 则有,,,,又因 再由性质 4即得.,,,三个事件和的概率为,推广到多个事件,P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(BC)- P(AC) + P(ABC),n个事件和的概率为,,它给出了概率所必须满足的最基本的性质，为建立严格的概率理论提供了一个坚实的基础.,下面，我们再重点介绍加法公式及其应用.,这一讲，我们介绍了,概率的公理化定义,由概率所必须满足的三条公理，我们推导出概率的其它几条重要性质. 它们在计算概率时很有用，尤其是加法公式.,,,,设Ai ={第i封信装入第i个信封} i =1,2,3A={没有一封信装对地址},某人将三封写好的信随机装入三个写好地址的信封中，问没有一封信装对地址的概率是多少？,直接计算P(A)不易，我们先来计算,代入计算 的公式中,应用加法公式,,于是,我们介绍了加法公式及其应用:,事件互斥时的加法公式,事件相容时的加法公式,它们在计算概率中很有用，要牢固掌握.,,,,。