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1、1,第8讲,线性系统的稳定性 线性系统的稳态误差计算,2,3.5 线形定常控制系统的稳定性,稳定是控制系统能够正常运行的首要条件。 对分析系统的各类性能指标，必须在保证系统稳定的前提下进行。 解决的问题： 如何判定系统的稳定性 保证系统稳定的措施,3,3.5.1 稳定的基本概念和系统稳定的充要条件,1、基本概念 控制系统在运行过程中，总会受到外界和内部一些因素的干扰，例如，负载和能源的波动、系统参数的变化、环境改变等，这些因素总是存在的。如果系统设计时不考虑这些因素，设计出来的系统可能不稳定，那就需要重新设计，或调整某些参数或结构。,稳定： 设一线性定常系统原处于某一平衡状态，若它瞬间受到某一
2、扰动作用而偏离了原来的平衡状态，当此扰动撤消后，系统是否能回到原来的平衡状态，这就是稳定性问题。仍能回到原有的平衡状态，则称该系统是稳定的。反之，系统为不稳定。,稳定性是系统自身的固有特性. 线性系统的稳定性仅与系统的结构和参数有关，与系统的输入信号无关(见后分析)。,4,稳定性研究的问题：扰动作用去除后系统的运动情况，它与系统的输入信号无关，只取决于系统本身的结构或特征。因而可用系统的脉冲响应函数来描述。系统最终能回到平衡状态的稳定性称为渐近稳定性，是线形定常系统的一种特性。本书讨论的稳定性问题如不加说明，均指渐近稳定。,5,如果系统脉冲响应是收敛的，即有,表示系统仍能回到原有的平衡状态，因
3、而系统是稳定的。 由此可知，系统的稳定与其脉冲响应函数的收敛是一致的。,系统仍能回到原来的平衡状态,单位脉冲函数的拉氏反变换等于1，所以系统的脉冲响应函数就是系统闭环传递函数的拉氏反变换。,令系统的闭环传递函数含有q个实数极点和r对复数极点，则式(3-46)可改写为 ：,注：q+2r=n,2、稳定的充要条件,6,用部分分式展开,拉式反变换，得系统的脉冲响应函数为：,闭环特征方程式的根须都位于S的左半平面或具有负实部 。,系统稳定,不稳定系统,充要条件,要有一个正实根或一对实部为正的复数根 。,系统响应曲线发散,7,若有部分极点位于S平面虚轴上，出现临界稳定状态，从李氏理论上讲是稳定的。但在工程
4、中认为是不稳定。工程上一般阻尼比取0.4-0.8，调整时间达到一定值.,8,一个在零输入下稳定的系统，会不会因某个参考输入信号的加入而使其稳定性受到破坏？,？,单位阶跃函数,分析,(3-47),稳态分量,瞬态分量,瞬态分量,系统的结构和参数确定,参考输入,一个在零输入下的稳定系统，在参考输入信号作用下仍将继续保持稳定。,衰减,9,3.5.2劳斯稳定判据(Rouths stability criterion)（重点）,1劳斯表,线性系统稳定,闭环特征方程式的根必须都位于S的左半平面。,充要条件,稳定判据,令系统的闭环特征方程为,如果特征方程式的根都位于S的左半平面（即：有负实部），则其特征方程式
5、的各项系数均为正值，且无零系数。,证明,设,为实数根，,为复数根,不会有系数小于零或等于的项,线性系统稳定,必要条件,10,将各项系数，按下面的格式排成劳斯表,11,这样可求得n+1行系数,劳斯稳定判据是根据所列劳斯表第一列系数符号的变化，去判别特征方程式的根在S平面上的具体分布情况，过程如下：,如果劳斯表中第一列的系数均为正值，则其特征方程式的根都在S的左半平面，系统是稳定的。（前提条件：特征方程式的系数都大于零，且不缺项）,如果劳斯表中第一列系数的符号有变化，其变化的次数等于该特征方程式的根在S的右半平面上的个数，系统为不稳定。,12,设系统特征方程为：,s6+2s5+3s4+4s3+5s
6、2+6s+7=0,劳 斯 表,(64)/2=1,1,2,7,1,0,(6-14)/1= -8,-8,劳斯表介绍,劳斯表特点,2 每两行个数相等,1 右移一位降两阶（奇、偶）,3 行列式第一列不动,4 次对角线减主对角线,5 分母总是上一行第一个元素,6 一行可同乘以或同除以某正数,7,7,13,劳斯判据,系统稳定的必要条件:,有正有负一定不稳定!,缺项一定不稳定!,系统稳定的充分条件:,劳斯表第一列元素不变号!,若变号系统不稳定!,变号的次数为特征根在s右半平面的个数!,14,已知一调速系统的特征方程式为,例3-5,试用劳斯判据判别系统的稳定性。,解：列劳斯表如右：,该表第一列系数符号不全为正
7、，因而系统是不稳定的；且符号变化了两次，所以该方程中有二个根在S的右半平面或者说有两个正实部的根。,15,已知某调速系统的特征方程式为,例3-6,求该系统稳定的K值范围。,解：列劳斯表,由劳斯判据可知，若系统稳定，则劳斯表中第一列的系数必须全为正值。 可得：,16,劳斯判据特殊情况,劳斯表某一行中的第一项元素等于零，而该行的其余各项不等于零或没有其余项的情况。,若劳斯表第一列中系数的符号有变化，其变化的次数就等于该方程在S右半平面上根的数目，相应的系统为不稳定,如果第一列 上面的系数与下面的系数符号相同，则表示该方程中有一对共轭虚根存在（出现临界稳定情况），相应的系统也属不稳定,是以一个很小的
8、正数,来代替为零的这项,1,解决的办法：,据此算出其余的各项，完成劳斯表的排列,请看例题,17,已知系统的特征方程式为,试判别相应系统的稳定性。,例3-7,由于表中第一列,上面系数的符号与其下面系数的符号相同，表示该方程中有一对共轭虚根存在-j,+j，相应的系统为（临界）稳定，实际上属于不稳定。,解：列劳斯表如右,18,劳斯表中出现全零行,则表示相应方程中含有一些大小相等符号相反的实根或共轭虚根。这种情况可用系数全为零行的上一行系数构造一个辅助多项式（方程），并以这个辅助多项式（方程）导数的系数来代替表中系数全为零的行。完成劳斯表的排列。,2,解决的办法,这些大小相等、径向位置相反的根可以通过
9、求解这个辅助方程式得到，而且其根的数目总是偶数的。,请看例题,19,例:一个控制系统的特征方程为,列劳斯表,显然这个系统处于临界(不)稳定状态。,20,3.5.2.3 劳斯判据的应用,实际系统中，一般希望根距离S左半平面的虚轴有一定的距离。,为变量的特征方程式，然后用劳斯判据去判别该方程中是否有根位于垂线,此法可以估计一个稳定系统，它的所有根中最靠近虚轴的根距离虚轴的距离，从而了解系统稳定的“程度”。,代入原方程式中，得到以,稳定判据能回答特征方程式的根在S平面上的分布情况，而不能确定根的具体值。也不能保证系统具有满意的动态性能。换句话说，劳斯判据不能表明系统特征根在S平面上相对于虚轴的距离。
10、,1,2,解决的办法,设,右侧。,请看例题,21,3.5.2.3 劳斯判据的应用,用劳斯判据检验下列特征方程,是否有根在S的右半平面上，并检验有几个根在垂线,的右方。,例3-8,解：列劳斯表,第一列全为正，所有的根均位于左半平面，系统稳定。,22,令,代入特征方程：,式中有负号，显然有根在,的右方。,列劳斯表来看，如右：,第一列的系数符号变化了一次，表示原方程有一个根在垂直直线,的右方。,请看例题,23,已知一单位反馈控制系统如图3-21所示，试回答,例3-9,时，闭环系统是否稳定？,图3-21单位反馈控制系统方块图,时，闭环系统的稳定条件是什么？,列劳斯表如右,第一列均为正值，特征方程的根全
11、部位于左半平面，故,闭环系统的特征方程为:,解：,系统稳定,24,开环传递函数,闭环特征方程为,列劳斯表,25,利用劳斯稳定判据可确定系统一个或两个可调参数对系统稳定性的影响。,欲使系统稳定第一列的系数必须全为正值,26,3.6 线性系统的稳态误差及计算,系统稳定是前提,控制系统的性能,动态性能,稳态性能,稳态误差,稳态误差可以避免吗？,？,在阶跃函数作用下具有原理性稳态误差的系统。,摩擦，不灵敏区，零位输出等非线性因素,输入函数的形式不同,(阶跃、斜坡、加速度),无差系统：,有差系统：,在阶跃函数作用下没有原理性稳态误差的系统，也叫无差度系统。,本节主要讨论,没有原理性稳态误差的计算方法,系
12、统结构-系统类型,不同的输入函数作用下,本 书 第8 章 介 绍,回答：不可避免，因为,27,图3-22 控制系统框图,3.6.1 稳态误差的定义,误差：被控量的希望值与实际值的差。即：,稳态误差：,误差信号的稳态分量，记：,与 的关系：,定义：,时，被控量的值就是系统的希望值。,定义,当 时,误差与偏差的关系：,稳态分量反应了控制系统的稳态性能。,28,图3-22 控制系统框图,当 时（单位反馈），偏差信号与误差信号相同。 对于非单位反馈系统，可通过先计算偏差信号 ，再计算误差信号。,由图3-22可得误差传递函数,椐终值定理，求稳态误差 （方法一）,输入形式,结构形式,开环传递函数,公式条件
13、：,的极点位于左半平面，或系统稳定,对于稳定的系统，当输入信号不变时，系统是否存在稳态误差，就取决于开环传递函数所描述的系统结构,29,3.6.2 系统（结构）类型System Type,令系统开环传递函数为,！,系统类型(type)与系统的阶数(order)的区别,定义,30,令,系统稳态误差终值计算公式则可表示为：,分别讨论系统在单位阶跃、斜坡和加速度函数作用下的稳态误差。,31,阶跃信号输入,令,令,(3-63),由 (3-65)可知:,Static position error constant,若要求系统在阶跃信号作用下不存在稳态误差，则须选用型及型以上的系统。,(3-65),(3-
14、66),32,斜坡输入信号作用下：,令,静态速度误差系数,Static velocity error constant,(3-61),要求系统在斜坡信号作用下不存在稳态误差，则须选用型及型以上的系统。,其中，,(3-67),由(368)知：,由(3-67)得：,33,加速度信号输入,令,令,(3-61),静态加速度误差系数,Static acceleration error constant,由(3-70)知：,由(3-69)得：,要求系统在加速度信号作用下，不存在稳态误差，则须选用型及型以上的系统。,其中，,34,静态位置误差系数,静态加速度误差系数,静态速度误差系数,请记住,35,系统型别
15、、稳态误差、输入信号间的关系,请记住,36,一单位负反馈控制系统，若要求： 跟踪单位斜坡输入信号时，系统的稳态误差为2。 设该系统为三阶，其中一对复数闭环极 。,根据和的要求，可知系统是型三阶系统。 令其开环传递函数为,例3-10,求：满足上述要求的开环传递函数。,解：,由条件(1)知：,闭环传递函数：,所求开环传递函数为,由定义知：,37,例311 当系统为单位负反馈系统时，输入信号为,求 ,系统的稳态误差。,解： ,I型系统,K=2.5，Kp= , Kv=K=2.5，Ka=0,K=2.5,，Kp= ,Kv= , Ka= K=2.5, 能跟踪抛物线输入。,II型系统,系统不能跟踪抛物线输入，所以ess= ,38,清华考研试题(15分)选做,设无零点的单位负反馈二阶系统h(t)曲线如图所示，,1、试求出该系统的开环传递函数及参数；,0,1,1.25,0.95,39,谢谢！,结束,
