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1、奥林匹克物理竞赛 电磁学若干问题第一讲,电场与电势的若干问题 电容的若干问题 能量的若干问题 导体受力若干问题,一、电场的若干问题,电场对任意封闭曲面的电通量只决定于被包围在封闭曲面内部的电荷，且等于包围在封闭曲面内电量代数和除以e0，与封闭曲面外的电荷无关。这一结论就是静电场的高斯定理。,1、高斯定理,高斯定理表明是静电场是有源场高斯定理给出了场和场源的一种联系，这种联系是场强对封闭曲面的通量与场源间的联系，并非场强本身与源的联系。电荷是静电场的源.高斯面上的电荷问题 高斯面把电荷区分为内外两种，是否存在一种点电荷正好在高斯面上？这是不存在的，因为只有点电荷的线度要远小于q与高斯面间的距离，
2、才能视为点电荷。,高斯定理讨论,高斯定理中的E问题高斯定理中的E是全部电荷所产生的E，而不管这电荷是在曲面内部或在曲面外部。同一高斯面的E可能相同，也可能不同，因为高斯面是任意选取的。高斯定理表明的只是电通量和电荷的关系如果在高斯面内部或外部电荷分布发生改变，则空间电场分布将发生变化，高斯面上的电场也会发生变化，但只要内部总电荷数不变，高斯定理指出，电场对该封闭曲面的电通量并无变化。,第1题求均匀带电球面产生的电场。已知球面的半径为R，电量为Q。,解根据球对称性可以判定，不论在球内还是在球外，场强的方向必定沿球的半径，与球心等距离的各点的场强大小应相等。作如图所示的高斯面，当rR时，作S2的高
3、斯面，有：,第2题求均匀带电球体中所挖出的球形空腔中的电场强度。球体电荷密度为r，球体球心到空腔中心的距离为a。,2.电场叠加法,解将空腔看作是同时填满+r和-r的电荷，腔内任一点的电场强度就由一个实心大球电荷密度为+r和一个实心小球电荷密度为-r的叠加而成，如图所示：,同理可得：,所以，,a为矢量，方向由O指向O。可见空腔内电场强度是均匀的。,带异种电荷具有同样电荷密度的两个球有一部分重叠，则重叠部分的电场强度为：,表明该部分的电场是均匀场，方向从正电子中心指向负电荷中心。,无限长圆柱体，电荷均匀分布，在内挖出一个空腔，空腔轴线与圆柱体轴线平行，相距为a，则空腔内的电场强度为：,均匀场，方向
4、从O指向O。,注：带电圆柱体内外的电场强度为：,第3题在电场强度为E的均匀电场中放着一个均匀金属球,其半径为R,求球表面感应电荷的分布.,解设整个球都均匀充电(电荷为Q)的球内的电场强度为EM:,考察两个半径为R, 相互错开了距离l, 均匀带电+Q和-Q, 公共区域的电荷为零. 两个带电球在公共区域P点的电场强度为:,公共部分为均匀电场.,球, 球内电场为零,设球壳的厚度为h,在面元DS上的电量为:,公共部分总的电场应为零.即:,3. 电势叠加法,对点电荷系，有电场的叠加原理，有：,此式表明，点电荷组的电势等于各个电荷单独存在时电势的代数和(标量和）。,第4题一个立方体有5个面接地,而第6个面
5、与其余5个面绝缘,电势为U,则立方体中心的电势是多少?,解由电势的叠加原理, 中心点的电势由6个面电势叠加而成:,因为6个面几何形状对称, 所以系数ki相同,若6面等电势,均为U, 则中心点也为U, 所以k=1/6,所以, 当:,第5题 如图 , 两个同心的半球面相对放置, 半径分别为 R1 与 R2，R1R2, 都均匀带电，电荷面密度分别为s1 与s2 ，试求大的半球底面圆直径 AOB上的电势分布 。,解由于均匀带电球面内电场强度处处为零, 球面外任一点的电场强度等于全部电荷集中在球心时在该点的电场强度, 故球面内电势恒定, 球面外电势与到球心的距离成反比, 电势连续分布, 容易求出。,显然
6、 , 均匀带电球面在球内、外任一点的电势, 是两个半球面贡献之和, 因电势是标量, 半球面在任一点的电势应为球面在该点的电势之半。,半径为 R1, 电荷面密度为s1 的完整均匀带电大球面在球内 ( 包括直径 AOB) 的电势恒定 , 表示为 U1, 则：,半个大球面在AOB上的电势应为上式的一半。,半径为R2, 电荷面密度为s2的完整均匀带电小球面在球内的电势恒定, 在球外的电势与该处到球心的距离成反比。把完整小球面在 AOB 上各点的电势表示为 U2, 则：,式中：,同样，半个小球面在AOB上产生的电势是上式的一半；所以总电势为二者之和：,3.带电粒子在电场中运动,【第6题】处于自然长度的均
7、匀橡皮筋在伸长时服从胡克定律。橡皮筋均匀带电，其总电荷Q0，橡皮筋处于两个点电荷+q和-q的电场中。其一端用力F1拉在两电荷中点，要把另一端拉在+q右边距离L处，应该施加多大的力？,【解】处于两个点电荷场中的橡皮筋各处的电场力不相等，因此，各部分伸长量也不相等。把橡皮筋分成n等份，每份的劲度系数为nk0,电荷量为Q/n.该单元长度为Dl，两端电场力增量为DFi,电势增量为DUi,根据胡克定律：,两边求和取极限，有：,【第7题】两个相同的 半径为R的球这样放置：球心相距为aR，两球均匀地带有等量异号电荷Q，质量为m，电量为qa+b), 现分别充以电压U1和U2, 然后用细金属线把它们连接起来.求
8、此时的电容.,提示设两球的电势为U1和U2, 电量为q1和q2, 然后用导线连通, 各量为 U1, U2, q1, q2,联立解出q1,q2, U,孤立导体的电容,【第13题】三个电容器分别有不同的电容值C1、C2、C3 现把这三个电容器组成图示的(a)、(b)、(c)、(d)四种混联电路，试论证：是否可以通过适当选择C1、C2、C3的数值，使其中某两种混联电路A、B间的等效电容相等,【解】4个混联电路A、B间的等效电容Ca、Cb、Cc、Cd分别为：,由（1）、（3）式可知：,由（2）、（4）式可知,由（1）、（2）式可知,由（3）、（4）式可知,若Ca=Cd由（1）、（4）式可得,因为,、,
9、和,由于C1,C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此,同理，若Cb=Cc,则有：,由于C1,C2和C3均大于0，上式不可能成立，因此,综合以上分析，可知这四个混联电路的等效电容没有一对是相等的,【第14题】电容分别为C1,C2,C3, , Ck的k个电容器都充电到电压为U，然后使所有电容器的异性极板串联连接起来组成闭合电路，求在这个电路里每个电容器上的电压。,【解】串联后的总电压为kU，设串联后总电容为C0：,串联后的等效电容C0的极板即C1左极板和Ck右极板再短路（电压差为零）。在闭合电路中流过q的电荷量，根据电容的定义，有：,相邻两个极板间流过的电量亦为q，则每个电容器上的电压变化为q/
10、Ci, 因此稳定后各电容器的电压为：,第15题一个球形电容器由三个很薄的同心导体壳组成，它们的半径分别为a,b,d。一根绝缘细导线通过中间壳层的一个小孔把内外球壳连接起来。忽略小孔的边缘效应。求： （1）此系统的电容； （2）若在中间球壳上放置任意电量Q，确定中间球壳内外表面上的电荷分布。,解这相当于内外2个电容器并联.,设内外两球壳代的电量分别为Q1和Q2, 那么a,b球的的电势差为:,d,b球的的电势差为:,两电容器并联, 所以:,内外两球形电容器的电容值为:,(2)内外两球形电容器的电容值为:,【第16题】两个导体相距很远，其中一个导体电荷为Q1，电势为U1，另一个导体电荷为Q2，电势为
11、U2, 电容为C的电容器原来不带电，现用极细的导线将它与两导体相连，求电容充电后的电压。,【解】设电容器充电到电压U，则极板所带的电量为CU，那么两个导体所带的电量均改变CU，两个导体最终的电量分别为：（Q1-CU),(Q2+CU).,孤立带电体的电量与导体的 电势之比为常数，只与导体的几何形状，大小等有关，因此最终两导体的电势：,【第17题】一同轴圆柱型电容器，外导体筒的 内半径为2cm，内导体筒的 外半径可自由选择，两筒之间充满各向通性的电介质，电介质的击穿场强为2.0107V/m。试求该电容器所能承受的 最大电压。,【解】设内筒的内外半径分别为x、b, 内外筒所带的电量分别是l,-l，由
12、高斯定理可求得内外筒之间的电场强度为：,内外筒的电势差为：,最大场强在x处，介质首先要从场强最大处击穿，故有：,代入电势差式子，有：,求极值，有：,【第18题】平行板电容器间距为d,极板面积为S,连接在电动势为e的电源上。带电电量为Q的平行板（大小相等）完全插入到电容器中，与其中一个极板的距离为b,求作用在该极板上的力。,【解】设各板的电量如图，则,A,B极板电荷在两电容器间引起的电场强度分别为E1/2, E2/2,所以，作用在插入板上的合力为：,方向指向带负电极板。,【第19题】电容为C0的平行板电容器接入到如图的电路中，介质的相对介电常数为e的板向电容器内部运动， 通过电动势为e1的电源的电流强度为恒定且其值为I，求： （1）通过电阻R1上的电流； （2）电介质运动的速度。,【解】根据基尔霍夫定律，有：,电容器的电容随介质进入而增大，A,B极板电量亦等比例增大，设Dt时间内电容改变DC,则：,【第20题】半径为R的金属球，外面包有一层相对介电常数为er=2的均匀电解质材料，内外半径分别为R1=R, R2=2R,介质球壳内均匀分布着电量为q0的自由电荷，金属球接地，求介质外表面的电势。,【解】金属球接地，U=0，设其上所带的电量为q，介质球壳内的电场强度为：,介质球壳外的电场强度为：,由于球壳接地，因此介质外表面到内表面的 电势差和到无限远处的电势差相等，有：,
