《概率论与数理统计》

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1、概率论与数理统计,开课学院：信息学院 数学系,参考书：1.概率论与数理统计教与学参考 阎国辉 主编 中国致公出版社 2.概率论与数理统计中的典型例题分析与习题 龙永红 主编 高等教育出版社,概率论是研究什么的？,概率论与数理统计的研究对象 随机现象：不确定性与统计规律性,概率论研究和揭示随机现象的统计规律性的科学,序 言,第 一 章 随机事件及其概率,第一节 随 机 事 件,第三节 条件概率,第四节 事件的独立性和伯努利概型,第二节 随机事件的概率,第五节 习题课,一、概率论研究对象: 随机现象,3.随机试验的特点 1.可在相同条件下重复进行； 2.试验可能结果不止一个,但能确定所有的可能结果

2、; 3.一次试验之前无法确定具体是哪种结果出现。随机试验可表示为E,第一节 随机事件,1.确定性现象(或必然现象)在一定的条件下,必然会出现某种确定的结果.包括肯定出现和肯定不会出现的结果.如在标准大气压下,水烧到100肯定会开;再如石头不会变成小鸡(肯定不会发生,也具有确定性),2.随机现象(或不确定性现象)在一定的条件下,可能会出现各种不同的结果. 如抛一枚硬币,观察出现的结果,可能出现正面也可能出现反面朝上.掷一颗均匀的骰子,观察出现的点数,可能会有六种结果.,E1: 抛一枚硬币，分别用“H” 和“T” 表示出正面和反面; E2: 从一批产品中任意取10件样品,观测其中的次品数； E3:

3、将一枚硬币连抛三次，考虑正面出现的次数; E4:掷两颗骰子，考虑可能出现的点数之和； E5: 记录某网站一分钟内受到的点击次数； E6:在一批灯泡中任取一只，测其寿命; E7:任选一人，记录他的身高和体重.,随机试验例子,随机现象从表面上看,由于人们事先不能知道会出现哪一种结果,似乎是不可捉摸的,其实不然.如抛一枚均匀的硬币我们知道出现哪一面的机会都是一样的(1/2);而掷一颗均匀的骰子,则出现每一种点数的机会均等(1/6).这些结果都是进行大量的重复试验(观察)得来的结果.,1. 样本空间：试验的所有可能结果所组成的集合称为样本空间，记为2. 样本点: 试验的每一个结果或样本空间的元素称为一

4、个样本点,记为3.由一个样本点组成的单点集称为一个基本事件,也记为,二、概率论的研究范畴:样本空间(P4),随机试验的样本点与样本空间是由试验的目的决定的.例如连续抛一枚硬币两次,如果观察正面或反面朝上的情况,并用数字1表示正面朝上,数字0表示反面朝上,三. 随机事件,1.定义 随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件, 简称事件.记作A、B、C等 显然，随机事件在试验中可能发生也有可能不发生. 称事件A发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素2.两个特殊事件: 必然事件 、不可能事件 例如 对于试验E2 ，以下A 、 B、C即为三个随机事件A“至少出一个正面” HHH, HHT, HTH, T

5、HH，HTT，THT，TTH； B=“三次出现同一面”=HHH,TTT C=“恰好出现一次正面”=HTT，THT，TTH 再如，试验E6中D“灯泡寿命超过1000小时”x:1000xT(小时）.,四、事件之间的关系,可见，可以用文字表示事件，也可以将事件表示为样本空间 的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率.还 应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，如试验E2 ，当试验的结果是HHH时，可以说事件A和B同时发生 了；但事件B和C在任何情况下均不可能同时发生.易见，事 件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系 可以用集合之间的关系来描述.,1.包含关系 “A

6、发生必导致B发生”记为AB 2.事件的相等 AB AB且BA.,3.和事件,n个事件A1, A2, An至少 有一个发生，记作,4.积事件 A与B同时发生，记作 ABAB,n个事件A1, A2, An同时 发生，记作 A1A2An,“事件A与B至少有一个发生”,记作AB,5.差事件 AB称为A与B的差事件,表示事件A发生而B不发生(或在A而不在B内),思考：何时A-B=?何时A-B=A？,6.互斥的事件AB (互不相容事件),五、事件的运算,1、交换律：ABBA，ABBA 2、结合律：(AB)CA(BC)， (AB)CA(BC) 3、分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC

7、) 4、对偶(De Morgan)律：,7.对立事件,例1 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的运算关系表示下列事件：,例2 设A、B、C为三事件,则”A,B,C中至少有一个不发生”这一事件可表示为( ),答案,D,例3 一个电路如下图所示,Ai表示第i个开关闭合,则电路a至b导通这一事件可表示为( ),例4 设三个元件寿命分别为T1,T2,T3 ,并联成一个系统,于是只要有一个元件能正常工作,系统便能正常工作,则事件”系统的寿命超过t”可表示为 ( ),答案,答案,C,D,【返回】,答案,C,答案,B,对于随机事件而言，在一次试验中可能

8、发生也有可能不发生，所以我们希望知道在一次试验中这个事件发生可能性大小。从直观上来看,事件A的概率是指事件A发生的可能性的大小,抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？ 掷一颗骰子，出现6点的概率为多少？ 出现单数点的概率为多少？ 向目标射击，命中目标的概率有多大？,第二节 随机事件的概率,一.频率,定义: 事件A在n次重复试验中出现nA次，则比值nA/n称为事件A在n次重复试验中出现的频率，记为fn(A). 即 fn(A) nA/n.,历史上曾有人做过试验,试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的机会均等。实验者 n nH fn(H) De Morgan 2048 1061 0.5181Buffon

9、 4040 2048 0.5069 K. Pearson 12000 6019 0.5016 K. Pearson 24000 12012 0.5005,实践证明：当试验次数n增大时， fn(A) 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)，作为事件A的概率,2. 频率的性质,若 是两两不相容事件,则,有限可加性,设 A 是随机试验 E 的任一事件, 则,二、概率,1.定义 若对随机试验E所对应的样本空间中的每一事件A,均赋予一实数P(A)，集合函数P(A)满足条件： P(A) 0； (2) P()1； (3) 可列可加性：设A1，A2，, 是一列两两互不相容的事 件，即AiAj，(ij),

10、 i , j1, 2, , 有P( A1 A2 ) P(A1) P(A2)+. 则称P(A)为事件A的概率。,这个定义称为概率的公理化定义。这三个条件也就是著名的概率论三大公理。,2.概率的性质 (1)对于不可能事件,(4)事件差 A、B是两个事件,则P(A-B)=P(A)-P(AB),(2)有限可加性：设A1，A2，An , 是n个两两互不相容的事件，即AiAj ，(ij), i , j1, 2, , n ,则有P( A1 A2 An) P(A1) P(A2)+ P(An);,（3）,(5) 加法公式：对任意两事件A、B，有P(AB)P(A)P(B)P(AB) 特别地,当AB= 时,有P(A

11、B)=0,此时 可记P(AB)P(A+B)=P(A)P(B) 该公式可推广到任意n个事件A1，A2，An的情形；如P(AB C)P(A)P(B)+P(C) P(AB) P(AC)P(BC)+P(ABC) (6) 可分性：对任意两事件A、B，有,例4 某城市中发行2种报纸A,B.经调查在这2种报纸的订户中,订阅A报的有45%,订阅B报的有35%,同时订阅这2种报纸的有10%,求(1)只订阅A报的概率;(2)只订阅1种报纸的概率.,例5 某市有甲,乙,丙三种报纸,订每种报纸的人数分别占全 体市民人数的30%,其中有10%的人同时订甲,乙两种报纸. 没有人同时订甲丙或乙丙报纸.求从该市任选一人,他至

12、少 订有一种报纸的概率.,解:设A,B,C分别表示选到的人订了甲,乙,丙报,习作题,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【解答】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,【返回】,三、古典概型,若某随机试验E满足 (1) 有限性：样本空间 (2)等可能性： 则称E为古典概型,也叫等可能概型。,1. 古典概型的定义,设事件A中所含样本点的个数为M,以N 记样本空间中样本点总数，则有,P(A)具有如下性质,(1) 0 P(A) 1； (2) P()1； P( )=0 (3) AB，则P( A B ) P(A) P(B),2.古典概型的概率计算,例子:有三个子女的家

13、庭,设每个孩子是男孩是女孩 的概率相等,则至少有一个男孩的概率是多少?,样本空间 =HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT,事件A=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,【返回 】,解:设A-至少有一个男孩,以H表示某个孩子是男孩,(1)乘法公式：设完成一件事需分两步,第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法,复习：排列与组合的基本概念,1.全部排列与组合公式的推出基于两条原理,(2)加法公式：设完成一件事可有两种途径,第一种途径有n1种方法,第二种途径有n2种方法,则完成这件事共有n1+n2种方法。,(1)有重复排列:从

14、含有n个元素的集合中随机 抽取k次,每次取一个,记录其结果 后放回,将记录结果排成一列,共有nk种排列方式(分k步完成,乘法原理).,1排列：从含有n个元素的集合中随机抽取k次,(2)无重复排列(选排列)：从含有n个元素的集合中随机抽取k 次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列，,共有Pnk=n(n-1)(n-k+1)种排列方式. 分k步完成,乘法原理,(3)全排列：从含有n个元素的集合中随机抽取n次,每次取一个,取后不放回,将所取元素排成一列.,共有Pnn=n(n-1)(n-2)321=n种排列方式. 分n步完成,乘法原理,3.组合,种取法.,(1)从含有n个元素的集合中随机抽取k个

15、,而不考虑其顺序共有,【返回】,3.古典概型的几类基本问题,(1). 随机取数问题,(2). 摸球问题(产品的随机抽样问题),(3). 质点入盒问题,(4). 分组问题,古典概型的几类基本问题,解这一类问题的关键在于求出样本空间的样本点总数和所讨论事件包括的样本点数,方法有两种:一种是直观观察,另一种方法通过排列和组合求解,通常用排列组合的方法.,例子 连续掷一个均匀骰子两次,求出(1)样本空间包 括的样本点总数;(2)事件A=第一次出现奇数点而第 二次出现偶数点这一事件所包括的样本点数. 思考题:连续掷一个均匀骰子三次,求出(3)样本空间包括的样本点总数;(4)事件A=第一和第三次出现奇数点而第二次出现偶数点这一事件所包括的样本点数.,