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1、84 钢管订购和运输的规划模型钢管订购和运输的规划模型摘要：摘要：本文就天然气管道钢管的订购和运输问题，建立了使订购和运输总费用最小的优化模型.我们把计算分为订货和铁路，公路费用的计算及管道上运输费用的计算两个部分.对第一部分的计算，我们采用了增减约束条件的方法，避免了求解一组多分支规划的繁重的计算.对第二部分的计算，我们综合各种可能情况作出比较，从而使计算简化，并求出了最优的钢管订购和运输计划.对于第二问，我们把每个钢厂的销价及生产上限在一定范围内浮动，观察比较得出钢厂钢管的销价的变化对购运计划和总费用影响最3S大，钢厂钢管的产量的上限的变化对购运计划和总费用的影响最大.在第三问中运用第一问
2、的方法建立1S模型，同样求出了铁路，公路和管道构成网络时总费用最小的钢管订购和运输计划.一一 题的重述题的重述要铺设一条的输送天然气的主管道.经筛选后可以生产这种主管1521.AAA道钢管的钢厂有.连接钢厂（i=1,15）和的有铁路和公路.721,.,SSSiS)15,.,1( jAj沿管道或者原来有公路，或者建有施工公路.一个钢厂如果承担制造这种钢管，至少需要生产 500 个单位.已知钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量，钢管出厂销价及 1 单位iS钢管的铁路运价和公路运输费.钢管不只是运到点 而是管道全线.问如何制定,.,1521AAA一个主管道钢管的订购和运输计划，使总费用最小；哪个钢
3、厂的销价变化对购运计划和总 费用影响最大，哪个钢厂钢管的产量的上限的变化对可以计划和总费用的影响最大；如果 要铺设的管道不是一条线，而是一个树形图，铁路，公路和管道构成网络，如何建立相应 的模型和如何求解.A132580101031201242701088107062703020203045 01043017506061942052016804803002202104205006003060195202720690520170690462160320160110290115011001200A2A3A4A5A6A11A711A11A8A11A9 11 A1 1A10A11A12A13A14A1
4、5S1S2S3S4S5S6S7图一第一期（2002 年 10 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.185 二二 本假设与符号约定本假设与符号约定1)1km 主管道钢管称为 1 单位钢管；2)假设在钢厂的订购货量为个单位；iSix3)对于图一，铁路和公路相交的车站从左到右分别记为；1721,.,ttt4)对于图二，铁路和公路相交的车站或者铁路和管道相交的车站从左到右分别记为；1821,.,ttt5)假设钢厂流经站的钢管量为个单位；iSjtjix,6)假设处的到货量为；jAja7)假设 1 单位钢管从钢厂运到的运价为；iSjAjik,8)钢厂在指定期限内能生产该钢管的最大数量是个单位；iSiS
5、9)钢管出厂销价 1 单位钢管为万元；iP10) 假设铁路运费是整段计算的（从货物上车到下车一次性收费） ，二不是分段计算；11) 沿管道公路的运费计算与其他公路一致，且不考虑流量限制的问题.三三 问题的分析问题的分析 从图上可以看出，各钢厂订购的钢管必先经铁路或公路运往主管道与公路的各节点上再沿主管道进行运输和铺设.因此，我们可以把运输的总费用分为在非管道（铁路或公iAA1325801010312012427010881070627030202030450104301750606194205201680480300220210420500600306019520272069052017069
6、 0462160320160110290115011001200A19130190260100A2A3A4A5A6A7A8A11A9A10A11A12A13A14A15S1S2S3S4S5S6S7A16A17A18 A20(A21)图二86 路）上的运输费用和主管道上的运输费用两部分来计算. 对于非管道上的运输.由于钢厂承担制造钢管后至少生产 500 个单位，所以对于每一个钢厂来说，订购量要么为 0，要么就大于或等于 500 个单位，这就构成一组个的多分62 支线性规划问题，计算将非常复杂.但我们可以采用如下办法简化计算：对所有钢厂的产量 先不设下限进行求解，若解出来的订购量都符合不小于 50
7、0 个单位的情况则为可行解，若 解出来的订购量中有不为 0 的，但小于 500 个单位，则在约束条件中加进这个订购量的下 限进行求解，直至得出符合条件的最优解.对于管道上的钢管运输铺设的费用则比较复杂，钢管从一个点出发，可以单纯沿iA管道公路进行运输，也可以一边运输一边铺设，要使运输费最优是类似一次规划的非线性 规划问题，由于变量多，计算量大，因此要进行一定的简化. 我们现证明一重要结论：当管道上各节点的钢管量等于与节点相连接的两边管道总长 度的一半时，管道上钢管的运输费最小.设运价为 y，运量为 x,y 是 x 的函数，并且有（其中路程单位为1 . 0dxdykkm）.假设一段长为 S 的路
8、程，量为 x 的钢管从其中一端点出发，y-x 的关系如图所示：y y y kx ks kxk(x-s)0 x s x 0 s x 0 s xsx sx sx 运费 g 即是图中阴影部分的面积.当 xs 时，)2(210sxksdyygs容易看出，当 xs 时，对 g 来求导有：，推)24(2)1)(222sxkxsxkg出为稳定点.在0,s区间上，2sx ,41)2(,21)(,21)0(222kssgkssgksg所以当时，费用是最小的，由此方法我们计算出管线上的最小运输费 t=61593.275x2s万元. 四四 模型的建立和求解模型的建立和求解 1,通过上面的分析，我们首先先令各钢厂订购
9、的钢管运往各节点的铁（公）路运费和 订购费最优，然后我们把各钢厂订购的钢管分成 17 份分别运往与公路相连的火车站.由于第一期（2002 年 10 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.187 铁路轨道成树状分布，所以这样的最优路线是确定的.通过对图一的分析，我们发现，这四段管道路有这样的情况：1 单位钢管从这些管15141413111098,AAAAAAAA道路之一运过的运费，比从连结该管道路两端点的最短的公（铁）路线运过的运费要高.也 就是说，与其将钢管经过这些管道路运输，不如发生“倒运”.因此，这些管道路左右两边 的钢管存货应该要满足两边管道铺设的需要，而不应该经这四段管道路进行货物调
10、送.根据 前面的假设，我们列出如下以铁（公）路运费和订购费为目标函数的线性规划： 17171,71minjiiijiji ixpxkfs.t ) 1)(7,.,2 , 1(171, ixxi jji)2(0,jiixx 712,)3(ijiax 7132,)4(iiax 7143 ,)5(iiax 7154,)6(iiax 7165 ,)7(iiax 7177,6,)8()(iiiaxx 7188 ,)9(iiax 7199 ,)10(iiax 711010,)11(iiax 711111,)12(iiax 711212,)13(iiax 711313,)14(iiax 711415,14,)
11、15()(iiiaxx 711517,16,)16()(iiiaxx)17(236182 iia)18(2130159 iia)19(3521102 iia)20(13501511 iia)21(4251132 iia)22(5001514 iia)23(4671142 iia)24(517171 iix)25(iisx 88 由于只对作非负限制时，计算出低于下界 500，所以需另加约束条件ix7x)26(5007x重新求解得：f=1015556, .这500 ,740 ,1331 , 0 ,1000 ,800 ,8007654321xxxxxxx样，我们得到各节点的钢管量，然后一边运输一边铺
12、设这些钢管，求出所需运费为 q=366409.05 万元，所以这样的运输方案得到的总费用为 m=1381965.05 万元.对于这个方案我们还要进行调整.由上面的讨论我们知道，当管道上各节点的钢管量刚 好等于与节点相连接的两边管道总长度的一半时，在管道上的运输费用最小.我们把（）151413121110987654321,aaaaaaaaaaaaaaa( 0, 254.5, 525.5, 678, 400, 199.5, 203, 440.5, 580, 390, 260, 215, 315, 460, 250 ) 作为约束 条件加进上述规划中，解得 m=13066563 万元，可见这样的运输
13、方案更优.我们可以再考虑 把各钢厂的钢管运到各节点后，再通过运输调整到运输最小时分钢量分布.调整的运输费用 为. 151,152jjiji iahz其中是 1 单位钢管从到沿管线运输的价格，是从到沿管线的钢管运输jih,iAjAjia,iAjA量. 因此我们又得到如下规划其中，tzfFmin 17171,71jiiijiji ixpxkfs.t （加上一规划约束条件中的（1）至（16）及（25） ） 1511 ,52iia 1512,5 .202iia 1513 ,5 .525iia 1514,678iia 1515 ,400iia 1516,5 .199iia 1517,203iia 151
14、8 ,5 .440iia 1519 ,580iia 15110,390iia 15111,260iia 15112,215iia第一期（2002 年 10 月） 韶关学院学生数学建模论文集 No.189 15113,315iia 15114,460iia 15115,250iia用 Maple 软件解得： F=1203697.575, 500 ,890 ,1181 , 0 ,1000 ,800 ,8007654321xxxxxxx经过比较，我们认为这个订购和运输的方案是最优的.由此可得详细的订运方案如下： （1）7 个钢厂的订购量分别为.500,890,1181, 0,1000,800,800
15、7654321xxxxxxx（2）钢厂的钢管分 3 批运输，第一批 197 个单位运往，第二批 400 个单位运到，1S5A6A第三批 203 个单位直接沿公路运到.钢厂的钢管分两批运输，第一批 359.5 个单位运7A2S往，另一批经运到.钢厂的钢管也分两批运输，第一批 420 个单位经4A8t8A5S, ,78tt运到，另一批 580 个单位经运往.钢厂的钢管分六批运输，第一批 45456, ,ttt4A9t9A5S个单位运往,第二批 166 个单位运往，第三批 61 个单位运往，第四批 199.5 个单3A4A5A位经运到，第五批 390 单位运到，第六批 260 个单位运往.钢厂的钢管分三6t7A10A11A6
