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1、椭圆及其标准方程,高二数学组 主讲教师：蒲东风,一:认识椭圆,生活中的椭圆,一:认识椭圆,二:尝试探究、形成概念,取一条定长的细绳; (1)若把它的两端用图钉固定在纸板上同一点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是一个圆。 (3)若绳子的两端拉开一段距离,再分别固定在纸板的两点处，用铅笔尖把绳子拉直,使笔尖在纸板上慢慢移动，画出的轨迹是什么曲线？,动手实验(亲身体验),演示实验,圆的定义,圆,平面内与一个定点的距离等于常数(大于0)的点的轨迹叫作圆. 这个定点叫做圆的圆心,定长叫做圆的半径.,圆的定义：,椭圆的定义：,二:尝试探究、形成概念,类比,这两个定点叫做椭圆的焦点
2、， 两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.,演示实验,平面内与两个定点F1、F2的距离的和等于常数（大于|F1F2 |）的点的轨迹叫椭圆。这两个定点F1、F2叫做椭圆的焦点两焦点之间的距离叫做椭圆的焦距。,椭圆的定义,两个问题：为什么要强调在平面内？为什么要强调绳长大于两焦点的距离？,三:概念透析,演示实验,平面内： 圆,空间中,空间中,球面,椭球面,为什么要强调在平面内？,三:概念透析,演示实验,绳长,绳长,为什么要强调绳长大于两焦点的距离？,注：定长 所成曲线是椭圆定长 所成曲线是线段定长 无法构成图形,理解定义的 内涵和外延,演示实验,步骤一：建立直角坐标系； 步骤二：设动点坐标； 步骤三：限制
3、条件，列方程； 步骤四：代入坐标 步骤五：化简方程。,回顾：求曲线方程的步骤,四:椭圆的标准方程的推导 （坐标法）,演示实验, 探讨建立平面直角坐标系的方案,建立平面直角坐标系通常遵循的原则：对称、“简洁”,方案一,学生活动,演示实验,解：取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系(如图).,设M(x, y)是椭圆上任意一 点，椭圆的焦距2c(c0)，M 与F1和F2的距离的和等于正 常数2a (2a2c) ，则F1、F2的坐标分别是(c,0)、(c,0) .,建构数学,问题：上式如何化简呢？,由椭圆的定义得，限制条件：,代入坐标,椭圆的标准方程的推导,
4、演示实验,方案(1): 两边直接平方. (太繁琐）,方案(2): 考虑两个根号下代数式的相似性,演示实验,这样化简可以减少平方次数, 而且为后面学习第二定义作了铺垫,为表述方便记：,则 m +n= 2a ,又因为: m - n= ,化简得,即 展开得,两边除以,演示实验,则方程可化为,即,令,数学中的 求美、求简 意识,椭圆的标准方程,演示实验,椭圆的标准方程,焦点在x上,椭圆的标准方程（两种形式）,方程特点,(2)在椭圆两种标准方程中，总有ab0；,(3)焦点在分母较大的变量所对应的坐标轴上；,(1)方程的左边是两项平方和的形式，等号的右边是1；,(4)a:表示椭圆上任意一点P到F1、F2距
5、离和的一半(长半轴长)c:表示半焦距.且有关系式 成立。,焦点在x上,焦点在y上,分母哪个大,焦点就在相应变量所对应的那个轴上,a2-c2=b2,(ab0),P= M| |MF1 |+|MF2|=2a（2a2c）,五:知识整理，形成系统,(3)已知椭圆上一点 P到左焦点F1的距离等于6，则点P到右焦点的距离是 ；(4)若CD为过左焦点F1的弦，则CF1F2的周长为 ，F2CD的周长为 。,已知椭圆方程为 , 则(1)a= , b= , c= ;(2)焦点在 轴上,其焦点坐标为 , 焦距为 。,5,4,3,(-3,0)、(3,0),6,x,4,16,20,变式一:将上题焦点改为(0，-4)、(0
6、，4), 结果如何？,变式二:将上题改为两个焦点的距离为8，椭圆上一点P到两焦点的距离和等于10，结果如何？,当焦点在X轴时，方程为：,当焦点在Y轴时，方程为：,已知两个焦点的坐标分别是(-4,0)、(4,0)，椭圆上一点P到两焦点距离的和等于10；,方程 表示的曲线是椭圆，求k的取值范围.,变式：(1)方程 表示焦点在y轴上的椭圆,求k的取值范围.(2)方程 表示焦点坐标为(2，0)的椭圆，求k的值.,k0且k5/4,k5/4,k1/4,设F1(3, 0)、F2(3, 0)，且|MF1|MF2|6，则点M的轨迹是 .,已知椭圆mx23y26m0的一个焦点为(0, 2),求m的值.,写出适合下
7、列条件的椭圆的标准方程,两个焦点的坐标是（ 0 ，-2）和（ 0 ，2），并且经过点P,解： 因为椭圆的焦点在y轴上，设它的标准方程为, c=2，且 c2= a2 - b2, 4= a2 - b2 ,又椭圆经过点P, ,联立可求得：,椭圆的标准方程为,(法一),（五）典例分析,(法二) 因为椭圆的焦点在y轴上，所以设它的标准方程为,由椭圆的定义知，,所以所求椭圆的标准方程为,求椭圆的标准方程的步骤： （1）首先要判断焦点位置，设出标准方程（先定位） （2）根据椭圆定义或待定系数法求a,b （后定量）,六 、课堂练习,1写出适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）a=4,b=3,焦点在x轴；（2）a=5,c=2,焦点在y轴上,2椭圆,的焦距是 ，焦点坐标为 ；,的弦，则,的周长为 ,若CD为过左焦点,1、课后反思与体验,（八）课后作业,2、基础题：课本课后练习题A组,
