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1、6.7 定积分几何应用,一、元素（微元）法 二、简单区域的面积 三、某些立体的体积 四、平面曲线的弧长 五、旋转体的侧面积,1.回顾,曲边梯形求面积的问题,一、元素（微元）法,面积表示为定积分的步骤如下,（3） 求和，得A的近似值,（4） 求极限，得A的精确值,提示,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,应用方向：,平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等,曲边梯形的面积,曲边梯形的面积,1.直角坐标系情形,二、简单区域的面积,X型区域的面积,解,两曲线的交点,面积元素,选 为积分变量,解,两曲线的交点,选 为积分变量,于是所求面积,说明：注意各积分区间上被积函数
2、的形式,问题：,积分变量只能选 吗？,如果图形为：,Y 型区域的面积,解,两曲线的交点,选 为积分变量,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,2,解,椭圆的参数方程,由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积,面积元素,曲边扇形的面积,3、极坐标系情形,解,由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积,解,利用对称性知,A(x),dV=A(x)dx,x,已知平行截面面积为 A(x)的立体,.,a,V,1. 平行截面面积为已知的立体的体积,b,三、某些立体的体积,已知平行截面面积为 A(y)的立体,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其
3、体积。,R,o,x,y,例7.,o,y,R,x,R,R,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,R,x,x,y,R,R,.,.,.,.,y tan,问题： 还有别的方法吗？,(x, y),截面积,A(x),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,.,A(x),o,y,R,x,R,R,方法2,.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,o,y,x,R,R,方法2,A,B,C,D,BC,DC,.,.,.,.,截面积,S(y),(x, y),= 2x,=
4、 ytan,.,S(y),.,半径为R的正圆柱体被通过其底的直径并与底面成角的 平面所截，得一圆柱楔。求其体积。,x,y tan,R,R,x,o,y,R,例8.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,R,x,o,x,A(x),A(x),V =,.,.,.,R,y,.,求以半径为R的圆为底，平行且等于底圆直径的线段为顶，高为h的正劈锥体的体积。,y,半圆面积,f(x),a,b,（1）曲边梯形： y=f(x)，x=a,x=b,y=0 绕 x轴旋转,2. 旋转体体积,f(x),a,b,x,.,.,111111111,.,（1）曲边梯形： y=f(x)，x=a,
5、x=b,y=0 绕 x 轴旋转所得旋转体体积,2. 旋转体体积,V =,x=g(y),c,d,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴旋转所得旋转体体积,（2）,x=g(y),c,d,.,x=g(y),c,d,y,.,.,.,.,曲边梯形：x=g(y)，x=0, y=c, y=d 绕 y轴所得旋转体体积,a,b,f (x),y,x,0,（3） 求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,x,dx,x,a,b,y,x,0,内表面积,.,（3） 求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,d
6、V=,2 x f (x)dx,f (x),dx,2 x f (x),b,y,x,0,a,.,（3） 求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),b,y,x,0,a,.,（3）求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),0,y,0,x,b,x,a,dx,.,（3） 求旋转体体积 柱壳法,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,dV=,2 x f (x)dx,f (x),f (x),Y,x,0,b,
7、dx,0,y,z,.,a,.,曲边梯形 y= f (x) ，x=a,x=b,y=0 绕 y 轴,（3） 求旋转体体积 柱壳法,dV=,2 x f (x)dx,解 二曲线的交点为,方法1,方法2（柱壳法）,再用柱壳法计算本题.,弧长元素,弧长,四 平面曲线的弧长,弧长,1曲线弧为,弧长,2曲线弧为,3曲线弧为,弧长,解,所求弧长为,解,解,星形线的参数方程为,根据对称性,第一象限部分的弧长,解,x=g(y),c,d,1. x= g (y)绕 y 轴旋转,五 旋转体的侧面积,x=g(y),c,d,x= g (y)绕 y 轴旋转,y,dA=2 g(y)ds,.,(ds是曲线的弧微分),.,.,故旋转体侧面积,ds,2. y= f (x)绕x 轴旋转,例1,例14:,解,由对称性,有,由对称性,有,由对称性,有,元素法,元素法的一般步骤：,这个方法通常叫做元素法,定积分应用的常用公式,(1) 平面图形的面积,直角坐标情形,X型区域的面积,1,如果图形为：,Y 型区域的面积,如果曲边梯形的曲边为参数方程,曲边梯形的面积,参数方程所表示的函数,2,极坐标情形,3,(2) 体积,平行截面面积为已知的立体的体积,(3) 平面曲线的弧长,弧长,A曲线弧为,弧长,B曲线弧为,C曲线弧为,弧长,(4) 旋转体的侧面积,
