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1、时域分析法: 分析当控制系统输入变化时，其输出随时间变化的响应特性。,R(s),Y(s),根据系统的数学模型求解出系统的时间响应, 如 y(t)=f (r(t) 由系统输出响应分析系统特性 评价和设计控制系统。,第三章 控制系统的时域分析方法,动态响应：过渡过程或瞬态过程，反映出 系统的动态性能；,输出响应,注意：系统达到稳态时，不一定输出数值不变，而是输出的变化形式固定不变，它们与输入信号的作用形式有关。,稳态响应：反映出系统的稳态性能 指当时间趋于无穷大时系统的输出状态。,指在输入信号作用下，系统输出从初始状态变化到最终状态的响应过程。,3.1 控制系统的过渡过程形式及性能指标, 在分析和
2、设计控制系统时，需要有一个对各种系统性能进行比较的基础。 从实际应用中抽象出一些典型的输入信号，它们具有广泛的代表性和实际意义。 通过比较各类系统对这些典型试验信号的响应来分析它们的性能。,3.1.1 控制系统的输入信号,常用的典型试验信号：,A,(a) 阶跃信号,(c) 斜坡信号,(d) 抛物线信号,(e) 正弦信号,图3-1 典型试验信号,(b) 脉冲信号,3.1.1.1 阶跃输入信号,阶跃输入信号可表示为(图3-1(a)：,A为阶跃信号的幅值，为常数。A等于1时叫做单位阶跃信号，记做1(t)，否则记为A1(t)。最经常采用的试验信号，用来表示突变的信号，如电源断电和设备故障等 。阶跃干扰
3、是最严重的扰动形式。,3.1.1.2 单位脉冲信号,单位脉冲输入信号又称(t)函数，它是图3-1(b) 在0时的极限情况，,用来表示冲击型的脉冲扰动理想的(t)函数无法得到，持续时间非常短的脉动信号就认为是脉冲信号,可表示为：,3.1.1.3 斜坡信号,A为常数，此信号幅值随时间t作等速增长，其变化速率为A， 用来表示随时间渐变的输入函数。若A等于1，称为单位斜坡信号，,斜坡输入信号可表示为(图3-1)：,3.1.1.4 抛物线(加速度)信号,A为常数，此信号幅值随时间以加速度A增长。 最适合用作航天器控制系统的试验信号。若A等于1，称为单位抛物线信号。,抛物线输入信号可表示为(图3-1(d)
4、：,3.1.1.5 正弦信号,A为常数，表示正弦输入信号的幅值。该信号随时间以频率作等幅振荡。用来描述交流电源、电磁波等周期信号。,正弦输入信号可表示为(图3-1(e)：,究竟使用哪种典型信号分析系统？,取决于系统在正常工作时最常见的输入信号形式,若输入是突然的脉动 脉冲信号若输入是突变的跃变 阶跃信号若输入随时间逐渐变化 斜坡信号若输入是周期信号 正弦信号,3.2 一阶系统的动态响应,一阶线性系统：,可用一阶线性微分方程描述的系统。,例：网络的输入电压Ul和输出电压U2间的动态特性由下列一阶微分方程来描述：,描述一阶系统动态特性的微分方程式的标准形式：,T称为时间常数，表示系统的惯性大小K表
5、示对象的增益或放大系数,传递函数是：,(3-6),（假设K1，系统的初始条件为零。）,3.2.1单位阶跃响应,单位阶跃1(t)的拉氏变换为：,(3-7),把(3-7)式代入(3-6)式，,取拉氏反变换有：,(3-8),由式（3-8）求出 ：,一阶系统单位阶跃响应是单调上升的指数曲线,tT时，y(T)1-e-10.632,t5T时, y(5T)0.993,t4T时, y(4T)0.982,t3T时, y(3T)0.95,t2T时, y(2T)0.865,说明：,对（3-8）式求导：,研究输出曲线的变化速率:,1. 一阶系统阶跃响应曲线的另一个重要特性是在t0处切线的斜率等于1/T。 2. 一阶系
6、统如能保持初始反应速度不变， 则当tT时，输出将达到其稳态值。 3. 实际上，一阶系统过渡过程y(t)的变化速率，随着时间的推移，是单调下降的。,一阶系统单位阶跃响应的重要性质：,总结：,1、经过一倍时间常数，即t=T时，系统从0上升到稳态值的63.2%。 2、在t0处曲线切线的斜率等于1/T。 3、当t4T时，一阶系统的响应曲线已经达到稳态值（稳态误差小于2%）。,实验方法求取一阶系统的传递函数：,对一阶系统的单位阶跃响应曲线，,2、从t0处的切线斜率求得系统的时间常数。,1、直接从达到稳态值的63.2%对应的时间求出一阶系统的时间常数；,3.2.2单位斜坡响应,单位斜坡函数r(t)=t 的
7、拉氏变换为：,把上式代入式(3-6)，,取上式的拉氏反变换，,即得系统的单位斜坡响应：,它和输入参数的误差为r(t)=t ：,r(t),y(t),特点：,1、系统的动态响应是一个指数型的上升过程，先逐步加快，最后以输入相同的速度直线升高，并与输入相平行。,2、系统的稳态响应为y()=tT，是一个与输入斜坡函数斜率相同但时间迟后T的斜坡函数。,3、输出总是小于输入，误差逐步从零增大到时间常数T并保持不变，因此T也是稳态误差。系统的时间常数T越愈小，系统跟踪输入信号的稳态误差也越小。,初始斜率,1、一阶系统的脉冲响应为 一单调下降的指数曲线； 2、说明系统的惯性越小（T越小），系统的响应越快。,3
8、.2.3 单位脉冲响应,系统输出量的拉氏变换式就是系统的传递函数,注意：,任何系统在单位脉冲输入信号作用下，输出的拉氏变换恰好为系统的传递函数。即,对上式进行拉氏反变换，即得系统的单位脉冲响应函数 g(t) ：,实验测定系统的传递函数：,常用单位脉冲信号作用于系统，来测定系统的单位脉冲响应，由此可以求得系统的传递函数。,总结与分析：,l 线性定常系统对输入信号导数的响应，可以通过把系统对输入信号的响应进行微分求得；,这一结果适合(仅适用）所有的线性定常系统。,l 系统对输入信号积分的响应，可以通过把系统对原输入信号的响应进行积分求得，而积分常数则由初始条件决定。,习题1：,设单位反馈系统的单位
9、阶跃响应为：,1、求系统的单位脉冲响应； 2、求该系统的闭环传递函数和开环传递函数。,解：1、 对单位阶跃响应求导，可得单位脉冲响应函数：,2、 对上式求拉氏变换，可得系统的闭环传递函数：,可求出系统的开环传递函数：,习题2-6 系统微分方程组如下, 试建立对应信号流图, 并求传递函数。,解：将原方程组取拉氏变换：,研究：,一阶系统 的特征参数K、T对过渡过程的影响。,K=20,K=10,K=2,T=20,T=10,在单位阶跃信号作用下：,T=40,作业：31,3.3 二阶系统的动态响应,3.3.1二阶线性定常系统数学模型的标准形式,某电机调速系统（见图3-8）的开环传递函数为：,图3-8 电
10、机调速系统的闭环方块图,其中，T是机电时间常数，K是增益。,其闭环传递函数为：,可转换为下列的微分方程：,写成标准形式，,令：,有：,标准传递函数：,两个特征参数：,有,(3-14),求解这个二阶系统的特征方程：,可得它的两个特征根（极点）,(3-14),0 1 过阻尼,=0 无阻尼, 0,阻尼系数不同时特征根在s平面上的位置,当阻尼系数取不同值时，二阶系统特征根的性质：,（3-15）,3.3.2二阶系统的单位阶跃响应,3.3.2.1 01时的欠阻尼情况,这时系统有一对共轭复根：,式中， ，称为有阻尼自然频率。,，称为阻尼角。,上式可改写成,取上式的拉氏反变换，有,因此，Y(s)的拉氏反变换为
11、：,此时，y(t)的输出为衰减振荡过程。,(3-17),特点：,系统的单位阶跃响应y(t)及其偏差信号e(t)均为衰减的正弦振荡曲线。,其振荡频率为 ，衰减速度取决于n。,从（3-18）式中还可以看出，当时间趋于无穷大时，系统的偏差等于零。,图3-9 欠阻尼二阶系统的单位阶跃响应,二阶系统的偏差信号e(t)是：,(3-18),3.3.2.2 = 0时的无阻尼情况,系统具有一对共轭纯虚根,将0代入式(3-17)，可得到,l -cosnt,由此可知，当阻尼比0 时，, 系统的阶跃响应将变为等幅振荡。 稳态时仍是等幅振荡。 振荡频率为n。,频率n和d具有鲜明的物理涵义:,n是无阻尼(即0)时二阶系统
12、等幅振荡过程的频率，因此也称为无阻尼自然频率。,l 显然，d低于n, 且随着的增大，d的值减小。,l d 是欠阻尼(01）时，系统衰减振荡过程的振荡频率，因此称为有阻尼自然频率。,3.3.2.3 1时的临界阻尼情况,系统具有两个相等的负实根,此时，由式(3-14)得到,取上式的拉氏反变换，得二阶系统的过渡过程：,（3-14）,1时的过渡过程是一个无超调的单调上升过程。,3.3.2.4 1时的过阻尼情况,系统具有两个不等的负实根,若令：,则Y(s)可写成：,取上式的拉式反变换，得到：,在二阶系统的过渡过程y(t)中含有两个衰减指数项；其代数和决不会超过稳态值1；二阶系统的运动状态是非振荡的 。,
13、=1.4,=1,3.3.2.5 -10 时的负阻尼情况,同（3-17）式。但是为指数增长的正弦振荡。,(3-17),在单位阶跃函数作用下，当阻尼比不同时，二阶系统的过渡过程曲线示于图。横坐标是无因次变量nt。,二阶系统的标准曲线 (= 0, 0.2, 0.4, 0.8, 1.0, 1.4, 2 ),分析：,总结,讨论：随着减小，系统的振荡情况如何？哪种情况系统达到稳态的时间最短?哪种最长？希望获得哪种过渡过程？,本节总结,不同，决定特征根位置的不同，决定系统不同的动态特性。,取适当的阻尼时ts最小。系统一般设计在欠阻尼状态，取0.40.8。,实根：单位阶跃响应呈单调特性,根具有负实部（左半平面
14、）：过渡过程稳定、收敛；,复根：振荡特性,根具有正实部（右半平面）：发散，不稳定，,根在虚轴：临界稳定状态。,作业：3-2, R=21（t) 3-4, y(0)=-1,3.1.2 控制系统过渡过程的性能指标,评价和设计控制系统的量化指标性能指标。,系统希望的输出与实际输出之间误差的某个函数的积分，如：平方误差积分指标（ISE）:,设, 常用在最优系统的设计当中，求取使J达到最小的控制作用。, 误差性能指标,通常采用两大类的性能指标。, 过渡过程的性能指标,直接评价控制系统的单位阶跃响应曲线,（a）随动系统,图3-2 单位阶跃响应曲线,（b）定值系统,以阶跃响应曲线形式表示的质量指标,(1) 峰
15、值时间tp,阶跃响应曲线达到第一峰值所需要的时间。,tp,tp愈小，表明控制系统反应愈灵敏。,(2) 最大偏差A和超调量,最大偏差A: 被控输出第一个波的峰值与给定值的差，如图中的A。,超调量,y()为过渡过程的稳态值。,超调量（百分数表示的最大偏差）：,注意最大偏差和超调量的不同。,(3) 衰减比n,在过渡过程曲线上，同方向上相邻两个波峰值之比。如图，n=A:A。,n愈大，过渡过程衰减的越快，反之，n愈小，过 渡过程的衰减程度也愈小;,一般操作经验希望过程有两、三个周波结束，一般常取n=4:110:1。,l 当n1时，过渡过程则为等幅振荡；,(4) 调节时间ts,阶跃响应到达稳态的时间。,工程上常取在被控变量进入新稳态值的土5或土2的误差范围，并不再超出的时间。ts 的大小一般与控制系统中的最大时间常数有关，ts越短，系统响应越快。,(5) 上升时间tr,仅适用随动系统。第一次达到系统新稳态值所需的时间，定义为上升时间。,(6) 余差或稳态误差e(),过渡过程结束时稳态值与给定值之差，是表示控制系统精度的重要质量指标。,对于非振荡的过渡过程曲线：从稳态值的10上升到90所需的时间。,总结：,1、峰值时间tp和上升时间tr反映了系统的初始快速性。,
