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1、第 1 页 共 8 页饮酒驾车的微分方程模型饮酒驾车的微分方程模型摘摘 要要本文针对酒精浓度在人体内的变化过程建立房室模型.分别讨论了酒在短时间内喝完及在较长的时间内喝完的情况.由机理分析可知，酒精进入胃后一部分向血液转移，一部分排除体外，固可建立一个反映血液中酒精浓度变化的微分方程. 我们利用得到的在短时间饮两瓶啤酒后血液中酒精浓度的数据，根据高斯-牛顿算法，利用非线性最小二乘法拟合，结合 MATLAB 软件，拟合出浓度变化的函数，利用这个函数，可求得大李在凌晨 2 点时的血液浓度为 22.5693 毫克/百毫升，超过标准. 若喝 3 瓶啤酒，若其在短时间内喝完则在11.47 小时内会违反驾
2、车标准，而在长时间喝完则在 12.63 小时内驾车会违反标准. 又由微分方程中最大值理论，可估计出血液中酒精含量的最高时间 与喝酒时间 的关系.并求出如果天天喝酒，喝的瓶tT数 和驾车时间 的关系. nt关键词关键词：微分方程；浓度；拟合；1 1 问题的重述问题的重述据报载，2003 年全国道路交通事故死亡人数为 10.4372 万，其中因饮酒驾第 2 页 共 8 页车造成的占有相当的比例. 针对这种严重的道路交通情况，国家质量监督检验检疫局 2004 年 5 月 31 日发布了新的车辆驾驶人员血液、呼气酒精含量阈值与检验国家标准，新 标准规定，车辆驾驶人员血液中的酒精含量大于或等于 20 毫
3、克百毫升，小于 80 毫克百毫升为饮酒驾车（原标准是小于 100 毫克百毫升） ，血液中的酒 精含量大于或等于 80 毫克百毫升为醉酒驾车（原标准是大于或等于 100 毫克 百毫升）. 大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒，下午 6 点检查时符合新的驾车标准，紧接 着他在吃晚饭时又喝了一瓶啤酒，为了保险起见他呆到凌晨 2 点才驾车回家， 又一次遭遇检查时却被定为饮酒驾车，这让他既懊恼又困惑，为什么喝同样多 的酒，两次检查结果会不一样呢？ 请你参考下面给出的数据（或自己收集资料）建立饮酒后血液中酒精含量 的数学模型，并讨论以下问题： 1. 对大李碰到的情况做出解释； 2. 在喝了 3 瓶啤酒或者半斤
4、低度白酒后多长时间内驾车就会违反上述标准， 在以下情况下回答： 1）酒是在很短时间内喝的； 2）酒是在较长一段时间（比如 2 小时）内喝的. 3. 怎样估计血液中的酒精含量在什么时间最高. 4. 根据你的模型论证：如果天天喝酒，是否还能开车？2 2 模型的假设模型的假设（1） 酒精是先通过肠胃再被吸收进体液血液中的; （2） 酒精从肠胃向血液的转移速率，从肠胃排除出体外的速率，都与肠胃中 酒精的量成正比; （3） 肠胃的容积，血液的体积在酒精吸收、排除的整个过程中保持不变; （4） 若酒是在短时间内喝完的，则酒从人口到肠胃的过程是瞬间的过程，所 需时间为 0; （5） 酒精从体液被吸收到各肌体
5、的速率，与血液中的酒精的量成正比; （6） 长时间喝酒的情形中，喝酒前的酒精浓度为零; （7） 人体内血液的密度为 1.06 克/毫升;3 3 符号的设定符号的设定、：是肠胃中、血液中酒精的量 (单位：毫克);)(0tx)(tx、 ：分别为肠胃的容积，血液的体积 (单位：百毫升);0vv、：是肠胃中、血液中的酒精浓度 (单位：毫克/百毫升);)(0tc)(tc：是酒精进入肠胃的速度;)(tf：是酒精从肠胃被吸收到血液的速度;0k第 3 页 共 8 页：是酒精在血液中被吸收到各集体的速度;k：是酒精从肠胃里排除出体外的速度;1k、：分别是肌体内酒精的初始量、初始浓度;0x0C：是喝下酒的瓶数;n
6、 一瓶酒有ml，内含酒精mgBA4 4 问题的分析问题的分析根据调查知，酒精无需经过消化系统而可被肠胃直接吸收，酒进入肠胃后， 进入血管，饮酒后几分钟，迅速扩散到人体的全身. 而且，酒精在血液中的含 量与在体液中的含量大体是一样的. 酒精在人体中的吸收图(图(1)如下:假设喝下瓶酒后，酒精的总量为nnA 由上图可以看出：的变化率由从肠胃向血液转移的酒精，肠胃向体外排除的酒精)(0tx00xk，与喝酒的速度组成. 的变化率由从肠胃向血液转移的酒精01xk)(tf)(tx及从血液向肌体扩散的酒精组成. 于是，有：00xkkx（#） kxxktxtfxkxktx000100 0 )()()(由题目可
7、知，酒可以是在短时间内喝完的，也可以是在较长的一段时间内 喝完.对此，我们可以分别建立模型.5 5 模型的建立模型的建立一瓶啤酒大约有 600 毫升，含酒精 5%左右，酒精的密度是 0.789 克/毫升，则一瓶啤酒含酒精的量.人体内血液只占体重的 7%左右，一个mgA2367070kg 的人的血液有百毫升.47V 5.1 模型一的建立模型一的建立 假设酒是很快喝完的，即 T=0 的瞬时酒精立即进入肠胃中，肠胃中酒精浓肠胃、)(0tx)(0tc血液、)(tx)(tc00xk)(tfkx01xk排除图(1)第 4 页 共 8 页度立即上升为.于是，和初始条件为：0vnA)(tf0 00)0(,)0
8、(, 0)(CCVnACtf由此，结合（#） ，建立常微分方程组（*）有：(*) 00000100 0)0()0()()()()(CCnAxVtxtCkxxktxxkxktx通过求解得：tkknAetx)( 010)(ktkttkk veCkkkeenAktx 0 10)( 0)()(10ktkttkk veCkkkveenAk vtxtC 0 10)( 0 )()()()(10根据得到的参考数据，70kg 的人在短 时间喝两瓶啤酒后血液酒精浓度的数据，这时，利用非线性最小二乘法0, 20Cn拟合高斯牛顿算法，结合 MATLAB 软 件，拟合得：， ， 2071. 00k8009. 11k18
9、55. 0k 拟合的图形如图（2） ，将拟合到的代入，得：kkk,10tnetx0080. 2023670)(tteCnnetx1855. 008225. 1)47743210.2689743210.2689()(tteCnnetC1855. 008225. 1)99429728.5599429728.55()(5.2 模型二的建立模型二的建立假设酒是在较长一段时间内喝的，喝酒时间为 T.假设酒精是匀速进入肠胃的，则和初始条件分别为： , )(tf 0)(TnA tfTtTt 0， 0)0(0x0)0(0 CC图 （2）第 5 页 共 8 页结合（#） ，建立微分方程组（*）有：0)0(0)0
10、()()()()()(00000100 0CxvtxtCkxxktxtfxkxktx解方程组，有： TtkkTenAeTtkkTenAtxkkTtkktkk,)()1 (0 ,)() 1()(10)()(10)(0101010 TtVkkkkkkkkTkekkekeekkeknAkTtVkkkkkkTekkkeekekkenAktCktTkTkkttktkkkktdTkTkttkkkktktkt,)2()(0 ,)()()()(2 11102 001)()( 1000101010)( 100101010016 6 问题的求解问题的求解问题一的求解：问题一的求解：大李在中午 12 点喝了一瓶啤酒
11、，啤酒是很快喝完的，下午6 点检查时，血液中酒精浓度为毫克/百毫升.假设大李是在下午 83979.181C点吃晚饭，啤酒也是短时间喝完，则喝酒前，大李血液中酒精浓度为毫克/百毫升.在此初始条件下，又喝一瓶啤酒，则凌晨 2 点6956.12)8(0 CC时的血液浓度为：22.5693 毫克/百毫升，超过标准.问题二的求解：问题二的求解：在喝了 3 瓶啤酒后，若酒是在很短时间内喝的，把，3n代入模型一，令，解得.即在时间小时内驾车就会违20)(tC47.11t47.11t反上述的驾车标准. 若酒是在很长时间喝完的，设喝酒时间，把代入模型二，令2T3n.解得.即在时间小时内驾车就会违反标准.20)(
12、tC63.10t63.12263.10t问题三的求解问题三的求解：根据微积分中求最大值的理论，对于模型一，解微分方程，得.由解得 可知， 与喝酒的瓶数无0)(dttdc3069. 1)ln(ln1010kkkkkktttn关，即喝多少瓶，都是在相同时间内血液中酒精浓度最高，下图(3)为在时，血液中酒精浓度的变化图.5 , 4 , 3 , 2 , 1n)(tC第 6 页 共 8 页对于模型二，容易知，浓度最高的时间必在分段函数的后半段，解微分方程，得 .知 与喝酒时间 T 有关，当0)(dttdc1010)11ln( 10kkkTkTkeetTkTkkTt时，t 的值为：7.1T 喝酒时 间 T
13、1234567t1.89542.63273.46594.35465.27626.21867.1749 上图(4)为时间 t 与喝酒时间 T 的函数关系图.问题问题 4 的求解：的求解：假设酒是短时间内喝的，每天喝酒的量一定，瓶数为，第 次和次ni1i喝酒的时间隔为.第一次喝酒，体液中酒精浓度满足微分方程：24iT（一）0)0()0()()(101101 0101101001CnAxkCvxktCxkxktx第 2 次喝酒： 第次喝酒：n（二） （n）)24()0()24()0()()(120102202 0202102002CCxnAxkCvxktCxkxktx )24()0()24()()(
14、)(11000 001000nnnnnn nnnnCCxnAtxkCvxktCxkxktx解微分方程组，有：)() 1()(10)( 0 110kkkVeenaktCktkkkt图(3)图(4)第 7 页 共 8 页)() 1()(1024)(24)()( 0 2101010kkkVeeeenAktCktkkkkkktkkkt)()1()(1024)1()(24)1()()(24)()( 01010101010kkkVeeeeenAktCktknkknkkktkkkkktkkktn则，时，n)11 11()()(24)(24)(1001010 kkkkkktktneeekkkVenAktC代入
15、数据，若一个 70kg 的人天天喝酒，每天只喝一次，每次喝酒时间间隔 T=24 小时，且在短时间喝完，于是,有:20)11 11()(24)(24)(1001010kkkkkktkteeekkkVenAk得到瓶数 n 与时间 t 的函数关系,图(5)函数图象: 若每天喝 n=16 瓶，需经过 t 小时后才可以驾 车：n123 t5.749.4711.66 n456 t13.2114.4115.397 7 模型的评价模型的评价本模型分析了酒精在肠胃的吸收，在血液中运输，最后排出体外，各阶段 酒精含量的变化，针对酒是短时间喝和长时间喝建出 2 个模型，模型 1 相对于 模型 2 比较简单，得出各个时间的酒精含量也比较准确.以后的各个问题都是照 代入上述的 2 个模型，都可以得出相应的各个时间的酒精含量，比较方便快捷. 让读者很清楚的知道喝了多少酒要
