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1、1、傅立叶（Fourier）级数的展开方法；2、傅立叶（Fourier）积分的展开条件与展开方法；3、傅立叶谱的物理意义。重点傅里叶生平 1768年生于法国 1807年提出“任何周期 信号都可用正弦函数的 级数表示” 1822年发表“热的分析 理论”，首次提出“任何 非周期信号都可用正弦 函数的积分表示”5.1 傅里叶（Fourier）级数一 .周期函数的傅里叶展开在工程计算中, 无论是电学、力学、光学, 经常要和随 时间而变的周期函数fT(t)打交道. 例如:最常用的一种周期函数是三角函数 fT(t)=Asin(t+) 其中=2/T具有性质fT(t+T)=fT(t)的函数称为周期函数。 t工
2、程中使用的周期函数都可以用一系列的三角函数 的线性组合来逼近.方波4个正弦波的逼近100个正弦波的逼近数学表示为则函数f(x)可在-l,l展为傅里叶级数1、 傅里叶级数=+=1kkk0lxkblxkaaxf)sincos()(若函数f(x)以2l为周期，即f(x+2l)=f(x)，并在区间-l,l上满足狄里希利(Dirichlet)条件, 即在区间-l,l上1) 连续或只有有限个第一类间断点； 2) 只有有限个极值点.（简称狄氏条件）说明1、三角函数族是两两正交的,.sin,.2sin,sin,.cos,.2cos,cos, 1lxklxlxlxklxlxpppppp2、可以由函数的正交性求出
3、傅立叶级数中的系数 ；称为傅里叶系数3、函数以傅立叶级数展开是在函数空间中以三角函数 为基进行分解基矢量4、第一类间断点和第二类间断点的区别:函数的间断点分为两类第一类间断点：x0是函数的间断点，且左极限右极限存在第一类间断点第二类间断点第二类间断点：不是第一类的间断点。而在工程上所应用的函数, 尤其是物理量的变化函数, 全部满足狄氏条件.5、傅立叶展开的意义： 理论意义：把复杂的周期函数用简单的三角级数表示； 应用意义：用三角函数之和近似表示复杂的周期函数。例1 设f（x）函数是周期为2周期函数，它在，表达式将f（x）展为傅立叶级数。解 函数满足狄氏条件，它在x=k（k=0，1，-1，2，-
4、2)点不连续,收敛于在连续点上收敛于则二、奇函数和偶函数的傅里叶展开若f(x)是奇函数，则ak为0，展开式为叫做傅里叶正弦级数，f(0)=f(l)=0 =+=1kkk0lxkblxkaaxf)sincos()(=1kklxkbxfsin)(),(dsin)(L21klkfl2bl0k=若f(x)是偶函数，则bk为0，展开式为=+=1kk0lxkaaxfcos)(), 2 , 1(d)(10L=kflalkxx叫做傅里叶余弦级数, ), 2 , 1(dcos)(20L=klkflalkxpxx例2 设 f（x）是周期为2的周期函数，它在-， 上的表式为f（x）=x。将它展为傅立叶级数。解 首先，
5、所给函数满足狄氏条件，在处不连续，因此，f（x）的傅立叶级数在 收敛于在连续点处收敛于f（x）。不计点 函数是周期为2，且是奇函 数。则1、定义在 -l, l 上的函数 f(x)展开；三、定义在有限区间上的函数的傅里叶展开工程以及物理上用到的函数一般是定义在有限区间上的.方法将函数 f（x）解析延拓到-，区间， 构成的周期函数g（x），其周期为2l仅在 -l，l上，g(x)f(x).例3 在（-1，1）上定义了函数f（x）为：将函数展为傅立叶级数解函数曲线如图将函数做周期为2的解析延 拓，如图。将延拓后的函数做傅立叶展开所以2、定义在 0, l 上的函数 f(x)展开；方法将函数 f（x）解析
6、延拓到-l，l区间，再将-l，l 区间的函数再延拓到区间上，构成周期函数 g（x），其周期为2l例4 定义在（0，l）上的函数f（x）=a（1-x/l），将该函数展开为傅立叶级数。解函数曲线如图延拓到（- l，l）后再周期延拓，如图做偶延拓：所以如图做奇延拓：延拓的方式有无数种，因而展开式也有无数种，但他们 在(0,l)上均代表f(x)，且函数值相等。有时，对函数f(x)边界的限制就决定了延拓的方式。如要求 f(0)=f(l)=0 ，则应延拓成奇周期函数，如要求 ，则应延拓成偶的周期函数。四 复数形式的傅立叶级数而利用三角函数的指数形式可将级数表示为:有些时候利用三角函数和复指数函数的关系，将
7、 函数以复指数函数展开讨论函数的性质更方便。设-k=k所以，复数形式的傅立叶级数是以 为基展开的级数。例5 把锯齿波f（x）在（0，T）这个周期上可表示为f（x）=Hx/T，试把它展为复数形式的傅立叶级数。解函数曲线如图周期为五、 周期函数的频谱周期函数基频谐频n次谐波的频率波函数振幅在实数形式中在复数形式中n次谐波的频率波函数振幅的振幅随频率变化的分布情况。它清楚地表明了一个非正旋周期函数包含了哪些频率分量及各分量所占的比重（如振幅的大小）。因此频谱图在工程技术中应用比较广泛.所谓频谱图，通常是指频率和振幅的关系图。的振幅频谱（简称为频谱）.它描述了各次谐波称为举例矩形脉冲函数频谱图 频谱图
8、 AO它清楚地表明了一个非正旋 周期函数包含了哪些频率分 量及各分量所占的比重 （如振幅的大小）5.2 傅立叶积分与傅立叶变换一、复数形式的傅立叶积分对任何一个非周期函数f(x)都可以看成是由某个周期函数g(x)当2l时转化而来的。1、问题函数f（x）定义在-上，无周期，研究函 数的性质，怎么办？2、方法O O作周期为2l的函数f (x), 使其在-l,l之内等于f2l(x), 在-l,l之外按周期2l 延拓到整个数轴上, 则l越大, g(x)与f(x)相等的范围也越大, 这就说明当2l时, 周期函数g(x)便可转化为f(x), 即有改为对称形式复数形式的傅立叶积分复数形式的傅立叶变换3. 结
9、论-Fourier积分定理4、频谱注意：这是一个连续频谱，因为 是连续变化的。称为函数 f（x）的频谱函数。称为函数 f（x）的振幅频谱函数。记为称作f(t)的象函数,f(x)称作 的原函数.象函数F(w)和象原函数f(t)构成了一个傅氏变换对.例1：作图中所示的单个矩形脉冲的频谱图E解：Otf(t),)(.,e, )(一个函数是工程技术中常碰到的衰减函数叫做指数这个其中其积分表达式的傅氏变换及求函数例tftt tf t0000 2=-bbAAtf解如果令b=1/2, 就有可见钟形函数的傅氏变换也是钟形函数因此有钟形脉冲函数的积分表达式：因此二、实数形式的傅立叶积分1、积分和变换形式实数形式的
10、 傅立叶积分实数形式的 傅立叶变换例4 把单个锯齿脉冲f(x)展为傅立叶积分解 f（x）是无界的非周期函数，可展为傅立叶积分。2、讨论：的傅立叶正弦变换。称为其中称为傅立叶正弦积分分为为奇函数，则傅立叶积若)()(xfxf1）dsin)()(fB= 02xwxxpwsin)()(xdBxf=0www其中称为傅立叶余弦积分的傅立叶余弦变换。称为)( xf分为为偶函数，则傅立叶积若)(2）xfdcos)(2)( 0fA=xwxxpwcos)()(0xdAxf= www例5 矩形函数为f(t)TtToh将矩形脉冲解： f（x）是偶函数，可展为余玄傅立叶积分展为傅立叶积分.oA()2hT/T2/T3/
11、T4/T频谱图是连续谱，含有一切频率。傅立叶变换为傅立叶积分为例6解:求其傅立叶逆变换。已知象函数,)(wwjF2=f(t)=F -1 F()时当0t时当0 +=bwbww,)(iiF的傅氏逆变换。：求例03+=bwbww,)(iiF解例4 求解：根据能量积分性质运用傅氏变换的微分性质以及积分性质, 可以把线性常 系数微分方程转化为代数方程, 通过解代数方程与求傅 氏逆变换, 就可以得到此微分方程的解. 另外, 傅氏变 换还是求解数学物理方程的方法之一.例5. 求微分积分方程的解, 其中=xxxxxxxHxxxH) 0(0) 0(1d)()(d)()(（2）dd是阶跃函数+=)(d)()(（3）00xfxxfxxd挑选性三、 -函数的傅立叶变换 -函数的傅氏变换为:wwdwdeFtti=)()(例6、 求正弦函数f(t)=sin0t的傅氏变换)()(2)(2)(241dee41de2ee 21dsine21)()(0000)()(00000wwdwwdwwpdwwpdpppwpwwwwwwwww+=+=+iitititttfFtitititititiF如图所示:tsint1/21/2w0w0Ow|F(w)|
