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1、第三章习题解答 思考题 1. （a）仅当稀疏矩阵是病态或者奇异的时候，不选主元的Gauss消去法才会失败。 （b）系数矩阵是对称正定的线性方程组总是良态的。 （c）两个对称矩阵的乘积仍然是对称的。 （d）如果一个矩阵的行列式值很小，则它很接近奇异。 （e）两个上三角矩阵的乘积仍然是上三角矩阵。 （f）一个非奇异上三角矩阵的逆仍然是上三角矩阵。 （g）一个奇异的矩阵不可能有LU分解。 （h）奇异矩阵的范数一定为零。 （i）范数为零的矩阵一定是零矩阵。 （j）一个非奇异的对称矩阵，如果不是正定的则不能有Cholesky分解。,2.全主元Gauss消去法与列主元Gauss消去法的基本区别是什么？它们
2、各有什么优点？ 解答： 区别：主元的选取方式不同，全主元消去法每步选取绝对值最大的元素作为主元素，列主元消去法每步选取一列中最大的元素作为主元素。优势：全主元算法复杂，稳定性好；列主元算法简单，稳定性差。,4.满足下面的哪个条件，可以判定矩阵接近奇异？ （a）矩阵的行列式小； （d）矩阵的条件数小 （b）矩阵的范数小； （e）矩阵的条件数大 （c）矩阵的范数大； （f）矩阵的元素小 解答： （e）矩阵的条件数大 矩阵奇异的本质原因是有0特征值，当矩阵的某个特征值的模远小于其他特征值的模，那么这个矩阵就接近奇异。 矩阵的条件数定义为 当我们选取因此，矩阵的条件数越大矩阵越接近奇异。,8.Jaco
3、bi迭代法Gauss-Seidel迭代法相比 （a）它们的基本差别是什么 （c）哪种方法更节省存储空间 （b）哪种方法更适合并行运算 （d）Jacobi方法是否总是更快 解答： （a）迭代过程新值使用问题。 （b）Jacobi （c） Gauss-Seidel （d）否,习题4.考虑矩阵 ，试求A的Cholesky分解。解答： 方法1： Matlab运行 R=chol（A）R = 1.4142 -0.7071 0 00 1.2247 -0.8165 00 0 1.1547 -0.86600 0 0 1.1180 方法2： 利用Cholesky定义求解,6.矩阵证明：求解以 为系数矩阵线性方程组
4、的Jacobi迭代是收敛的，而Gauss-Seidel方法是发散的；求解以 为系数矩阵线性方程组的Gauss-Seidel迭代收敛，而Jacobi方法是发散的。 解答：Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代,矩阵：Jacobi迭代Gauss-Seidel迭代,7.矩阵（a）参数a取什么值时，矩阵时正定的。 （b）a取什么值时，求解以A为系数矩阵线性方程组的Jacobi迭代是收敛的。 解答： （a）A的各阶顺序主子式大于零，则A为正定矩阵（b）根据迭代收敛条件,实验题 4.考虑方程组Hx=b，其中系数矩阵为Hilbert矩阵，适当选择问题的维数，并通过首先给定解再定出右端的办法确定问题。用
5、Gauss消去法（即LU分解）求解方程组，其结果如何？计算结果说明了什么？ 解答： A=hilb(3); %产生三阶Hilbert矩阵 x=1 2 3; %假设解向量为x 结果： b=A*x; %确定等式右端 x_lu= b=b+-0.1 0.1 -0.1; %增加扰动 -6.5000 L U P=lu(A); %矩阵lu分解 42.8000 y_lu=L(P*b); %根据lu分解求解x -36.0000 x_lu=Uy_lu;,第四章 思考题 1. （a）对给定的连续函数，构造等距节点上的Lagrange插值多项式，节点数目越多，得到的插值多项式越接近被逼近函数。 （b）对给定的连续函数，
6、构造其三次样条插值，则节点数目越多，得到的样条函数越接近被逼近的函数。 （c）高次的Lagrange插值多项式很常用。 （d）样条函数插值具有比较好的数值稳定性。 ,习题 3.以0.1，0.15，0.2为插值节点，计算 的二次Lagrange插值多项式 ，比较 和 ，问定理4.1的结果是否适用于本问题。 解答： 首先构造二次Lagrange插值多项式,代入x=0，根据定理4.1f(x)的二阶导数在x=0处不连续不适用于该定理,5.（a）求 在节点上的三次自然样条插值（即 ）。 （b）用同样的数据做Lagrange插值。 将f（x）及它的三次自然样条插值和Lagrange多项式插值用Matlab
7、画出来，比较它们的结果。 解答：,插值比较程序 close all; clear all; clc; x=-.2 -.5 0 .5 .2; y=abs(x); x0=-.2:0.01:.2; y0_sp=interp1(x,y,x0,spline); figure plot(x0,y0_sp,b) hold on y0_la=polyinterp(x,y,x0); plot(x0,y0_la,r),实验题 1.考虑本章“交互实验”中讨论的著名问题的非等距节点Lagrange插值。区间a,b上的Chebyshev定义为以 为插值节点构造函数f（x）的Lagrange插值多项式，重做“交互实验”步
8、骤，比较其结果。,close all clear all clc n=10; x=zeros(n+1,1); for k=1:n+1x(k)=cos(2*k-1)*pi/2/(n+1); end y=1./(1+25*x.2); x0=-1:0.1:1; y0=polyinterp(x,y,x0); figure plot(x0,y0,r) x1=linspace(-1,1,n+1); y1=1./(1+25*x1.2); y1_u=polyinterp(x1,y1,x0); hold on plot(x0,y1_u,b),2.仍然考虑上述实验中的著名问题，使用Matlab的函数“spline
9、”作f（x）的样条插值。增加插值的节点，观察样条插值的收敛性。close all clear all clc n=10; x=zeros(n+1,1); for k=1:n+1x(k)=cos(2*k-1)*pi/2/(n+1); end y=1./(1+25*x.2); x0=-1:0.1:1; y0=interp1(x,y,x0,spline); plot(x0,y0,r),3.仍然考虑实验1中的著名问题。下面的Matlab程序给出了该函数的二次和三次拟合多项式。x=-1:0.2:1; y=1./(1+25*x.2); xx=-1:0.02:1; p2=polyfit(x,y,2); yy
10、=polyval(p2,xx); plot(x,y,o,xx,yy); xlabel(x); ylabel(y); hold on p3=polyfit(x,y,3); yy=polyval(p3,xx); plot(x,y,o,xx,yy); hold off,第五章 思考题 1.（a）如果函数在有限的区间上连续，则它的Riemann定积分一定存在。 （b）积分的计算总是好条件的问题。 （c）代数精度是衡量算法稳定性的重要指标。 （d）梯形方法与两个节点的Gauss型方法相比会更加精确。,习题 2.确定下列数值几分公式中的参数，使它有尽可能高的代数精度。 （a）（b） 解答： （a）（b）,
11、3.取N=8,16,32，分别用梯形公式和Simpson公式计算如下的积分。 （a） （c）解答： 以N=8为例梯形公式：Simpson公式：,2.考虑积分（a）用Matlab函数ezplot在 上画被积函数的图像； （b）用Matlab的符号计算工具箱，精确计算该积分； （c）如果直接用Matlab函数quad数值计算该积分有什么问题？如何设法克服。 解答： （a）y=sym(x*sin(1/x);figureezplot(y,-1,1);,（b） y=sym(x*sin(1/x); syms x; q=int(y,x,0,1); 结果：sinint(1)/2 - pi/4 + cos(1)
12、/2 + sin(1)/2（c） function y=myfun(x) y=x.*sin(1./x); 调用 Q=quad（myfun,0,1）; err=sinint(1)/2 - pi/4 + cos(1)/2 + sin(1)/2- quad（myfun,0,1）; 结果： Q=0.3785 err=1.9022e-005,解决办法：分段进行积分clear all clc acc=sinint(1)/2 - pi/4 + cos(1)/2 + sin(1)/2; a=0; for i=1:1000a=a+quad(myfun,0.001*(i-1),0.001*i); end err=abs(acc-a) 结果： err=3.8436e-007 误差下降两个数量级,
