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1、杆件横截面上的应力第七章第一节 基本概念第二节 轴向拉压杆的应力应力应变胡克定律横截面上的应力斜截面上的应力应力：杆件截面上的分布内力集度平均应力正应力切应力应力特征 ： （1）必须明确截面及点的位置；（2）是矢量，1)正应力： 拉为正，2) 切应力顺时针为正；（3）单位：Pa(帕)和MPa(兆帕) 1MPa=106Pa杆原长为l，直径为d。受一对轴向拉力F的作用，发生 变形。变形后杆长为l1，直径为d1。其中：拉应变为正， 压应变为负。 轴向(纵向)应变 ：研究一点的线应变：取单元体积为xyz该点沿x轴方向的线应变为：x方向原长为x，变形后其长度改变量为x应变横向应变： 胡克定律 实验表明，
2、在比例极限内，杆的轴向变 形l与外力F及杆长l成正比，与横截面积A成 反比。即：引入比例常数E，有 ：-胡克定律其中：E-弹性模量，单位为Pa; EA-杆的抗拉（压）刚度。胡克定律的另一形式：实验表明，横向应变与纵向应变之比为一常数-称为横 向变形系数（泊松比）G-切变模量FF1122假设： 平面假设 横截面上各 点处仅存在正应 力并沿截面均匀 分布。拉应力为正， 压应力为负。对于等直杆 当有多段轴力时，最大轴力所对应的 截面-危险截面。危险截面上的正应力-最大工作应力FF拉压杆横截面上的应力FN:横截面上的轴力A：横截面的面积横截面-是指垂直杆轴线方向的截面；斜截面-是指任意方位的截面。FF
3、F全应力：正应力：切应力：1） =00时， max2）450时， max=/2 拉压杆斜截面上的应力试计算图示杆件1-1、2-2、和3-3截面上正 应力.已知横截面面积A=2103mm220KN20KN40KN40KN332211例题例题20kN40kN试求图示结构AB杆横截面上的正应力。已知F=30KN， A=400mm2FDBCAaaa例题例题FNAB图示直杆，其抗拉刚度为EA，试求杆件的轴向 变形L，B点的位移B和C点的位移CFBCA LL例例题题F梁弯曲时横截面上的正应力与切应力，分别称 为弯曲正应力与弯曲切应力。MFSFSMs第四节第四节纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲：梁 受力弯曲
4、后，如 其横截面上只有 弯矩而无剪力， 这种弯曲称为纯 弯曲。纯弯曲时梁横截面上的正应力实验现象：1、变形前互相平行的纵向直线 、变形后变成弧线，且凹边纤维 缩短、凸边纤维伸长。2、变形前垂直于纵向线的横向 线,变形后仍为直线，且仍与弯曲 了的纵向线正交，但两条横向线 间相对转动了一个角度。中性轴：中性层与横截面的交线称 为中性轴。平面假设：变形前杆件的横截面变形后仍 为平面。MZ:横截面上的弯矩y:到中性轴的距离IZ:截面对中性轴的惯性矩横截面上正应 力的画法： MsminsmaxMsminsmax线弹性范围正应力小于比例极限sp；精确适用于纯弯曲梁；对于横力弯曲的细长梁(跨度与截面高度比L
5、/h5)，上述 公式的误差不大，但公式中的M应为所研究截面上的弯矩，即 为截面位置的函数。公式适用范围：三种典型截面对中性轴的惯性矩CL8TU6长为l的矩形截面悬臂梁，在自由端作用一集中力F，已知b 120mm，h180mm、l2m，F1.6kN，试求B截面上a、b、 c各点的正应力。（压）例题例题图示T形截面简支梁在中点承受集中力F32kN，梁的长度L2m。T形 截面的形心坐标yc96.4mm，横截面对于z轴的惯性矩Iz1.02108mm4。求 弯矩最大截面上的最大拉应力和最大压应力。例题例题如图所示悬臂梁，自由端承受集中载荷F=15kN作用。试计算截面B -B的最大弯曲拉应力与最大弯曲压应
6、力。解： 1确定截面形心位置选参考坐标系zoy如图示，将截面分解为I和II两部分，形心C的纵坐标为:2计算截面惯性矩2012020120 单位 ： mmIII例题例题3 计算最大弯曲正应力 截面BB的弯矩为:在截面B的上、下边缘，分别作用有最大拉应力和最大压应力，其值 分别为：切应力互等定理切应力互等定理在相互垂直的两个平面上，切应力必然成对存在，且数值相等， 两者都垂直于两个平面的交线，方向则共同指向或共同背离这一 交线。 切应力互等定理：一、矩形截面梁的切应力 假设：1、横截面上的方向与FS平行2、沿截面宽度是均匀分布的zyFs7-5梁横截面上的切应力bhz上上式中符号意义： ：截面上距中
7、性轴y处的剪应力：y以外面积对中性轴的静矩：整个截面对中性轴的惯性矩b：y处的宽度y对于矩形：c而因此矩形截面梁横截面上的切应力的大小沿着梁的高度按抛物线规律分布。在上下边缘处：y = 0，zbhmax图示矩形截面简支梁受均布荷载作用，分别求最大剪力所在的截面上a,b,c三 点处的切应力。（1）作出剪力图 （2）各点处的切应力矩形截面简支梁，加载于梁中点C，如图示。 求max , max 。二、工字形截面梁的切应力横截面上的切应力(95-97) 由腹板承担,而翼缘仅承担了(3- 5) ,且翼缘上的切应力情况又 比较复杂.为了满足实际工程中计 算和设计的需要仅分析腹板上的 切应力.hh0t三、圆
8、形和圆环形截面梁的最大切 应力zydD dA为圆环形截面面积图示外伸梁，荷载、T形截面对中性轴的惯性矩IZ 及形心位置已 标在图上，试求梁的最大切应力。 解 （1）作剪力图，可知危 险截面在BC梁段上， （2）梁的最大切应力发生 在梁段任意截面的中性轴处T形梁尺寸及所受荷载如图所示, 已知sy=100MPa,yc=17.5mm， Iz=18.2104mm4。求：1)C左侧截面E点的正应力、切应力；CAB40401010yc1FS0.250.75(kN)_+M(kN.m) 0.250.5+_平面应力状态的应力分析 主应力一、公式推导：二、符号规定：角角由x正向逆时针转到n正 向者为正；反之为负。
9、正 应 力拉应力为正压应力为负切 应 力使单元体或其局部顺 时针方向转动为正；反之 为负。某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力 已知，互相垂直的二斜面ab和bc的外法线分别与x轴成300和600角 ，试求此二斜面ab和bc上的应力。在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其的和为一常数。主应力及最大切应力 切应力等于零的截面称为主平面 由主平面定义，令t =0可求出两个相差90o的a0值，对应两个互相垂直主平面。令得：即主平面上的正应力取得所有方向上的极值。 主应力大小： 由s、s、0按代数值大小排序得出：s10s3 极值切应力： 可求出两个相差90o 的a1，代表两个相互垂直
10、的极值切应力方位。(极值切应力平面与主平面成45o)令： 7 应力集中的概念d/2d/2rDdr构件几何形状不连续应力集中：几何形状不连续处应力局部 增大的现象。应力集中 与杆件的尺寸 和所用的材料 无关，仅取决 于截面突变处 几何参数的比 值。应力集中程度与外形的骤变程度直接相关，骤变越剧 烈，应力集中程度越剧烈。静载下，塑性材料可不考虑，脆性材料（除特殊的， 如铸铁）应考虑。动载下，塑性和脆性材料均需考虑。理想应力集中系数:其中 ：-最大局部应力-名义应力（平均应力 ）已知矩形截面梁,某截面上的剪力Fs=120kN及弯矩M=10kNm.绘 出表示1、2、3、4点应力状态的单元体，并求出各点的主应力。 b=60mm,h=100mm.1、画各点应力状态图2、计算各点主应力 1点2点 (处于纯剪状态)3点(一般平面状态)4点自受力构件内取一单元体,其上承受应力如图示, .试求此点 的主应力及主平面.ad面,db面是该点的主平面.平面应力状态的几种特殊情况轴向拉伸压缩弯 曲平面应力状态的几种特殊情况
