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1、第五章 非线性方程的求根 11在工程应用和科学计算中，常常会遇到非线性方程 。 的求根问题， 可以是多项式也可以是超越函数 , ,如如的根也称为为函数 的零点。， 若 可表示为,且 则称 为 的m重根。当重根。当 mm=1=1时称为单根时称为单根 , ,当当mm11时时 称为方程的称为方程的 m m 重根，此时当重根，此时当 g g( (x x) ) 充分光滑时，有充分光滑时，有 2定理5.1（零点定理）若 在 上连续，且 ，则至少存在一点使1 二分法基本思想：利用零点定理确定根的存在区间间，逐步将含根的区间 对分。通过判别函数值的符号，将根的存在区间缩小到充分小， 从而求出满足精度要求的根的
2、近似值。计计算步骤为骤为 ，计计算函数值值 ，1若 ，预先给定的误差精度，则 为所求根的近似值。2若 。则 3，取当当，取继续此过程就得到一个包含根的区间套，满足 当 n 充分大时就有误误差估计计式为为4算法（二分法）输入 ，区间 ，精度 ，最大的迭代次数N1对 做到第5步234若 或 ，则输出 停机5若 则6输出超过最大迭代次数 N 的信息，停机。5注1 二分法的优点是方法和计算都简单，且对函数 的性质 要求不高，只须连续即可。其缺点是不能求偶数的重根。在实用中 常用二分法来判别根的存在区间，或求出根的初始近似值，以便使 用其它的快速迭代法求根。 例5.1判别方程 的实根分布的近似区间，要求
3、区间长度不大于1，并求出最小正根的近似值，精度 。解 如下表可知，根的存在区间为x -2 -1 0 1 2f(x) -1 3 1 -1 36注2 应用中常常是取适当的步长h，对区间a,b从左到右逐步 扫描，检查小区间的两端函数值符号，从而判断根的存在区间， 再用收敛速度快的迭代法，迭代计算求根。步长h选择应适当， 过大可能漏掉根，过小将会增加计算的工作量。 kakbkxkf(xk) 1010.5-3.75 200.50.250.265625 30.250.50.375-0.07227 40.250.750.31250.0930250.31250.3750.343750.00936960.343
4、750.3750.359375-0.03171270.343750.3593750.35156250.011236前7次的计算结果为2 迭代法7设方程 可以转化为等价的形式从某个初值 出发令得到序列 。当 连续，且序列 收敛时，有即 即序列 的极限 是方程 的根。(5.1)称(5.1)为迭代格式，函数 为迭代函数。构造迭代 格式的方法称为迭代法。8例5.2 构造不同的迭代格式，求方程 在(1,2)内的近似根。解 设 ， 上连续，且由零点定理，方程(1,2)内至少存在一根。迭代格式分别为9取初值 ，迭代计算的结果分别为（1）迭代4次后（2）迭代3次后（3）迭代25次后（4）迭代9次后（5）迭代3
5、次后若采用二分法则有 ，迭代格式构造的不同，可能会出现发散或无意义的情形，即使 是收敛的，收敛的速度也有快慢之分。 10单点迭代法 计算第k+1个近似值 时仅用到第k个点处 的信息,如（5.1) 多点迭代法 计算 时需要用到前面P个点处的信息多点迭代法需要P个起始的初始值,一般形式为一、迭代法的收敛性迭代法一般只具有局部的收敛性，即当初始值充分接近于根 时，迭代法产生的序列 才收敛于根 。 迭代法的收敛性与初值无关的情况是很少见的。但是如何确 定迭代法的初值使其充分接近于根 是相当困难的工作，它 依赖于函数 和迭代函数 的性质。为了使初始近似值 充分接近于根 ，常用二分法将根的存在区间尽量缩小
6、， 然后再用收敛速度较快的迭代法迭代计算。11则称 在a,b上满足Lipschitz条件，L称为Lipschitz常数。 定义5.1 若存在常数 L0 ，使 有 当 时，有 ,注 若 连续 满足Lipschitz条件 连续定理5.2 对迭代方程 ，若迭代函数 满足 对 ，迭代格式 均收敛，且上满足Lipschitz条件且Lipschitz常数L1，则有 在 a,b 在 (a,b) 内存在唯一的根12由常用 ，作为迭代终止的判别条件， 由迭代收敛速度与L的值有关，当L1时收敛较快，当L接 近于1时收敛较慢。并可由的右端来近似估计迭代次数。二、收敛速度收敛速度是用来衡量迭代方法好坏的重要标志，常用
7、收敛的阶来刻划。13定义5.2 记迭代格式的第 k 次迭代误差为并假设迭代格式是收敛的，若存在实数 使得 则称迭代格式是 p 阶收敛的，C 称为渐近误差常数。当 p =1时，称迭代格式为线性收敛；当 p=2 时，称迭代格 式为二阶收敛；当 1p2 时，称迭代格式为超线性收敛。 定理5.3 对迭代格式 ，若 在根 的 邻域内连续并且则该迭代格式在根 的邻域内是 p 阶收敛的。14例5.3 考查例5.2中迭代格式和的收敛性。解 对迭代格式，其迭代函数为有取 迭代格式的迭代函数在1,1.5上满足定理5.2的条件，故迭代格式收敛。15对迭代格式，其迭代函数 取有故迭代格式在1，2内收敛，且由于 ，故迭
8、代格式比迭代格式收敛的速度快。163 常用的迭代方法一、 Newton方法Newton法的基本思想是对函数 进行线性化处理， 从而构造迭代格式。对方程将函数 在近似值 处进行一阶的Taylor展开, （假设 二阶可导）有略去高阶无穷小项有17故有迭代格式 我们有 当 时，Newton法是二阶收敛的。Newton法的几何作为 。Newton法仍然是只具有局部的收敛性。意义是，用点 处的切线与 x 轴交点处的横坐标在例5.2 中迭代格式就是Newton迭代格式。1819算法（Newton迭代法）输入初值 ，精度 ，最大迭代次数N 1对 ，做到第6步2计算3若 ，停止计算45若 ，则输出 停机 7输
9、出超过最大迭代次数的信息，停机620二、简化Newton方法在应用Newton迭代格式时， 很难计算的，甚至 在某些近似值 处， 的值很小，使迭代过程无法 进行下去。可采用简化Newton法其中C为一常数，常取 ，有迭代格式其几何意义为用过点 且平行于 处切线的直线与 x 轴交点的横坐标作为 。简化Newton只具有超线性收敛性。2122三、Newton下山法在Newton法中，若函数 表达式比较复杂，初值 选 取比较困难时，为扩大初值的选取范围，可采用迭代格式称该迭代格式为Newton下山法， 称为下山因子，下山 因子的选取常用逐步搜索法，即先取 判断下山条件是否成立，若不成立则将 缩小 倍
10、，直到下山条其中参数 选取为 且满足下山条件成立为止23例5.4 分别取初值 ，用Newton法求解方程解 令 ， 在计算结果如下表所示迭代格式为k 01.50.6 11.347826117.9 21.3252004 31.324718224由表中的结果可知，取初值为0.6时的迭代序列不收敛，现对 初值 使用Newton下山法，从 开始逐次搜索当 时，有 继续使用Newton下山法有 四、割线法在Newton迭代公式中，用差商25近似代替微商 有迭代格式该迭代格式称为割线法，其几何意义如图所示，用连接点的割线与 x 轴交点的横坐标作为 xk+1， 割线法也称为弦截法，它是多步方法，具有超线性收
11、敛性。在应用中，当序列接近收敛时，由于都是相近的数，它们作减法运算时将会损失有效数字，使计算产生很大的误差，所以实用中常令2627此时割线法的迭代格式可改写为随着迭代过程的进行, 的值将不断地减少，当 的值在增加时，停止计算。也即割线法的精度是固定的，一般不能达到预先设定的精度。但割线法不需计算导数，所以割线法也是一种应用相当广泛的非线性方程的求根方法。284 非线性方程组的求根设有非线性方程组令 方程组可写成向量形式 例如对方程组29其解的几何意义是xoy平面上直线 与椭圆 的交点。一、解非线性方程组的一般迭代法将方程组转化为等价的方程组写成向量形式为30其中 ,构造迭代格式向量形式为 选取
12、初始迭代向量，按迭代格式计算，产生向量序列 若向量序列 收敛，且迭代函数连续。则向量序列 收敛于方程组的解。31称矩阵 为迭代函数 g(x) 的Jacobi矩阵。定理5.5 设 为 的解 在 附近具有连续的偏导数则对任意初始向量 ，由 产生的序列 收敛于根 。32二、解非线性方程组的GaussSeidel迭代法 在简单迭代格式中，用已经计算出的最新分量就得到GaussSeidel迭代法。第 i 个分量的计算公式为代替 例5.5 分别用一般迭代法和GaussSeidel迭代法，解方程组33解 简单迭代法的迭代格式为 取初值 ，计算结果如表5.4所GaussSeidel迭代的迭代格式为 计算结果如表 5.5所示3400.10.1 -0.1 10.499983330.00944115-0.523101270.423 20.499995930.00002557-0.523363319.410-3 30.500000000.00001234-0.523598142.310-4 40.500000000.00000003-0.523598471.210-5 50.500000000.00000002-0.523598773.110-7表5.43500.10.1 -0.1 10.499983330.0222979-0.523046130.423 20.499
