第三章控制系统的时域分析

《第三章控制系统的时域分析》由会员分享，可在线阅读，更多相关《第三章控制系统的时域分析（150页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。

1、第三章 控制系统的时域分析,本章主要内容及难点自动控制系统的时域指标 一阶系统的阶跃响应 二阶系统的阶跃响应 高阶系统的阶跃响应 自动控制系统的代数稳定判据 稳态误差 小结,本章主要内容,本章介绍了控制系统时域性能分析法的相关概念和原理。包括各种典型输入信号的特征、控制系统常用性能指标、一阶、二阶系统的暂态响应、脉冲响应函数及其应用、控制系统稳定性及稳定判据、系统稳态误差等。,本章重点,通过本章学习，应重点掌握典型输入信号的定义与特征、控制系统暂态和稳态性能指标的定义及计算方法、一阶及二阶系统暂态响应的分析方法、控制系统稳定性的基本概念及稳定判据的应用、控制系统的稳态误差概念和误差系数的求取等

2、内容。,控制系统的分析方法，有时域法和频域法两类。,时域法 控制系统的变量都是时间的函数。1 得到控制系统的数学模型2 求解描述系统的微分方程3 得到系统对输入信号的响应曲线和函数4 确定控制系统的性质和特征,目的,控制系统分析,控制系统的设计或综合,频域法 分析控制系统的另一种基本方法。在频域法中，根据系统对各种频率下正弦输入信号的稳态响应来研究其频域特性，并且根据频域性能指标推断系统时域特性。,根轨迹法,3.1 自动控制系统的时域指标 一、对控制性能的要求 （1）系统应是稳定的；（2）系统达到稳定时，应满足给定的稳态误差的要求；（3）系统在暂态过程中应满足暂态品质的要求。,二、自动控制系统

3、的典型输入信号,1阶跃函数 阶跃函数的定义是：,幅值为1的阶跃函数称为单位阶跃函数， 如图3-1所示。,图3-1 单位阶跃函数,它表示为：,单位阶跃函数的拉氏变换为：,2斜坡函数 这种函数的定义是：,该函数的拉氏变换是：,图3-2 斜坡函数,单位斜坡函数如图3-2所示。,3抛物线函数 这种函数的定义是：该函数的拉氏变换是,图3-3 抛物线函数,4脉冲函数,这种函数的定义是：这种函数的拉氏变换是：,图3-4 单位脉冲函数,3.2一阶系统的瞬态响应,一阶系统的数学模型 一阶系统的微分方程为:式中，xc(t) 为输出量，xr(t) 为输入量，T 为时间常数。一阶系统的结构图，如图3-5所示。,其闭环

4、传递函数为：图3-5 一阶控制系统,3.2.1一阶系统的单位阶跃响应,因为单位阶跃输入的拉氏变换为：可得 ：取Xc(s)的拉氏反变换，可得单位阶跃响应 ：,显然，一阶系统的单位阶跃响应曲线是一条由零开始 ，按指数规律上升并最终趋于1的曲线，如图3-6所示。响 应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。图3-7 一阶系统的单位阶跃响应,一阶系统的时间常数是决定系统动态特性的参数。,判断实验曲线,调节时间,3.2.2 一阶系统单位斜坡（速度）响应,3.2.3、一阶系统单位脉冲响应,3.2.4一阶系统单位加速度响应,325 控制系统在任意输入函数下的响应,任何控制系统的单位脉冲响应,任意输入函数 是

5、理想脉冲函数的叠加,线性定常系统对输入信号导数的响应，等于系统对该输入信号响应的导数，系统对输入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。这是线性定常系统的一个重要特性。 我们可以根据这一特性，较方便地求出较复杂输人信号的响应。,积分,求导,一阶系统响应小结,等价关系：系统对输入信号导数的响应，就等于系统对该输入信号响应的导数；系统对输入信号积分的响应，就等于系统对该输入信号响应的积分。,3.3 二阶系统的阶跃响应,二阶系统的传递函数写成如下标准式：,自然频率（或无阻尼振荡频率）,阻尼比（相对阻尼系数）,T称为系统的时间常数,二阶系统的标准形式结构图如图3-9所示。图3-9 二阶系统标准

6、形式结构图,3.3.1 二阶系统的阶跃响应,系统的特征方程为 ：,可解出特征方程式的特征根，这些根与阻尼比有关,系统的特征根为：,二阶系统的参数，n是变化的， 取值不同，特征方程的根(即闭环极点)可能是复数，也可能是实数。系统的响应形式也因此会有较大的区别。,1无阻尼（=0）的情况,特征方程式的根为： 二阶系统的暂态响应为 ：图3-12 时二阶系统的暂态响应,2欠阻尼（ ）的情况,特征方程的根为：系统输出响应为：,令：,若如n越大，振幅衰减得就越快。从闭环极点分布上，可以看出闭环极点离虚轴越远，振幅衰减得越快。d是正弦振荡的频率，表明，闭环极点离实轴越远，振荡频率就越高。,3临界阻尼（=1）的

7、情况,系统的特征方程式的根为：,图3-11 =1时二阶系统的单位阶跃响应,3.3.1 二阶系统的阶跃响应,4过阻尼（ 1）的情况,式中 ， 称阻尼振荡角频 率，或振荡角频率；,图3-10 以参变量的二阶系统单位阶跃响应,二阶系统在不同,值瞬态响应曲线,综合分析,1）。响应曲线只和阻尼比 有关。由图可见， 越小，响应特性振荡得越厉害，随着增大到一定程度后，响应 特性变成单调上升的。从过 渡过程持续的时间看，当系 统无振荡时，以临界阻尼时 过渡过程的时间最短，此时， 系统具有最快的响应速度。 当系统在欠阻尼状态时，若 阻尼比 在0.40.8之间， 则系统的过度过程时间比临 界阻尼时更短，而且此时的

8、振荡特性也并不严重。,一般希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下，在工程实际中，通常选取 作为设计系统的依据。 2）二阶系统瞬态性能指标在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析 和 对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。除了一些不允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下。,此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。控

9、制系统的单位阶跃响应一般来说是与初始条件有关的，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为,二、二阶系统暂态特性指标,图示, 延迟时间t d （Delay Time） ： 响应曲线第一次达到稳态值的一半所需的时间。 上升时间t r （Rising Time ）: 响应曲线从稳态值的10%上升到90%，所需的时间。上升时间越短，响应速度越快 。对于震荡系统，也可定义为由零开始，首次达到稳态值所需的时间。 峰值时间t p （Peak Time）： 响应曲线达到第一个峰值所需要的时间。,概念,调节时间 t s（Settling Time） ： 响应

10、曲线达到并永远保持在一个允许误差范围内，所需的最短时间。用稳态值的百分数（通常取 5%或 2%）作， 超调量 （Maximum Overshoot） ： 指响应的最大偏离量h ( tp )于终值之差的百分比，即 稳态误差e ss ： 期望值与实际值之差。,或,评价系统的响应速度；,同时反映响应速度和阻尼程度的综合性指标，从整体上反映系统的快速性。,评价系统的阻尼程度。,稳定性能指标和抗干扰能力。越小， 系统精度越高。,ess,二、二阶系统暂态特性指标,1上升时间tr ： 在暂态过程中第一次达到稳态值的时间称为上升时间tr。 其计算公式为：由上式可以看出 和n对上升时间的影响。当n一定时，阻尼比

11、越大，则上升时间tr越长；当 一定时，n越大，则tr越短。,公式,2最大超调量 %,最大超调量发生在第一个周期中t = tm 时刻。根据超调量的定义得最大超调量的计算公式为：从上式知，二阶系统的最大超调量与值 有密切的关系，阻尼比 越小，超调量越大。,3调节时间ts,调节时间ts是 与稳态值 之间的偏差达到允许范 围（一般取5%2%）而不再超出的暂态过程时间 。 调节时间为：,调节时间ts近似与 成反比关系。在设计系统时，通常由要求的最大调节量所决定，所以调节时间ts由自然振荡角频率 所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的值可以改变调节时间。 4振荡次数 振荡次数是指在调节时间

12、ts内， 波动的次数。根据这一定义可得振荡次数为式中 为阻尼振荡的周期时间。,三、二阶工程最佳参数,目前，在某些控制系统中常常采用所谓二阶工程最佳参 数作为设计控制系统的依据。这种系统选择的参数使这时 。将这一参数代入二阶系统标准式，得开环传递函数为 ：得闭环传递函数为 ：,这一系统的单位阶跃响应暂态特性指标为： 最大超调量,上升时间 调节时间 ts（2%）=8.43T（用近似公式求得为8T） ts（5%）=4.14T（用近似公式求得为6T）,例3-1 有一位置随动系统，其结构图如图3-13所示，其中Kk = 4。求该系统的（1）自然振荡角频率；（2）系统的阻尼比；（3）超调量和调节时间；（4

13、）如果要求 ，应怎样改变系统参数Kk 值。,图3-13 例3-1随动系统结构图,解：系统的闭环传递函数为写成标准形式 由此得 自然振荡角频率 阻尼比 由 得 超调量 调节时间,当要求 时, 所以必须降低开环放大系数值，才能满足二阶工程最佳参数的要求。但应注意到，降低开环放大系数将使系统稳态误差增大。,例3-2 为了改善图3-13所示系统的暂态响应性能，满足单位阶跃输入下系统超调量 的要求，今加入微分负反馈 ，如图3-14所示。求微分时间常数。解：系统的开环传递函数为系统闭环传递函数为,图3-14 例3-2随动系统结构图,为了使 ，令,由可求得并由此求得开环放大系数为,例 设控制系统 如图所示。

14、其中（a）为无速度反馈系统，（b）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.5时 的值，并比较系统（a）和(b)阶跃响应的瞬态性能指标。,将上式与标准式相比较得解得 , 计算上升时间,（秒）,解 系统（a）的闭环传递函数为,峰值时间 超调量调节时间 振荡次数系统（b）的闭环传递函数为,（秒）,（秒）,（次）,将上式与式（3-6）相比较得将 代入，解得由 和 可求得通过上述计算可知，采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。,（秒）,（秒）,（秒）,例 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数K和a的值。 解 系统的闭环传递函数为由此得,由题意即 解得

15、而即解得 a=3 所以,（秒）,设单位反馈的二阶系统的单位阶跃响应曲线如图所示，试确定其开环传递函数。,例,解：图示为一欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应曲线。由图中给出的阶跃响应性能指标，先确定二阶系统参数，再求传递函数。,比例-微分控制不改变系统的自然频率，但增大了系统的阻尼比。 适当选择开环增益和微分时间常数，既可减小系统斜坡输入时的稳态误差，又可使系统具有满意的阶跃 响应性能。,四、零极点对二阶系统暂态性能的影响 具有零点的二阶系统的闭环传递函数为,结论： （1）微分控制可增大系统阻尼，减小阶跃响应的超调量，缩短调节时间； （2）允许选取较高的开环增益，减小稳态误差； （3）微分对于噪声（高频噪声）有放大作用，在输入端噪声较强时，不用比例-微分控制。,