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1、,测量误差及数据处理,工程测量,主讲人：项霞四川大学水利水电学院 二零一零年三月,测量误差及数据处理,第 七 讲,本 次 授 课 目的和要求,本次授课的重 点与难点分析,误差的定义及分类 衡量观测值精度的指标（重点） 误差传播定律（难点） 平均值及其中误差,衡量观测值精度的指标 误差传播定律,测量误差及数据处理,一、 测量误差的定义及其来源1、测量误差的定义被观测量客观上存在一个真实值，简称真值。对该量进行观测得到观测值。观测值与真值之差为真误差，即真误差=观测值-真值,在测量工作中，对某量的观测值与该量的真值间存在着必然的差异，这个差异称为误差。但有时由于人为的疏忽或措施不周也会造成观测值与
2、真值之间的较大差异，这不属于误差而是粗差。误差与粗差的根本区别在于前者是不可避免的，而后者是有可能避免的。,测量误差及数据处理,2、测量误差的来源测量工作是在一定条件下进行的，外界环境、观测者的技术水平和仪器本身构造的不完善等原因，都可能导致测量误差的产生。通常把测量仪器、观测者的技术水平和外界环境三个方面综合起来，称为观测条件。观测条件不理想和不断变化，是产生测量误差的根本原因。通常把观测条件相同的各次观测，称为同精度观测；观测条件不同的各次观测，称为不同精度观测。 误差通常通过多余观测产生的差异表现出来。,测量误差及数据处理,具体来说，测量误差主要来自以下三个方面：(1) 外界条件 主要指
3、观测环境中气温、气压、空气湿度和清晰度、风力以及大气折光等因素的不断变化，导致测量结果中带有误差。(2) 仪器条件 仪器在加工和装配等工艺过程中，不能保证仪器的结构能满足各种几何关系，这样的仪器必然会给测量带来误差。(3) 观测者的自身条件 由于观测者感官鉴别能力所限以及技术熟练程度不同，也会在仪器对中、整平和瞄准等方面产生误差。,测量误差及数据处理,二、误差分类 测量误差按其对测量结果影响的性质，可分为粗差系统误差偶然误差。,测量误差及数据处理,1、粗差粗差也称错误，是由于观测者使用仪器不正确或疏忽大意、或因外界条件发生意外的显著变动引起的差错。粗差数值偏大，使观测结果显著偏离真值。严格遵守
4、测量规范、工作仔细谨慎并对观测结果进行必要的检核可以避免和发现粗差。,测量误差及数据处理,2、 系统误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均相同或按一定的规律变化，这种误差称为系统误差。系统误差一般具有累积性。系统误差产生的主要原因之一，是由于仪器设备制造不完善。,测量误差及数据处理,例如：用一把名义长度为50m的钢尺去量距，经检定钢尺的实际长度为50.005 m，则每量一尺，就带有+0.005 m的误差(“+”表示在所量距离值中应加上)，丈量的尺段越多，所产生的误差越大。所以这种误差与所丈量的距离成正比。,再如：在水准测量时，当视准轴与水准管轴不平行而产生夹角
5、时，对水准尺的读数所产生的误差为L*i/（=206265，是一弧度对应的秒值)，它与水准仪至水准尺之间的距离L成正比，所以这种误差按某种规律变化。,测量误差及数据处理,系统误差具有明显的规律性和累积性，对测量结果的影响很 大。但是由于系统误差的大小和符号有一定的规律，所以可 以采取措施加以消除或减少其影响：（1）测定其大小，对观测值加以改正 （2）采用对称观测的方法 （3）检校仪器,测量误差及数据处理,3、 偶然误差在相同的观测条件下，对某量进行了n次观测，如果误差出现的大小和符号均不一定，则这种误差称为偶然误差，又称为随机误差。例如，用经纬仪测角时的照准误差，钢尺量距时的读数误差等，都属于偶
6、然误差。偶然误差，就其个别值而言，在观测前我们确实不能预知其出现的大小和符号。但若在一定的观测条件下，对某量进行多次观测，误差列却呈现出一定的规律性，称为统计规律。而且，随着观测次数的增加，偶然误差的规律性表现得更加明显。,测量误差及数据处理,例如：某一测区在相同条件下观测了358个三角形的全部内角，计算358个三角形内角观测值之和的真误差，将真误差取误差区间为3”，并按绝对值大小进行排列，分别统计在各区间的正负误差出现的频率kn，结果列于下表 ：,测量误差及数据处理,由上表统计总结出偶然误差具有如下四个特征： 在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值(本例为24)； 绝对值小的
7、误差比绝对值大的误差出现的机会多(或概率大)； 绝对值相等的正、负误差出现的机会相等； 在相同条件下，同一量的同精度观测，其偶然误差的算术平均值，随着观测次数的无限增大而趋于零。,测量误差及数据处理,第一个特性说明偶然误差的“有界性”。它说明偶然误差的绝对值有个限值，若超过这个限值，说明观测条件不正常或有粗差存在；第二个特性反映了偶然误差的“密集性”，即越是靠近0，误差分布越密集；第三个特性反映了偶然误差的“对称性”，即在各个区间内，正负误差个数相等或极为接近；第四个特性反映了偶然误差的“抵偿性”，它可由第三特性导出，即在大量的偶然误差中，正负误差有相互抵消的特征。因此，当n无限增大时，偶然误
8、差的算术平均值应趋于零。,测量误差及数据处理,6.2、 衡量观测值精度的指标,测量成果中都不可避免地含有误差，在测量工作中，使用“精度”来判断观测成果质量的好坏。所谓精度，就是指误差分布的密集或离散程度。误差分布密集，误差就小，精度就高；反之，误差分布离散，误差就大，精度就低。衡量观测值精度的指标主要有：中误差相对误差极限误差,测量误差及数据处理,一、 中误差及其计算 1 中误差的定义 在相同的观测条件下，对同一未知量进行n次观测，所得各个真误差平方的平均值，再取其平方根，称为中误差，用m表示，即：式中为真误差的平方和，n为观测次数。此式为定义式。,注意：一组观测中的每一个观测值，都具有相同的
9、精度。 也就是说，中误差仅是一组真误差的代表值，代表了这一组测量中任一个观测值的精度。所以，通常把m称为观测值中误差或一次观测值中误差。,测量误差及数据处理,2 用真误差计算中误差有时，我们可以知道某些量的真值，这样，就可很容易地求得观测值的真误差。例如，三角形内角和的真值为180，通过观测三角形的三个内角，就可以求得三角形内角和的真误差(即三角形的闭合差)，据此，就可以利用上式计算中误差。,测量误差及数据处理,3 用改正数计算中误差所谓改正数，就是最或是值与观测值之差，用v表示，即： v=L-l 式中v为观测值的改正数；l为观测值；L为观测值的最或是值。设对某个量进行n次观测，观测值为li（
10、i=1,2n)，则它的最或是值就是n个观测值的算术平均值，即,测量误差及数据处理,于是改正数为viLli （i，n） 根据误差理论的推导(此处从略)，可得白塞尔公式：上式求得的为一次观测值的中误差。这为中误差的计算式。,测量误差及数据处理,例1 某段距离用钢尺进行6次等精度丈量，其结果如下表，试计算该距离观测值中误差。解：部分计算如表中所示，观测值中误差为,测量误差及数据处理,二、 相对误差中误差和真误差都是绝对误差，误差的大小与观测量的大小无关。然而，有些量如长度，绝对误差不能全面反映观测精度，因为长度丈量的误差与长度大小有关。例如，分别丈量了两段不同长度的距离，一段为100m，另一段为20
11、0m，但中误差皆为0.02m。显然不能认为这两段距离观测成果的精度相同。为此，需要引入“相对误差”的概念，以便能更客观地反映实际测量精度。,测量误差及数据处理,相对误差的定义为：中误差的绝对值与相应观测值之比，用 K表示。相对误差习惯于用分子为1的分数形式表示，分母愈大，表 示相对误差愈小，精度也就愈高。K1=0.02/100=1/5000K2=0.02/200=1/10000,测量误差及数据处理,三、 极限误差根据偶然误差的第一个特性，在一定的观测条件下，偶然误差的绝对值不会超过一定的限值，这个限值就是极限误差，简称限差。限差是偶然误差的限制值，用作观测成果取舍的标准。如果观测值的偶然误差超
12、过限差，则认为该观测值不合格，应舍去不用。因此，测量上常取三倍中误差作为极限误差限，也称允许误差，即：限=3m,测量误差及数据处理,6.3 误差传播定律,对于能直接观测的量(如角度、距离、高差等)，经过多次观测后，便可通过真误差或改正数计算出观测值的中误差，作为评定观测值精度的标准。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来，这些未知量即为观测值的函数。例如，在水准测量中，两点间的高差h=a-b，则h是直接观测值a和b的函数；在三角高程测量的计算公式中，如果觇标高v等于仪器高i，则h=ltan，这时，高差h就是观测值l和的函数，等等
13、。,测量误差及数据处理,本节所要讨论的就是在观测值中误差已知的情况下，如何求观测值函数中误差的问题。阐述观测值中误差与函数中误差之间数学关系的定律，称为误差传播定律。一、 线性函数1 倍数函数设有函数Z=Kx式中x为直接观测值，其中误差为mx；为常数；Z为观测值x 的函数。若对x作n次同精度观测，则有：m22mx2 或 mmx上式表明：对于倍数函数，函数的中误差等于观测值中误差的K倍。,测量误差及数据处理,2 和、差函数设有函数Z=xy式中，x、y为两个相互独立的观测值，均作了n次观测，其中误差分别为mx和my。用同样的方法可推导出:或,测量误差及数据处理,3 一般线性函数设有函数 式中， 为
14、常数; 为独立观测值，其相应的中误差分别为 。根据倍数函数与和差函数的中误差公式，可列出求一般线性函数中误差的公式为：,测量误差及数据处理,二、 非线性函数设有非线性函数Z=f（ ）式中， 为独立观测值，其相应的中误差分别为 。则有上式是误差传播定律的一般形式，其他形式的函数都是它的特例，所以该式具有普遍意义。,例2：P109 例3 例3：P110例5,测量误差及数据处理,6.4 算术平均值及其中误差,在相同的观测条件下对某未知量进行了一组等精度观测，其观测值分别为 ，观测值的真值为X，则观测值的真误差为： 将等式两边取和并除以观测次数n,得：/nl/n-X式中l/n称为算术平均值，习惯上以L
15、表示；当观测次数n无限增大时，根据偶然误差的第四特性，式中/n趋于零。于是有：L=X。上式表明，当观测次数无限增多时，各个观测值的算术平均值趋近于未知量的真值。当n为有限值时，通常取算术平均值为最可靠值(最或是值)，并以它作为测量的最后成果。,测量误差及数据处理,算术平均值的一般表达式为：由于观测值 的真误差i一般是不知道的，所以实际工作中常采用观测值的改正数vi来计算中误差。各观测值的改正数： ，将上式两边求和，有:v=nL-l因L=l/n，所以v=0。此式可作为改正数计算正确性的检查。算得改正数后，可计算观测值的中误差：,测量误差及数据处理,由于算术平均值是观测值的线性函数，即：因是同精度观测，各观测值的中误差均为m。设算术平均值的中误差为M，则按线性函数中误差传播定律公式，得：即上式表明，算术平均值的中误差与观测次数的平方根成反比，或者说，算术平均值的精度比各观测值的精度提高了 倍。,测量误差及数据处理,例4,用DJ6型经纬仪观测某水平角4测回，观测值为2483218、248 3154 、248 3142 、248 3206 。试求一测回观测值的中误差、该角最或是值及其中误差。 解：最或是值L= （2483218+ 248 3154 + 248 3142 + 248 3206 ）/4= 2483200 v=0vv=12则一测回观测值中误差 =2最或是值中误差 =m/2=1,
