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1、线性空间中向量之间的联系，是通过线性空 间到线性空间的映射来实现的,一、映射,第2节、线性变换,变换的概念是函数概念的推广,二、线性变换的定义,2从线性空间 到 的线性变换,说明,从线性空间 到其自身的线性变换,下面主要讨论线性空间 中的线性变换,证明,设,则有,例 定义在闭区间上的全体连续函数组成实数 域上的一个线性空间 ，在这个空间中变换是一个线性变换.,故命题得证.,证明,则有,设,例 线性空间 中的恒等变换（或称单位变换）：是线性变换,所以恒等变换 是线性变换,证明,设,则有,所以零变换是线性变换,例 线性空间 中的零变换 ： 是线性 变换,证明,证毕.,例 在 中定义变换则 不是 的
2、一个线性变换,三、线性变换的性质,证明,从而,由于,故它是 的子空间,证明,则,则,四、线性变换的矩阵表示式,五、线性变换在给定基下的矩阵,定义3 设 是线性空间 中的线性变换，在 中取定一个基 ，如果这个基在变换 下的象为,其中,那末， 就称为线性变换 在基 下的 矩阵,结论,此例表明：同一个线性变换在不同的基下一般 有不同的矩阵,同一个线性变换在不同的基下有不同的矩阵， 那么这些矩阵之间有什么关系呢？,六、线性变换在不同基下的矩阵,上面的例子表明,于是,证明,因为 线性无关，,所以,证毕.,定理表明： 与 相似，且两个基之间的过渡 矩阵 就是相似变换矩阵,例,解,解 由条件知,七、小结,要证一个变换 是线性变换，必须证 保持 加法和数量乘法，即,若证一个变换 不是线性变换，只须证 不保 持加法或数量乘法，并且只须举出一个反例即可,给定了线性空间 的一组基以后， 中的线 性变换与 中的矩阵形成一一对应因此，在 线性代数中，可以用矩阵来研究变换，也可以用 变换来研究矩阵,同一变换在不同基下的矩阵是相似的,思考题1,思考题1解答,思考题2,思考题2解答,
