《《几何与代数》 第四章 n维向量4》由会员分享，可在线阅读，更多相关《《几何与代数》 第四章 n维向量4（36页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、,几何与代数,主讲: 关秀翠,东南大学数学系,东 南 大 学 线 性 代 数 课 程,教学内容和学时分配,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,向量空间V：Rn的非空子集, 且对线性运算封闭,A的核空间或零空间: KA = x Rn | Ax = 0,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR, 能由向量组 I:1,s线性表示,r(A)=r(A,), Ax = 有解., L(1,2,s) = R(A),I与II等价 矩阵方程 AX=B, BY=A都有解.,L(1,2,s)=L(1,2,t),r(A)=r(A,B)=r(B),问题的提出：一个子空间的生成元组不是唯一的，
2、是否存在最小的生成元组呢？,等价,线性无关,极大无关组,一. 基和维数,二. 坐标和坐标变换公式,第四章 n维向量,4.1 n维向量空间,4.2 向量组的线性相关性,4.3 子空间的基与维数,A的核空间或零空间: KA = x Rn | Ax = 0,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,: Rn的非空子集, 对线性运算封闭,向量组的极大无关组,(i) I0l.i.; (ii)II0,I0,l.d. I可由I0线性表示,4.3 子空间的基和维数,一. 基和维数,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,1, , r,能由1, , r线性表示,线性无关,V的一组基
3、,V的维数dimV = r,本质为极大无关组,注1:零空间没有基, 规定dim = 0.,注2: 基不唯一,任意两组基都是等价的,且都含有dimV个向量.,例1. Rn的基本向量组,Rn中的任一向量都能由这组基线性表示.,称为Rn的自然基.,dim(Rn) = n.,=(a1, a2, an)TRn, =a1e1+a2e2+anen .,构成Rn的一组基.,1, 2, , nRn线性无关 Rn中任一向量 都能由它们线性表示., 1, 2, , nRn为Rn的一组基.,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,例2. V = (x, y, z)T |
4、 x+2y3z = 0,= (2y +3z, y, z)T | y, zR,Drer魔方：4阶，每一行之和为34，每一列之和为34，对角线（或次对角线）之和是34，每个小方块中的数字之和是34，四个角上的数字加起来也是34.,版画创造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,Drer魔方空间,什么是Drer魔方,该魔方出现在德国著名的艺术家 Albrecht Drer于1514年创造的版画Melancolia。,向量空间的应用,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,铜币铸造时间：1514年,多么奇妙的魔方！,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有
5、多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,什么是Drer魔方,和为64.,Drer魔方空间,向量空间的应用,4阶Drer魔方： 行和=列和=对角线（或次对角线）之和=每个小方块之和= 四个角之和.,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,一、应用背景,什么是Drer魔方,A=,B=,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是Drer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,Drer魔方空间,向量空间的应用,你想构造Drer魔方吗？ Drer魔方有多少个？ 如何构造所有的Drer魔方？,设A,B是任意两个Drer 魔方，,对任意实数k，kA 是D
6、rer魔方吗？,A+B 是Drer魔方吗？,松驰问题的讨论,允许构成魔方的数取任意实数,任意两个Drer魔方的任意的线性组合仍是Drer魔方。,记 D=A=(aij)R44|A为Drer魔方,将A看成16维列向量，则D构成一个向量空间，称为Drer魔方空间.,无穷多个,求出魔方空间的一组基,基的任意线性组合都构成一个Drer魔方.,Drer魔方空间,向量空间的应用,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。,求Drer魔方空间的基,Drer魔方空间,向量空间的应用,1在第一行中有4种取法，第二行中的1
7、还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8,令R为行和，C为列和，D为对角线和，S为小方块和,类似于n维空间的基本单位向量组，利用0和1来构造一些R=C=D=S=1的最简单的方阵。,求Drer魔方空间的基,Q1=,1,1,1,1,Drer魔方空间,向量空间的应用,求Drer魔方空间的基,1在第一行中有4种取法，第二行中的1还有两种取法。当第二行的1也取定后，第三、四行的1就完全定位了，故共有8个不同的最简方阵，称为基本魔方Q1,Q8,Drer魔方空间,向量空间的应用,显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8
8、来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,求Drer魔方空间的基,Drer魔方空间,向量空间的应用,Q1,Q8线性相关,显然， Drer空间中任何一个魔方都可以用Q1,Q2,Q8来线性表示，但它们能否构成D空间的一组基呢？,求Drer魔方空间的基,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？,求Drer魔方空间的基,Q1,Q8线性相关,由,线性无关。,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,可得,Q1,Q2,Q8能否构成D空间的一组基？,Q1,Q7构成D空间的一组基，任意Drer魔方都可由其线性表示.,构造Albrecht Drer的数字魔方,=,=,坐标,生成子空间
9、的基和维数,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,1, , r,能由1, , r线性表示,线性无关,V的一组基,V的维数dimV = r,本质为极大无关组,本质为向量组的秩,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,若1,2,s线性无关，它就是L的一组基.,若1,2,s线性相关，则它的极大无关组是L的一组基.,dim(L(1,s) = r (1,s ).,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,若1,2,s线性相关，则它的极大无关组是L的一组基.,dim(L(1,s) = r (1,s ).,设矩阵ARns, 称L(A1, A2, , As)为A的列空间.
10、A的列空间的基为列向量组的极大无关组.dim(L(A1, A2, , As) = r(A).,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,设矩阵ARns, 称L(A1, A2, , As)为A的列空间. A的列空间的基为列向量组的极大无关组.dim(L(A1, A2, , As) = r(A).,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,解:,A1, A3是L(A1, A2, A3, A4)的一组基, 可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2.,L(A1, A3) =,A1, A4,B2,B3为基?,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn
11、及其子空间,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,解:,A1, A3是L(A1, A2, A3, A4)的一组基, 可见dim L(A1, A2, A3, A4) = 2.,L(A1, A3) =,A1, A4,B2,B3为基?,否,B2=x1A1+x3A3?,无 解,B2L(A1, A3),不能取变换后的B2,B3为基.,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,求L(A1, A2, A3, A4)的一组基和维数.,解2:,C1, C2是L(A1, A2, A3, A4)的一组基.,L(A1, A3) =,C1 C2,基？,B2=x1A1+x3A3?,无
12、解,B2L(A1, A3),不能取变换后的B2,B3为基.,否,初等行变换前后的行向量组是等价,第四章 线性空间和欧氏空间,4.1 向量空间 Rn及其子空间,生成子空间的基为向量组的极大无关组.,L(1,2,s) = k11+k22+kss| k1,k2,ksR,dim(L(1,s) = r (1,s ).,法1：按列向量组构成矩阵,阶梯阵,阶梯阵的主列对应的原矩阵的列是生成子空间的基；,法2：按行向量组构成矩阵,阶梯阵,阶梯阵的非零行是生成子空间的基.,建议方法：法1，和列向量组的极大无关组一致,2. 向量在基1, , r下的坐标,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,1, , r,能
13、由1, , r线性表示,线性无关,V的一组基,V, 唯一的一组有序实数k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 称r维向量,(k1, k2, , kr)T为 在基1,r下的坐标.,且表示方式唯一.,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,V, 唯一的一组有序实数k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 称r维向量,(k1, k2, , kr)T为 在基1,r下的坐标.,注3: 基不唯一,且是有序的,在不同基下的坐标不同,在基e1, e2, e3下的坐标为(1,2,3)T,在基e1, e3, e2下的坐标为(1,3,2)T,例4.,第四章 n维向量
14、,4.3 子空间的基和维数,V, 唯一的一组有序实数k1, k2, , kr 使得 = k11+k22+krr . 称r维向量,(k1, k2, , kr)T为 在基1,r下的坐标.,注3: 基不唯一,且是有序的,在不同基下的坐标不同,在基e1, e2, e3下的坐标为(3,3,3)T,在基3e1, 3e2, 3e3下的坐标为(1,1,1)T,(尺),(米),例5.,只是选用的度量单位不同而已,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,在基e1, e2, e3下的坐标为(3,3,3)T,在基3e1, 3e2, 3e3下的坐标为(1,1,1)T,(尺),(米),例5.,1, 2, 3,两组基I:e1, e2, e3与II:1, 2, 3之间的关系如何？,从基I到II的过渡矩阵,C,从1, , r到1, , r的 过渡矩阵,第四章 n维向量,4.3 子空间的基和维数,3. 过渡矩阵,1, 2, , rV 的一组基,1, 2, , rV 的另一组基,A = (1, 2, , r), B = (1, 2, , r),B = ACrr,r = 秩(B), C可逆, 秩(C), r,秩(C) = r, A = BC1,从1, , r到1, , r的过渡矩阵为C1,从1, , n到1, , n的 过渡矩阵,第四章 n维向量,
