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1、第六讲 二次根式,一、二次根式的相关概念 1.二次根式：形如 (_)的代数式. 2.二次根式的性质： (1) (a0)是_；(2) (a0)_；(3) _(a0).,a0,非负数,a,a,二、二次根式的运算 1.最简二次根式： 最简二次根式要同时具备下列两个条件： (1)被开方数中不含_.(2)被开方数中不含_的 因数或因式.,分母,能开得尽方,2.二次根式的乘除： (1) (a0，b0).(2) (a0，b0). 3.积、商平方根的性质： (1) (a0，b0).(2) (a0，b0).,4.二次根式的加减：先将二次根式化成_，再将 _相同的二次根式合并.,最简二次根式,被开方数,【思维诊断
2、】(打“”或“”) 1. 是二次根式.( ) 2. ( ) 3. .( ) 4. .( ) 5. 是最简二次根式.( ) 6. 与 可以合并，则a的值是3.( ) 7. .( ) 8. .( ),热点考向一 二次根式有意义的条件 【例1】(1)(2014巴中中考)要使式子 有意义，则m的 取值范围是( ) A.m-1 B.m-1 C.m-1且m1 D.m-1且m1 (2)(2013六盘水中考)无论x取任何实数，代数式 都有意义，则m的取值范围为_.,【思路点拨】(1)根据二次根式有意义的条件建立关于m的不等式组，求出不等式组的解集. (2)二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，可得不等式x2
3、-6x+m0，结合完全平方公式的非负性，字母取值范围可求.,【自主解答】(1)选D.根据题意得： 解得：m-1且 m1. (2)x2-6x+m=(x2-6x+9)+m-9=(x-3)2+m-9，且(x-3)20， 要使代数式 有意义，只需m-90，解得m9. 答案：m9,【规律方法】二次根式有无意义的条件 1.如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须是非负数. 2.如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零.,【真题专练】 1.(2013苏州中考)若式子 在实数范围内有意义，则 x的取值范围是 ( ) A.x1 B.
4、x3，bb. b-a0，2-b0. |b-a|- |2-b| =|b-a|- -|2-b| =|b-a|-|a-3|-|2-b| =-(b-a)-(a-3)-(2-b) =-b+a-a+32b=1. 答案：1,【知识拓展】 与 的区别与联系,热点考向三 二次根式的运算 【例3】(1)(2013泰安中考)化简： =_. (2)(2013济宁中考)计算：,【思路点拨】(1)先将 进行二次根式的乘法运算， 再把 化为最简二次根式，然后利用绝对值的意义化简最后合并被开方数相同的二次根式. (2)根据零指数幂、绝对值、整数指数幂、二次根式的混合运 算分别进行计算，再把所得的结果合并即可.,【自主解答】答
5、案：6 (2),【规律方法】二次根式运算中需注意的三个问题 1.二次根式乘法、除法法则也可逆用， 利用这两个等式可以化简二次根式. 2.运算结果应尽可能化简.在解决实际问题时，二次根式的结 果可按要求取近似值(将无理数转化为有理数). 3.在二次根式的运算或化简过程中，乘法公式、因式分解等相 关法则、方法均可使用.,【真题专练】 1.(2014济宁中考)如果ab0，a+b0，那么下面各式： ， ， ，其中正确的是 ( ) A. B. C. D.,【解析】选B.ab0，ab0， a，b同号，且a0，b0， 0，0. 等号右边被开方数小于零，无意义，不正确；正确.故选B.,2.(2014聊城中考)
6、下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 【解析】选D. 18； 与 不是同类二次根式， 不能合并； 与 不是同类二次根式，不能合并；.,3.(2013临沂中考)计算 的结果是( )A.- B. C. D.【解析】选B.,【知识拓展】同类二次根式 把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式. (1)同类二次根式类似于整式中的同类项. (2)几个同类二次根式在没有化简之前，被开方数完全可以互不相同. (3)判断两个二次根式是否是同类二次根式，首先要把它们化为最简二次根式，然后再看被开方数是否相同.,4.(2013衡阳中考) 的结果为( ) A.
7、 B. C.3 D.5 【解析】选C. .,5.(2014抚州中考)计算： =_. 【解析】 . 答案：,6.(2014福州中考)计算： =_. 【解析】 . 答案：1,7.(2013包头中考)计算： =_.【解析】 . 答案：,【方法技巧】二次根式的加减 (1)合并被开方数相同的二次根式，将二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变，这与整式加减中的合并同类项类似. (2)二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式需保留假分数形式.,8.(2014自贡中考)计算： 【解析】原式= .,热点考向四 二次根式的化简求值 【例4】(2013襄阳中考)(6分)先化简，再求值： 其中,【规范解答】,
8、【规律方法】二次根式的化简求值的常见题型及方法 1.常见题型：与分式的化简求值相结合. 2.解题方法： (1)化简分式：按照分式的运算法则，将所给的分式进行化简. (2)代入求值：将含有二次根式的值代入，求出结果. (3)检验结果：所得结果为最简二次根式或整式.,【真题专练】 1.(2013遂宁中考)先化简，再求值： ，其中a=1+ . 【解析】原式= .当a=1+ 时，原式 .,2.(2014遂宁中考)先化简，再求值： 其中 【解析】原式= 当 时，原式=,3.(2014益阳中考)先化简，再求值： ， 其中x= . 【解析】 =1+2x4+x22x+1=x22，当x= 时，原式=( )22=1.,【变式训练】(2013曲靖中考)化简：，并解答：(1)当 时，求原代数式的值. (2)原代数式的值能等于1吗？为什么？,【解析】原式= (1)当x=1 时， 原式= . (2)若原代数式的值能等于1，即 ， 解得x=0， 经检验，当x=0时原分式无意义，故原代数式的值不能等于1.,【典例】化简： 错解：,【误区警示】,【规避策略】 在将根号外的因式移到根号内时，一定要先判断该式的符号，否则容易忽视因式本身具有的条件限制，而导致符号错误.,
