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1、第五章 插值法5.0 插值问题 5.1 拉格朗日插值 5.2 分段低次插值 5.3 牛顿插值 5.4 等距节点插值 5.5 埃尔米特插值 5.6 三次样条插值v1 函数表达式过于复杂不便于计算, 而又需 要计算许多点处的函数值v2 仅有几个采样点处的函数值, 而又需要知 道非采样点处的函数值 vv上述问题的一种解决思路：建立复杂函数或 者未知函数的一个便于计算的近似表达式.v解决方法插值法 5.0 插值问题一、问题提出二、插值问题定义求插值函数(x)的问题称为插值问题。三、几何意义、内插法、外插法内插外插四、多项式插值问 题 F对于不同的函数族的选择，得到不同的插值问题 当为一些三角函数的多项
2、式集合时:三角插值; 当为一些有理分式集合时：有理插值； 当为一些多项式集合时：多项式插值（代数插 值） 代入插值条件即五、插值多项式的存在唯一性 定理1(存在唯一性) 满足插值条件(1)的不超 过n次的插值多项式是存在唯一的。定理证明：多项式插值问题满足的线性方程组是关于多项 式的系数a0，a1，a2，an的n1阶线性方程组， 其系数矩阵的行列式Vn(x0,x1,xn)称为范德蒙 (Vandermonde)行列式。利用行列式的性质可以求得由于假设ij时，xixj，故所有因子xi-xj0， 于是Vn(x0,x1,xn)0。由克莱姆(Grammer)法则 ，方程组的解存在且唯一，从而插值多项式是
3、存在 唯一的。证毕六、插值余 项 F引理 已知函数f(x)在a,b上具有m-1阶连续导函 数，且在（a,b）上存在m阶导数。 若它在该区间 上有m+1个零点，则它的m阶导函数在(a,b)内至少 存在一个零点。F分析：七、插值方法由于插值多项式的存在唯一性，无论是用何种 方法构造出的插值多项式，它们均恒等，进而截断 误差也都相同。本章我们要讨论的插值方法有：Lagrange插值法Newton插值法等距节点插值公式带导数的插值问题5.1 拉格朗日插值其中每一个lk(x)都是n次多项式，例如 n=0,n=1,n=2时一、插值基函数1.定义：若n次多项式lk(x)(k=0,1,n)在n+1个 插值节点
4、x0 x1 xn上满足插值条件：则称这n1个n次多项式l0(x),l1(x),ln(x)为 插值节点x0,x1,xn上的n次插值基函数。Remark：容易验证，n次插值基函数的线性组合在插 值节点x0,x1,xn上满足插值条件，从而可以利用插 值基函数来构造插值多项式。2.插值基函数的构造由于ik时，lk(xi)=0，故x0,x1,xk-1,xk+1,xn为lk(x)的零点，从而可以设由lk(xk)1可得故若记 ，则有 ，从 而3.插值基函数的性质性质1：性质2：插值基函数lk(x)(k=0,1,n)为由插值 节点x0,x1,xn唯一确定的n次函数。性质3：基函数组所含的基函数个数与插值节点
5、个数相同。二、Lagrange型插值公式上式是不超过n次的多项式，且满足所有的插值 条件，因而就是我们所需构造的插值多项式，称之 为Lagrange插值多项式。当n1时，有当n2时，有L1(x)和L2(x)分别称为线性插值多项式和二次插值多项式，其几何意义分别表示通过点 (x0,y0),(x1,y1)的一条直线和通过点 (x0,y0),(x1,y1)， (x2,y2)的一条抛物线。类似地可以写出当n为其它值时地插值多项 式，如n3时，有三、Lagrange插值多项式的余项设f(x)为定义在a,b上的被插值函数，Ln(x)为f(x)的n次Lagrange插值多项式，其插值余项为： Rn(x)=f
6、(x)-Ln(x)定理：如果f (n)(x)在区间a,b上连续，f (n1)(x) 在(a,b)内存在，Ln(x)为在节点ax0x1xnb上满 足插值条件的n次Lagrange插值多项式，则对任一 x(a,b),其插值余项为：其中(a,b)且依赖于x。上式给出的余项通 常称为Lagrange型余项。定理证明证毕Remark一般情况下，余项表达式中的(a,b)的具体数值 无法知道。但是，如果能够求出，则可以得出插值多项式的截断误差限为：由此可以看出，误差大小除了与Mn+1有关外，还 与插值节点有密切关系。当给定m个点处的函数 值，但仅选用其中n1（n1m）个作为插值 条件而求某个点 处函数值时，
7、 n1个节点的 选取应尽可能接近 ，以使使得所计算的函数 值的误差限尽可能小。例 题#四、反插值 法分析问题 求解#FLagrange 插值公式的特点：形式对称 通常用于理论分析 当增加插值节点时，在计算实践中不方便5.2 牛顿插值问题：想要构造一个更加方便灵活的插值格式， 当增加插值节点时，只需在原有格式的基础上再 增加一些即可。解决方法：Newton插值一、差商的定义及性质一般地，K阶差商为：定义：给定函数f(x)在互异节点x0x1xn处的 函数值f(x0), f(x1), f(xn)，称为函数f(x)在节点xi，xj处的一阶差商。称为函数f(x)在节点xi，xj，xk处的二阶差商。即f(
8、x)的k-1阶差商的差商称为k阶差商（均差）。差商的性质由于性质1：故差商是微商的离散形式。 性质2：k阶差商fx0 ,x1,xk可以表示为函数值 f(x0), f(x1), f(xk)的线性组合，即k=1,2,n性质3：差商与插值节点的排列次序无关。1.Lagrange插值多项式间的 关系二、Newton插值多项式注：A是Lk(x)的首项系数。2.Newton型插值 公式k=1,2,nRemark:递推关系3. 差商的 计算根据插值多项式的存在唯一性知，如果f(x)充分 光滑，则有估计不足： 对函数的光滑性要求高； 需估计导函数的最值； 偏保守。导数型误差 估计三、Newton插值余项 差商
9、型误差估计导数和差商的关系差商型误差估计特点：对被插值函数光滑性要求 不高；但不适用于实际计算。四、例题解 1）建立差商表1. 01. 52. 00.84150.99750.90930.312-0.1764-0.48842）插值Newton插值多项式适用于节点任意分布 的情形。但当节点等距分布时，可以简化 Newton插值公式。5.3 等距节点插值设a=x0x1 xn=b，yi=f(xi)为等距节 点xi=x0+h(i=0,1,n)上的函数值，其中 h=(b-a)/n称为步长。在此基础上我们先定义差分，用差分表 示Newton插值多项式，从而得到等距节点的 插值公式。一、差分的定义与性 质 定
10、义：称 yi=yi+1-yi(i=0,1,n-1)为f(x)在xi处以h为步长的一阶向前差分。2yiyi1-yi =yi+2-2yi+1+yi (i=0,1,n-2)称为f(x)在xi处以h为步长的二阶向前差分。一般地，myim-1yi1-m-1yi (i=0,1,n-m)称为f(x)在xi处以h为步长的m阶向前差分。差分的性质 性质1(P158)各阶差分可用函数值线性表示，其 计算公式为：其中性质2：差分与差商满足下述关系：证明：利用数学归纳法 当k1时，有即结论成立。设km-1时结论成立，即则当km时，有由数学归纳法知，结论成立。证毕Remark：类似地可以定义向后差分与中心差分：性质3(
11、P159)差分与导数满足关系：证明：利用差商与导数、差分的关系，有：证毕二、Newton向前插值公式令x=x0+th，由xi=x0+ih(i=0,1,n)得： x-xi=(t-i)h，则有:将差商与差分的关系式带入Newton插值多项式，得:从而可得Newton向前插值多项式及其余项为(P160)三、差分 表Newton向前插值公式，又称表初公式，它利用差分表 的最上面一个斜行的数值进行计算。四、例题解#五、Newton向后插值公式类似于向前差分，也可以得到差商与向后差分的 关系：将插值节点从大到小排列，即类似于向前插值公式，可得到Newton向后插值 公式，又称表末公式，它利用差分表的最下面
12、一个 斜行的数值进行计算。同样，还可以利用中心差分，构造插值公式， 称为贝塞尔（Bessel）插值公式。这一类插值问题为埃尔米特(Hermite)插值问题 。其几何意义是在插值点上插值曲线与被插值曲线 有公共切线。由这2n+2个条件可以唯一确定一个 2n+1次的插值多项式。具体我们采用基函数的方法 来确定。5.4 埃尔米特插值一、问题1.辅助问题及Hermit 插值二、一般情形2.辅助问题的 求解3.Hermite插值问题解的存在唯 一性 存在性： 唯一性：04.插值余 项分析：定理 证明函数零点（从小到大）至少2n+1个零点 至少1个零点证毕三、特殊情形带不完全导数的插值问题 举例分析（方法
13、1）：误差：#方法2：（用带有重节点的差商表）#1.高次插值的评述 在实际应用中, 很少采用高次插值。 .在两相邻插值节点间, 插值函数未必能够很好地 近似被插值函数。一、分段插值法.对于等距节点的牛顿插值公式, 函数值的微小 扰动可能引起高阶差分有很大的变化.5.5 三次样条插值函数 在区间-5,5上用等距节点的插值问题是上世纪初Runge研究过的一个有名实例. 在区间上分别采用10次、15次、20次的等距节点插值多项式。随着插值次数的提高, 在 范围内的近似程度并没有变好, 反而变坏. 高次插值并不 一定带来更好的近似效果。 (a) (b) (c) 函数 的等距节点插值公式在区间0, 5上
14、的近似程度示意图 2.分段插值 设 已知节点 上的函数值 若 满足 则称 为分段插值函数。是整体插值区间上的连续函数, 随着子区间长 度 变小, 不提高子区间上的插值幂次便可以满足 给定的任意精度要求.但一般说来, 在子区间的端点 处导数是不存在的. 为了避免高次插值的缺点，常采用分段插值， 即将插值区间分成若干小区间，在每个小区间上 利用前面介绍的插值方法构建低次插值多项式。二、三次样条插值 分段插值法具有一致的收敛性, 但它只保证插值函数整体的连续性, 但在连接处不一定光滑，不 能够满足精密机械设计（如船体、飞机、汽车等的 外形曲线设计）对函数光滑性的要求。早期的工程技术人员在绘制给定点的
15、曲线时，使用一种具有弹性的细长木条（或金属条），称之 为样条（Spline），强迫它弯曲通过已知点。弹性 力学理论指出样条的挠度曲线具有二阶连续的导函 数，并且在相邻给定点之间为三次多项式，即为数 学上的三次样条插值曲线。1.三次样条插值函数的定义 定义 给定区间 的一个分划 .在小区间 上是3次多项式. .在节点 处具有2阶连续的导数; 则称S(x)是关于分划 的3次样条函数.若实值函数S(x)满足若还满足 . , 则称S(x)是f(x)关于分划 的 3次样条插值函数 。三次样条插值函数 在每一个小区间上是3次 的多项式, 在整个插值区间上有4n个系数. 且有 4n-2个约束: 内节点 边界节点要确定4n个系数，还需附加2个约束条件. 常
