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1、,B4.1 流体系统的随体导数,控制体(CV,实线),系统(t),虚线),控制面,B4 积分形式的基本方程,B4.1 流体系统的随体导数(4-1),系统广延量,控制体广延量,系统导数,B4.1 流体系统的随体导数(4-2),设为分布函数,对 2 、 3 , v n 0 (流出) , d = ( v n ) dAdt,B4.1 流体系统的随体导数(4-3),输运公式,控制体广延量随时间变化率,称为当地变化率,控制体形式的系统导数,通过控制面净流出的广延量流量,称为迁移变化率,当流场定常时, 0,当流场均匀时, 0,输运公式计算取决于控制体(面)的选择,B4.1 流体系统的随体导数(4-4),上式
2、表明：通过控制面净流出的质流量等于控制体内流体质量随时间的减少率。,输运公式可用于任何分布函数 ，如密度分布、动量分布、能量分布等。,令 ，由系统的质量不变可得连续性方程,对固定的CV，积分形式的连续性方程可化为,B4.2 积分形式的连续性方程(3-1),1.不可压缩流体,对流管(见图，设Q为流量大小）,称为一维不可压缩流动连续方程。,控制面上有多个出入口时,B4.2.1 固体的控制体(3-2),因=常数，由连续性方程,2.可压缩流体定常流动,称为一维可压缩定常流动连续性方程 。,控制面上有多个出入口时,对流管（设 为质流量大小）,B4.2.1 固体的控制体(3-3),例B4.2.1 主动脉弓
3、流动：多个一维出入口连续性方程 (2-1),已知: 所有管截面均为圆形,d1=2.5cm, d2=1.1cm, d3=0.7cm, d4=0.8cm, d5=2.0cm,平均流量分别为Q1=6 L/min, Q 3= 0.07Q1, Q4 = 0.04Q1, Q 5= 0.78Q1,求： Q2 及各管的平均速度,解： 取图中虚线所示控制体，有多个出入口。血液按不可压缩流体处理,可得,Q1 = Q 2 + Q 3 + Q 4 + Q 5,Q2 = Q 1(Q 3 + Q 4 + Q 5）= Q 1(0.07+0.04+0.78)Q = 0.11Q1= 0.66 L / min,各管的平均速度为,
4、例B4.2.1 主动脉弓流动：多个一维出入口连续性方程(2-2),例B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化(2-1),已知: 不可压缩粘性流体以速度U流入半径R的圆管,圆截面上的速度廓线不断发展至幂函数形式分布(湍流)并不再变化，后者称为充分发展流动。,求： 充分发展流动的速度廓线表达式,解： 设充分发展流动的速度廓线表达式为幂函数形式,式中um为管轴上的最大速度，在定常流动中为常数，通常取 n=1/7-1/10.由连续性方程:,(b)式左端=R 2U, (b)式右端=,(b),(a),例B4.2.2 圆管入口段流动：速度廓线变化 (2-2),由积分公式可得,取 n=1/7时,或,由(b)
5、式可得,U = 0.8167 u m,例B4.2.3 变水位孔口流动：可变形控制体连续性方程(3-1),求： 从孔口打开至水流尽所需时间T。,解： 可变形控制体CV如图中虚线所示,控制体上侧面随液面一起下降，其余各侧面与箱壁重合。,已知: 圆柱形贮水箱，直径为d =1 m;底部有一孔口，直径为d 1 =0.1 m. 设在孔口未打开前水深为h0 = 1m,打开后孔口出流速度为 ，h(t)为任一时刻的水深。,连续性方程式也适用于可变形控制体，只要将v 改为相对速度vr,（a）,例B4.2.3 变水位孔口流动：可变形控制体连续性方程(3-2),将(b)、(c )式代入(a)式可得,为常数，可消去，上
6、式整理后可得,控制体内质量的减少是由于从控制面底部孔口有水流出，设孔口无缩颈效应，面积为A1，速度V1,随液面下降，控制体的质量广延量随时间变化。设水箱截面积为A,在任一时刻水深为h ( t ),(b),(c),例B4.2.3 变水位孔口流动：可变形控制体连续性方程(3-3),本例中h1= 0, t1 = T,设水深从h 0降低为h 1所需时间为t 1,B4.2.2 运动的控制体,当控制体随物体一起运动时，连续性方程形式不变，只要将流体速度改成在控制体内的相对速度vr,当流体在运动的一维流管中作相对定常流动时,上式中，Vr 分别为出入口截面上的平均密度和平均相对速度。,B4.2.2 运动的控制
7、体,例B4.2.4 洒水器：运动控制体连续性方程(2-1),求： (1)管内水流相对速度Vr;,已知: 洒水器两臂长均为R=150 mm,喷水面积均为A40mm2 ,喷口偏转 角=30.水从中心转轴底部流入,Q =1200 ml/s.设喷管角速度 =500转/分,即,(2)管口水流绝对速度V.,例B4.2.4 洒水器：运动控制体连续性方程(2-2),喷口的牵连速度为,由喷口速度矢量合成,绝对速度,管内相对速度为,水为不可压缩流体,1=2=,且A1= A 2 = A,由两臂对称性Vr1= Vr2= Vr，上式可化为,B4.3 伯努利方程及其应用,伯努利方程的提出,伯努利方程的意义,条件1：无粘性
8、重力流体,沿流线取圆柱形体积元控制体ds dA,伯努利D.Bernolli 17001782瑞士,B4.3 伯努利方程及其应用(4-1),B4.3.1 沿流线的伯努利方程(4-2),控制体内流体元在流线方向运动方程,(沿流线),B4.3.1 沿流线的伯努利方程(4-3),常用形式,常数 (沿流线),条件2：不可压缩定常流动(单位质量流体),B4.3.1 沿流线的伯努利方程(4-4),沿流线,伯努利方程的限制条件,常数,无粘性流体,不可压缩流体,定常流,(沿流束),例B4.3.1 皮托测速管 (2-1),已知: 设皮托管正前方的流速保持为v,静压强为p,流体密度为,U 形管中 液体密度m .,求
9、： 用液位差h表示流速v,(a),AOB线是一条流线(常称为零流线), 沿流线AO段列伯努利方程,(b),端点O,v0 = 0,称为驻点(或滞止点),p0称为驻点压强.由于zA = z0, 可得,例B4.3.1 皮托测速管(2-2),称为动压强,p0称为总压强,AB的位置差可忽略,(c),因vB=v,由上式得 pB = p.在U形管内列压强关系式可得,代入(c)式，并乘上修正系数k,k称为皮托管系数。由(e)式可得,(d),(e),例B4.3.1A 小孔出流：托里拆利公式及缩颈效应(3-1),已知:图示一敞口贮水箱,小孔与液面的垂直距离为h(淹深).设水位保持不变.,求： (1)出流速度v,(
10、2)出流流量Q,从自由液面上任选一点1画一条流线到小孔2，并列伯努利方程,(a),例B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应(3-2),液面的速度可近似取为零v1= 0，液面和孔口外均为大气压强p1= p2= 0(表压)，由(a)式可得,(b),(2)设小孔面积为A,流动发生缩颈效应.设缩颈处的截面积为A e,缩颈系数,(c),将（b）式作为小孔出流平均速度，流量为,(d),例B4.3.1A 小孔出流：托里拆里公式及缩颈效应(3-3),收缩系数与孔口边缘状况有关：,实际孔口出流应乘上一修正系数 k 1,(e),上式中= k,称为流量修正系数，由实验测定。,内伸管= 0.5,流线型圆弧边
11、=1.0.,锐角边= 0.61,例B4.3.1B 三角堰流量计：孔口速度不均匀(2-1),求： 三角堰流量Q 的表达式,面元上的微元流量为,已知: 设三角堰孔口角为 ，定常流动时上游水面距角尖的淹深保持为h,由托里拆利公式，任一狭缝面元的平均速度为,b=2(h-z)tg /2.,考虑粘性影响和孔口流线收缩，实际流量为,上式中f ()略小于理论公式(a)中的系数，由实验测定。,例B4.3.1B 三角堰流量计：孔口速度不均匀(2-2),(a),移项可得,B4.3.2 沿总流的伯努利方程,沿流线法线方向的速度压强关系,条件：无粘性不可压重力流体定常流,控制体内流体在法线方向运动方程为(R为曲率半径)
12、,沿流线法线方向取圆柱形控制体元，,B4.3.2 沿总流的伯努利方程(3-1),结论: 缓变流中压强分布符合静力学规律,沿n方向积分可得,(a),当流线为直线时， ，由(b)式,常数,B4.3.2 沿总流的伯努利方程(3-2),附加条件：缓变流,参数均取平均值,设缓变流总流截面上平均速度为V,Q常数,由上式可得,为动能修正因子，方程常用形式为,将伯努利方程沿总流按质量流量积分,沿总流的伯努利方程,常数 (沿总流),B4.3.2 沿总流的伯努利方程(3-3),例B4.3.2 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-1),已知: 文丘利管如图所示,求： 管内流量Q,设流动符合不可压缩无粘性流体定常流
13、动条件。截面为A 1、A 2，平均速度为V 1、V 2，流体密度为.取 。,解：,由沿总流的伯努利方程,移项可得,(b),(a),例B4.3.2 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-2),由于A1、A2截面上为缓变流，截面上的压强分布规律与U形管内静止流体 一样。设U形管内液体的密度为m，液位差为h，由压强公式可得,将上两式代入(b)式，并利用等压面关系式 p3= p5，及 ，可得,(c),例B4.3.2 文丘利流量计：沿总流的伯努利方程(3-3),将(d)式代入(c)式 ,整理后可得大管的平均速度为,上式中,k称为流速系数，文丘利管的流量公式为,沿总流的水头形式,沿流线的水头形式,B4.3
14、.3 伯努利方程的水力学意义,速度水头,压强水头,B4.3.3 伯努利方程的水力学意义,例B4.3.3 重力式变截面管流动：水头线,沿总流的水头形式,常数,沿流线的不可压缩流体不定常流欧拉运动方程,B4.3.4 不定常流伯努利方程,沿流线从位置1积分到位置2,(沿流线),B4.3.4 不定常伯努利方程,例B4.3.4 U 形管内振荡流：不定常惯性力作功(2-1),已知: 图示一开口式U 形管,管内液柱长 l .初始时液面静止,液位差为2h. 忽略粘性力影响,求： 振荡方程,不定常惯性力所作的功为,(b),因z1= -z2 ,p1=p2=0,设 1= 2 = 1,例B4.3.4 U 形管内振荡流：不定常惯性力作功(2-2),因V2=dz2 /d t, 由(c)式,初始条件为t=0时,z2=h及初速度V2(0)= =0，(d)的解为,(c),(e),(d),
