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1、1课时达标检测（四）课时达标检测（四） 正、余弦定理在三角形中的应用正、余弦定理在三角形中的应用一、选择题1在ABC中，已知AB2，BC5，ABC的面积为 4，若ABC，则 cos 是( )A. B3 53 5C D3 54 5解析：选 C SABCABBCsinABC1 2 25sin 4，1 2sin .4 5又(0，)，cos .1sin2 3 52在ABC中，已知A30，a8，b8，则ABC的面积为( )3A32 B163C32或 16 D32或 16333解析：选 D 在ABC中，由正弦定理，得a sin Ab sin Bsin B，bsin A a8 3 1 2 832又ba，B6
2、0或 120.当B60时，C180306090，SABC 8832；1 233当B120时，C1803012030，SABCabsin C 88 16.1 21 231 233在ABC中，A60，AB2，且SABC，则边BC的长为( )32A. B33C. D77解析：选 A SABCABACsin A，1 232AC1，2由余弦定理可得BC2AB2AC22ABACcos A41221cos 603.即BC.34ABC的周长为 20，面积为 10，A60，则BC的边长等于( )3A5 B6C7 D8解析：选 C 如图，由题意得Error!由得bc40，由得a2b2c2bc(bc)23bc(20
3、a)2340，a7.5某人从出发点A向正东走x m 后到B，向左转 150再向前走 3 m 到C，测得ABC的面积为 m2，则此人这时离开出发点的距离为( )3 34A3 m B. m2C2 m D. m33解析：选 D 在ABC中，SABBCsin B，1 2 x3sin 30，3 341 2x.3由余弦定理，得ACAB2BC22ABBC cos B (m)3993二 、填空题6ABC的两边长分别为 2,3，其夹角的余弦值为 ，则其外接圆的半径为_1 3解析：不妨设b2，c3，cos A ，1 3则a2b2c22bccos A9，a3.又sin A，1cos2 A2 233外接圆半径为R.a
4、 2sin A322 239 28答案：9 287一艘船以 4 km/h 的速度沿着与水流方向成 120的方向航行，已知河水流速为 2 km/h，则经过 h，该船实际航程为_km.3解析：如图所示，在ACD中，AC2，CD4，ACD60，33AD21248224 36，331 2AD6，即该船实际航程为 6 km.答案：68在ABC中，ab2，bc2，又知最大角的正弦等于，则三边长为32_解析：由题意知a边最大，sin A，32A120，a2b2c22bccos A.a2(a2)2(a4)2(a2)(a4)a29a140，a2(舍去)，a7.ba25，cb23.答案：a7，b5，c3三、解答题
5、9在ABC中，若c4，b7，BC边上的中线AD的长为 ，求边长a.7 2解：AD是BC边上的中线，可设CDDBx，则CBa2x.c4，b7，AD ，7 24在ACD中，有 cos C，72x2(72)2 2 7 x在ABC中，有 cos C，722x242 2 7 2x，49x2494 14x494x216 28x解得x .a2x9.9 210在ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c.求证：.a2b2 c2sinAB sin C证明：法一：由余弦定理a2b2c22bccos A，b2a2c22accos B，得a2b2b2a22c(acos Bbcos A)，即a2b2c(acos
6、Bbcos A)，变形得 cos B cos A，a2b2 c2acos Bbcos A ca cb c由正弦定理a sin Ab sin Bc sin C得 ， ，a csin A sin Cb csin B sin Ca2b2 c2sin Acos Bsin Bcos A sin C.sinAB sin C法二：sinAB sin Csin Acos Bcos Asin B sin Ccos Bcos A，sin A sin Csin B sin C由正弦定理，a sin Ab sin Bc sin C得： ， ，sin A sin Ca csin B sin Cb c由余弦定理推论得，c
7、os B，cos A，a2c2b2 2acb2c2a2 2bc代入上式得 sinAB sin Ca ca2c2b2 2acb cb2c2a2 2bc5a2c2b2 2c2b2c2a2 2c2.2a2b2 2c2a2b2 c2原等式成立11. 设ABC 的内角A，B，C 所对边的长分别是a，b，c，且b3，c1，ABC的面积为，求 cos A与 a的值2解：由三角形面积公式，得 31sin A，1 22故 sin A.2 23因为 sin2Acos2A1，所以 cos A .1sin2A1891 3当 cos A 时，由余弦定理得1 3a2b2c22bccos A3212231 8，1 3所以a
8、2.2当 cos A 时，由余弦定理得1 3a2b2c22bccos A321223112，(1 3)所以a2.312在ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知.cos A2cos C cos B2ca b(1)求的值；sin C sin A(2)若 cos B ，b2，求ABC的面积1 4解：(1)由正弦定理得a2Rsin A，b2Rsin B，c2Rsin C，所以cos A2cos C cos B，2ca b2sin Csin A sin B 即 sin Bcos A2sin Bcos C2sin Ccos Bsin A cos B，即有 sin(AB)2sin(BC)，即 sin C2sin A，所以2.sin C sin A6(2)由(1)知： 2，即c2a，又因为b2，所以由余弦定理得：c asin C sin Ab2c2a22accos B，即 224a2a22a2a ，解得a1，所以c2.又因为1 4cos B ，所以 sin B.故ABC的面积为acsin B 12.1 41541 21 2154154
