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1、 Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. 计算矩阵特征值和特征向量的数值方法; 非线性方程和非线性方程组的迭代解法; 插值与拟合; 数值微积分; 常微分方程数值解等问题。 Date5Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.数值分析(计算方法)课程介绍 特点Date6Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.n学好本门课程需要做到： 认清
2、算法的计算对象； 掌握基本的计算方法及其原理； 编制程序，在计算机上对算法进行验证； 对于算法要多思考多比较！数值分析(计算方法)课程介绍数值计算方法既有数学类课程中理论上的抽象性和严谨 性，又有实用性和实验性等技术特征，它是一门理论性 和实践性都很强的课程。在20世纪70年代，大多数学校 仅在数学系的计算数学专业和计算机系开设计算方法这 门课程。随着计算机技术的迅速发展和普及，现在计算 方法课程几乎已成为所有理工科大学生的一门必修课程 。Date7Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U
3、.参考书目：1 谷根代等，数值分析与应用，科学出版社，20112 钟尔杰.数值分析.高等教育出版社,2004.3 颜庆津.数值分析.修订版.北京航空航天大学出版社 ,2000.4 李庆扬. 数值分析.清华大学出版社,2001.5 白峰杉.数值计算引论.高等教育出版社,2004.6 王能超.计算方法.北京: 高等教育出版社, 2005.Date8Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.第一章 绪论1、算法设计技术 2、误差 3、数值计算中需要注意的一些问题 4、算法的稳定性 5、病态问题内
4、容:Date9Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U. 1.1 算法设计技术 古希腊哲学家Zeno(芝诺)在两千多年前提出过一个骇人 听闻的命题：一个人不管跑得多快，也追不上爬在他前 面的一只乌龟。这就是著名的Zeno悖论。Zeno在论证这个命题时采取了如下形式的逻辑推理：设 人与龟同时同向起跑，如果龟不动，那么人经过某段时 间便能追上它；但实际上在这段时间内龟又爬了一段路 程，从而人又得重新追赶，如下图所示，这样每追赶一 次所归结的是同样类型的追赶问题，因而这种追赶过程 “永远”不会终
5、结。 引例Date10Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.耐人寻味的是，尽管Zeno悖论的论断极其荒谬，但从算法设计思 想的角度来看它却是极为精辟的。Zeno悖论将人龟追赶问题表达 为一连串追赶步的逐步逼近过程。设人与龟的速度分别为V与v， 记Sk表示逼近过程的第k步人与龟的间距，另以tk表示相应的时间 ，相邻两步的时间差tk 。Zeno悖论将人龟追赶问题分解为一追 一赶两个过程： 追的过程：先令龟不动，计算人追上龟所费的时间赶的过程：再令人不动，计算龟在这段时间内爬行的路程tkSk
6、-1SkVvtk-1vV图示: 人龟追赶过程Date11Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.若以人和龟之间的距离 定义问题的规模大小，则 上述过程将问题规模压缩了 倍：由于龟的速度远远小于人的速度，故 很小，因此 按上述步骤很快问题的规模 就可以忽略不计，从而 得到人追上龟所花时间 ，Zeno的解释可用如下过程 表示：Zeno算法 可见，Zeno算法的设计思想是，将人龟追赶计算化归为简单的行 程计算的重复，它的设计方法是逐步压缩计算模型的规模，这种 “化大为小”的设计策略称为规模缩减
7、技术，简称缩减技术。 算法的设计精髓：“简单”的重复生成复杂！Date12Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.则计算结果即为所求的和值：（3）数列求和问题：（1）1 直接法的缩减技术若用bk表示前k项的部分和，则有（2）Date13Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.这样，如果定义和式的项数为数列求和问题的规模，则 所求和值为（1）的退化情形。因之，只要令和式的规模 逐次减
8、1，最终当规模为1时即可直接得出所求的和值， 而这样设计出来的算法就是累加求和算法（2）。可见，上述累加求和算法的设计思想是将多项求和（1 ）化归为两项求和（2）的重复，最终加工成一项和式 （3）（(1)的退化情形）,从而得出和值。Date14Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.考虑利用缩减技术可得如下算法：算法流程图Date15Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.2 迭代
9、法的校正技术易得人追上龟所花的时间是有些问题的“大事化小”过程似乎无法了结。Zeno悖论 强调人“永远”赶不上龟正是为了突出这层含义。这是 一类无限逼近的过程，适于用所谓预报校正技术来处理 。 设人龟起初相距 ，两者的速度分别为 和 ，则有方程（1）Date16Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.注意到 v是个小量，设t也是个小量，则可从上式中 略去vt ，即令校正量t满足如下方程(近似)设解t*有某个预报值t0，希望提供校正量t，使校正值 t1= t0+ t 能更好的满足所给方程（
10、1），即使得求解上述方程即可定出校正值 Date17Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.进一步视 t1为新的预报值，重复实施上述手续，求出新 的校正值 t2，再由 t2定 t3 ，如此反复可生成一系列近 似值 t1,t2,t3,这就规定了一个迭代过程， (2)Zeno悖论所描述的逼近过程正是这种迭代过程，当 k时，tk t* 。大家知道，任何形式的重复都可看 成是“时间”的量度。Zeno在刻画人龟追赶问题中设 置了两个“时钟”：一个是日常的钟，另外Zeno又将 迭代次数视为另一种时钟，不妨称之为Zeno钟。Zeno 公式（2）表明，当Zeno钟趋于时人才能追上龟， Zeno正是据此断言人永远追不上龟。 Date18Numerical Analysis J. G. LiuSchool of Math. & Phys. North China Elec. P.U.给定 ，求开方值 的问题就是要求解方程 设给定某个预报值 ，希望借助于某种
