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1、- 1 -公平的竞赛评卷系统模型摘要本文针对数学建模竞赛评卷系统进行模型建立和求解首先通过码制转换和异或 运算给出了一种简单易算、可随意转换且保密性能好的加密和解密方法；对于答卷分 配方案，我们先以满意度最大为目标函数建立 0-1 整数规划模型，把所有评委分组，分别为，再引入隶属度函数，以广泛度最大为目标函数，回避本校答卷和满足5 , 5 , 8 , 7某些特殊要求为约束条件建立优化模型，给各题组的评委具体分配答卷；对评卷过程 中出现的评分一致性和公正性问题，先运用统计学的原理分析了评委的类型客观 公平型、一致性偏高型、一致性偏低型、大幅度波动型和作弊型，并用层次分析法实 现对评委公平性的检验
2、；在此基础上，对各类型的评委的评分作出合理的量化，并以这些量化作为权值对不合理的分数进行最终调整，调整公式为 miijijswS1关键词：加密系统，满意度，广泛度，层次分析法- 2 -1 问题提出数学建模竞赛吸引了众多的大学生、研究生甚至中学生的参与，越来越多的人关 心竞赛评卷的公平性现今大多数的评卷工作是这样进行的：先将答卷编成密号，评 委由各参赛学校（20-50 所）派出，按不同的题目分成几个题组，每个题组由个评M 委组成，评阅份答卷，每份答卷经个评委评阅，评委对每份答卷给出等级分NL，如果个评委给出的分数基本一致，就给出这份答DCCCBBBAAA,L卷的平均分，否则需讨论以达成一致（其中
3、） 53,20060,105LNM假定有 35 所学校 298 个参赛队参赛，数据见附录 1其中：数字前两位代表学校， 甲组选做 A，B 题；乙组选做 C，D 题；25 名评委所属的学校编号为：1- 17，20，21，22，24，26，28，29，30 每份试卷经四位评委评阅，编号为 15，22 的只容许评 C，D 题，编号为 26 的只容 许评 A，B 题，编号为 1，4，6，12，16 的评委要求评 A 题，编号为 2，5，7，10 的评 委要求评 B 题；编号为 24 的评委要求评 C 题，编号为 29 的评委要求评 D 题其余按 所在学校的甲、乙组别及个人的要求安排现在需要解决如下问题
4、： 1研究一种答卷编号加密和解密的数学公式方法（其中题号为明号） ；要求方法 简单易算、可随意变换且保密性能好；对方法给出分析； 2研究一种评阅答卷分配的数学公式方法，要求回避本校答卷，并且每个评委评 阅的答卷尽可能广泛，并满足某些特殊的要求； 3研究评分一致性或公正性的检验方法，该方法要求对每个评委的公平性给出评 价（某评委分数普遍给的偏高或低属于尺度偏差，不应算作不公平，可在下面的问题 中调整） ； 4研究最终的分数调整计算公式，该公式要处理那些可能出现的“不公平” ，及 尺度偏差2 模型假设21 假设除了问题中某些评委提出的要求，其他评委无明确要求； 22 假设每个评委的评卷速度和阅卷量
5、相近； 23 假设每个评委在评卷过程中不会交流评卷业务以外的试卷信息，独立地评出每份 答卷的分数，对于评阅同一份答卷的评委不会相互交流各自所评的分数3 答卷的加密和解密31 答卷的加密 一个密码系统，通常简称为密码体制，由五部分组成（如下图 1） ，可用数学符号 描述如下1：（1）DEKCBS,其中，明文空间，它是全体明文的集合；B密文空间，它是全体密文的集合；C- 3 -密钥空间，密钥是加密算法中的可变参数；K加密算法，它是一族由到的加密变换；EBC解密算法，它是一族由到的加密变换DCB对于每一个确定的密钥，加密算法将确定一个具体的加密变换，解密算法将确定一个 具体的解密变换，而且解密变换就
6、是加密变换的逆变换对于明文空间中的每一个B明文，加密算法在密钥的控制下将明文加密成密文：EeKBC（2）eKBEC,而解密算法在密钥的控制下将密文解密出同一明文：DdKCB（3）dedKKBEDKCDM,如果一个密码体制的，则成为单密钥密码体制或对称密码体制，否则成为deKK 双密钥密码体制我们在本文中采用单密钥密码体制，即，对答卷编号进行加deKK 密和解密 针对本题，我们加密的目的是把各参赛队的序号反映出来的学校信息以及每个参 赛学校不同队伍的组号信息进行隐藏，即对答卷编号隐藏，而各答卷编号（即题号） 是明号因此可以得出以下结论：明文空间为各参赛队的序号，密文空间为我们BC 对明文空间进行
7、加密后的号码B 于是，我们对加密算法按以下步骤对答卷编号进行加密：E Step1 进行码制转换； Step2 确定密钥；攻击者明文加 密 算 法解 密 算 法明文信 道加密密钥解密密钥MCMC安全信道密钥KeKdK图 1- 4 -Step3 明文与密钥进行异或运算； Step4 把结果转换为十进制； Step5 添加题组标示，即为密文 为了更好地理解该算法，我们选取了一个编号（1209 B 题）来简单描述： Step1 把 1209 的每个数字转换为四位二进制，即 0001 0010 0000 1001； Step2 随机选取一个 3-5 个字母的英文单词，如 num，把每一个字母转化为 AS
8、CII 码，即 110 117 109，再把 ASCII 码转换为二进制，即 1101 0010 0000 1000 0001 1110 101，取前 16 位，即 1101 0010 0000 1000；Step3 按位进行异或运算，即用密钥与 Step1 得到的二1000 0000 0010 1101K进制序列 0001 0010 0000 1001 异或，得到序列 1100 0000 0000 0001； Step4 把新得到的序列转换为十进制，即五位数字 49153； Step5 在 49153 的最高位前添加 2，即 249153，代表该参赛队是 B 题组的（数字 1、2、3、4 分
9、别代表题组 A、B、C、D） 故：编号 1209 B 题的密号为 249153 为了减少工作量和提高加密系统的保密性，我们可将所有的参赛队编号按先后顺 序先自上而下、后从左到右地排列成的矩阵；按每一列逐列进行整体加密；每一mn 个评委分别秘密地发给公证人（注：该公证人不参与评卷工作，只负责对答卷加密、 解密和分配答卷的工作 ）3-5 个字母的英文单词，公证人按顺序或逆序把每一个字母 转化为 ASCII 码，再把各 ASCII 码转换为二进制，取一定的位数，此位数取决于每一 列的编号转换为二进制后的全体比特数这样，就可以简化了 Step2 随机选取密钥的 工作量，同时不会降低其保密性能 32 答
10、卷的解密 对密号进行解密，实际上是对加密算法的逆运算，即我们对解密算法1 ED 按以下步骤对密号进行解密：D Step1 评委们公开各人秘密发给公证人的字母，公证人公开其按顺序还是逆序排 列评委们的字母； Step2 把所有字母转换为 ASCII 码，再把各 ASCII 码转换为二进制，取一定的位 数，此位数取决于每一列的编号转换为二进制后的全体比特数； Step3 取密号的后五位，转换成二进制，得到的结果与密钥进行异或运算；K Step4 所得结果每四位二进制转换成一位十进制，按顺序逐个转换，得到的结果 每四位十进制便是明号，即答卷的编号 33 对加密系统的分析 一个密码系统应满足以下三点共
11、同要求2： （1）加密变换及解密变换对所有密钥均有效； （2）该系统是容易使用的； （3）系统的安全应当仅依赖于密钥的保密而不依赖于算法的保密 本文提出的加密系统模型可以满足以上要求，简单易行、可随意变换且保密性能 好，其优点如下： （1）通过对编号的码制转换便于我们对位进行异或逻辑运算，从而使加密过程更 加隐蔽、易行； （2）把所有答卷编号进行矩阵排列，再按列操作，可以简化加密工作量； （3）通过要求评委们各自秘密发送 3-5 个字母给公证人，再由公证人顺序或逆序 排列（只有所有评委和公证人的“密钥”都被知道了，已知道加密算法的人才能破译- 5 -该系统） ，从而大大增加了破译的难度，提高了
12、加密系统的保密性能； （4）异或逻辑运算是一种可逆运算，简单易行，不仅隐蔽了原本学校和参赛队的 信息，同时又保证了针对每个不同的序号能得到一个唯一与其对应的 16 位二进制序列， 实现了对信息进行加密的目的4 答卷的分配41 符号约定：分配到题组 A、B、C、D 的评委数目；dcba,：在第个题组中，第 个评委评阅第所学校答卷的份数；k ijxkij：在第个题组中，第所学校的答卷数；k jUkj：第个题组的总答卷数；kAk：在第个题组中，第 个评委评阅答卷的总份数；k ibki：第个题组的评委数；kmk：第个题组的参赛学校数knk42 数据的处理 在答卷数量不至于太多同时参赛学校不至于太少的情
13、况下，我们要求每个评委来 自不同学校，以示其公平性而本问题中要求，每个题组的个评委来自不同学校，M 则我们不需要考虑某学校参赛队数目与来自该校的评委数比例关系的公平性问题 对于附录给出的数据，我们经统计可得以下的信息：35 所学校 298 个参赛队，各 参赛队选择题组分别为 A 题 95 个、B 题 107 个、C 题 50 个、D 题 46 个（见下表 1） 25 名评委分别来自不同学校，评委所属的学校编号分别为：1- 17、20、21、22、24、26、28、29、30对于评委评阅答卷，还有些特殊要求，如： 编号为 15、22 的只容许评 C、D 题，编号为 26 的只容许评 A、B 题，
14、编号为 1、4、6、12、16 的评委要求评 A 题，编号为 2、5、7、10 的评委要求评 B 题；编号 为 24 的评委要求评 C 题，编号为 29 的评委要求评 D 题（见下表 2） - 6 -43 模型的建立 从上述对问题的分析和数据的处理，我们可以知道，解决答卷评阅分配的关键在 于先解决评委分组的问题 1）评委分组： 依题意，把 25 个评委分配到 A、B、C、D 四个题组，必须满足以下要求： a每个评委只能分配到一个题组中； b为了回避本校答卷，分组过程中每个评委所在的题组需要评阅的题目是该评委所在 学校的参赛队选择最少的题目； c严格满足特殊要求中某些评委只容许评阅的题组的要求；
15、 d在满足公平原则和以上 3 项原则前提下，尽量满足特殊要求中某些评委要求评阅的 题组的要求； e在满足以上原则的前提下，使每个评委评阅的答卷尽可能广泛； f对于没有提出要求或题目没有明确限制评阅题组的评委，在满足以上几项原则前提 下，我们对这些评委进行随机分配 基于以上原则，我们采用数学规划中的整数规划，引入满意度的概念，并用决策变量表示对其量化：用表示四个题组 A、B、C、D，用表示kly4 , 3 , 2 , 1k25, 2 , 1l25 个评委 1-17、20、21、22、24、26、28、29、30，表示第 个评委被分到第个klylk题组的满意度大小满意度定义为：a）当某个评委的“只
16、容许”条件被满足时，否则为-2kly2；b）当某个评委的“要求”条件被满足时，否则为-1；c）当没有特殊要求1kly的评委被分到任意题组时，其满意度为 0我们可以用表示由组成的矩阵，则可写成以下形式：YklyY0102120001200101001111011010212000120010100111101101021200012001010011110110102120001200101001111011Y- 7 -由于每个评委只能分配到一个题组，所以对于矩阵的每一列 4 个元素只能选取其 中一个，于是我们以最大满意度为目标函数：（4） 41251maxklkly其中，是基于矩阵的得到的一系列矩阵中的
