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1、118 商品的订购与销售的数学模型商品的订购与销售的数学模型摘要摘要:本问题是有关商店获利的运筹学问题.本文通过对 14 月 4 个月内商店销售商品的总售价、总成本以及总存贮费的计算，建立了使总利润获利最大的目标函数的数学模型，此模型为一个二次规划的非线性的优化模型.对于所建立的二次规划模型，本文把此模型分解为两个模型:模型、模型,并利用数学软件（Matlab）分别求解这两个模型,得出了 14 月份每月份的进货量分别为 5,10,10,8(单位)；售出量分别为10,10,10,8(单位)；以及每月存贮的商品量分别为 0(5),0,0,0(单位).从而解出了 14 月份商店商品的总售价为396
2、千元；总成本为 213.5 千元；总的存贮费为 2.5 千元.通过对以上部分的计算求出了 4 个月内商店所获的最大利润为 180.0 千元.关键词：关键词：二次规划;非线性优化;模型分解1 问题的提出问题的提出 某商店在未来 4 个月内，准备利用商店里一个仓库专门经销某种商品，该仓库最多能 存放 10 单位商品.设商店每月只能售出仓库现有的货，而每月所购的货只能在下个月初到 货，又设该商品在 1 月初的存货为 5 单位，而 14 月该商品的售价分别为 12，9，13，7（千元） ，而进货价则与进货量有关，分别为44332211 15,6 . 0112 . 09,5 . 010xCxCxCxC其
3、中为第 月份的购买量.又设每个月月底存货在下个月的存贮费用每单位为ixi4 , 3 , 2 , 1i千元.试制订进货及销售计划，使总利润最大.5 . 0 2 问题的分析问题的分析 本问题是一个有关商店获利的运筹学问题，目的是制订进货及销售计划，使总利润最 大，而由题意可以知道:存贮费成本进货总价售出商品的总价总利润)(因此，只要对售出商品总价、成本、存贮费进行计算优化，然后再制订出商品的进货 与销售计划，使商店所获利润最大即可. 3 问题的基本假设与符号说明问题的基本假设与符号说明 3.1 基本假设基本假设 1 该仓库最多能存放 10 单位商品 2 该商店每月只能售出仓库现有的货 3 每个月所
4、购的货只能在下个月初到货 4 该商品在 1 月初的存货为上年剩下的，1 月份所到的货为上年 12 月所订 5 每个月月底存货在下个月的贮存费用每单位 0.5 千元 3.2 符号的说明符号的说明ix4 , 3 , 2 , 1ii月份购买量第单位单位:iC4 , 3 , 2 , 1ii月份的进货价第千元单位:1S个月内售出商品的总价该商店4千元单位:119 2S个月内进货的总成本该商店4千元单位:3S存贮费个月内存货的总费用该商店4千元单位:S该商店所获的总利润千元单位:ia月份售出的商品量第i单位单位:iy4 , 3 , 2 , 1 , 0ii月份剩下的商品量第单位单位:4 模型的建立模型的建立
5、 4.1 售出商品总价售出商品总价43211713912aaaaS4.2 总成本总成本43212 42 32 22 14433221141215119106 . 02 . 05 . 0156 . 0112 . 095 . 010xxxxxxxxxxxxxxxxxCSiii4.3 总的存贮费用总的存贮费用由假设 4 可知: 去年 12 月份存货 50y1 月份商品总数为 15x1 月份剩余商品数为 1115axy2 月份剩余商品数为 212125aaxxy3 月份剩余商品数为 32132135aaaxxxy4 月份剩余商品数为 4321432145aaaaxxxxy由于 4 月份的存货其贮存费算
6、在 5 月份内可忽略 4 月份的存货不计 即 1-4 月份四个月内共存货 .20232355155321321321321212123aaaxxxaaaxxxaaxxaxyyoii总的存贮费用为105 . 05 . 15 . 05 . 15 . 03213213aaaxxxyS4.4 目标函数目标函数: 总利润总利润120 .1075 .13105 .13155 .11105 .116 . 02 . 05 . 0432143212 42 32 22 1321aaaaxxxxxxxxSSSS目标函数:1075 .13105 .13155 .11105 .116 . 02 . 05 . 0max4
7、32143212 42 32 22 1 aaaaxxxxxxxxS 04 , 3 , 2 , 10105010501050105050505050. .432143213213212121113213214212131121ii xiaaaaaxxxxaaaxxxaaxxaxxxxaaaxxxaaxxaxxts5 模型的求解模型的求解所建立的数学模型为二次规划模型,含有 8 个未知量.为了简化计算,把模型分为两个分模 型,然后再用数学软件(Matlab)求解出最优解. 5.1 模型的分解模型的分解 我们把目标函数1075 .13105 .13155 .11105 .116 . 02 . 05
8、. 0max432143212 42 32 22 1 aaaaxxxxxxxxS分解为 模型:1075 .13105 .13max155 .11105 .116 . 02 . 05 . 0max4321243212 42 32 22 11aaaaZxxxxxxxxZ模型：5.2 模型模型的求解的求解的求解：1maxZ由于此目标函数为二次非线性规划,故可以用数学软件(Matlab)中的二次优化中的函数可qp求出4 , 3 , 2 , 1,ixi程序 (见附录一): 可以求出:121 5 . 7,5833. 9,10, 54321xxxx由于为第 月份所购买的商品量,所以,即取整数.ixiZxi故
9、有. 8,10,10, 54321xxxx从而求得，.0 .236815105 .11101055 .118106 . 0102 . 055 . 0max2222 1 千元Z5.3 模型模型的求解的求解的求解2maxZ易由题意知：0833.272010100100100100. .1075 .13105 .13max432132121432143212aaaaaaaaaaaaatsaaaaZ易知，此分模型为一次线性规划模型，也可用数学软件（Matlab）求得与4 , 3 , 2 , 1,iai.2maxZ程序 (见附录二)： 可得到最优解为 416, 8,10,10,10即当时，8,10432
10、1aaaa5.4 的求解的求解Smax所以商店在 14 月份 4 个月内所获得的总的利润最大为千元.0 .180 即 当商店获得最大利润时， 14 月内商店对商品的进货量、售货量、存货量以及所获得总的利润如表所示：.416max2千元Z.0 .1804160 .236maxmaxmax21 千元ZZS122 月份1234进货量（单位）510108售货量（单位）1010108月底存货量（单 位）0 (5)000总利润（千元） 180.0并解得,售出商品的总价为:千元39687101310910121S总成本为:5 .21381510111095108106 . 0102 . 055 . 0222
11、2 2S总存贮费为:千元.5 . 25 . 053S6 结果的分析与检验结果的分析与检验 6.1 结果的分析结果的分析用软件求得,当且时,商店能获, 8,104321aaaa8,10, 54321xxxx得的最大利润为 180.0 千元,即是说能把商店的仓库里所有的存货与所进的货能全售出去的时候,这时,可不计月底存货的存贮费用以及用多余的钱去进可能售出去的货.此时,商4 , 3 , 2 , 1店获得的利润最大 . 6.2 结果的检验结果的检验当时,8,10, 54321xxxx而上年的 12 月份存货到 1 月份有 5 单位的货,即 1 月份共有货 单位.我们105551 x知道,即 1 月份
12、就把货全售了出去,没货存到 2 月份.101a此时,1 月份的总售价为千元,存贮费用为千元,总的进货价12010125 . 25 . 05为千元.5 .3755 . 01051 月份所获利润为千元.805 .375 . 21201X同理,2 月份共有货单位,而售出单位,此时存货为 0 单位.102x102a这时,2 月份的总售价为千元,存贮费为 0,进货价为千元901097010102 . 09即 2 月份所获的利润为千元20700902X同理,我们可得,123 3 月份所获利润为千元.803X4 月份共有货单位,而售出单位,此时不考虑存货量,也同时不存在有货剩余的84x84a情况.这时 4
13、月份的总售价为千元,进货价为千元,5678568815则 4 月份所获利润为56-56=0 千元.即是说 4 月份是个对商品的订购与销售的结束期,4X并不能使商店获利. 由上述可知,该商店在 14 月份 4 个月内工获利润为千元18008020804321XXXXX此时我们很清楚地知道,检验的结果与求解出来的结果相一致.通过验证,事实证明,当达到上述方案时,商店能获得最大的总利润.4 , 3 , 2 , 1,iaxii所以我们该商店对某种商品制订的进货与销售的计划如下: 前 3 个月进货的量尽量接近仓库的最大容纳的货量,而第 4 个月通过调查,须适当地减 少进货量. 即:由于 1 月初有存货,
14、因而 1 月只要进货 5 单位即可(上年的 12 月须订货),而 2、3 月份需增 加进货量到 10 单位,然而,考虑到顾客对同一种商品用久了会腻,4 月须减少进货量到 8 单位. 7 模型的评价与推广模型的评价与推广 在我们所建立的模型的基础上提出的商品的订购与销售计划可以很好地验证该商店对 某种商品的进货与销售情况.我们认为，这种模型，很好地考虑了商家的利益，同时也部分 地顾虑到顾客的意愿，具有相当的实际背景. 此模型除了适用于商店对某种商品的进货与销售的计划，同时还适用于某公司对某种产品 要制订个阶段的生产计划，等等.n参考文献：参考文献：1 洪毅等. 经济数学模型M. 广州:华南理工大学出版社,1998.62 王沫然. MATLAB6.0 与科学计算M. 北京:电子工业出版社,2001.93 程理民等. 运筹学模型与方法教程M. 北京:清华大学出版社,19994 叶其孝. 大学生数学建模竞赛辅导教材(三)M. 湖南教育出版社.附录附录:一.求解模型一的程序 1 , 4,;10;10;10; 5;1 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 1 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 1 , 0 ; 0 , 0 , 0 , 1;15; 5 .11;10; 5 .11;2 , 0 , 0 , 0 ; 0 , 2 . 1 , 0 , 0 ; 0 , 0 , 4 .
