【数学与应用数学】论文——基金使用计划的优化模型

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1、第 1 页 共 9 页基金使用计划的优化模型摘要摘要: 本文以校园基金的分配使用问题为背景,参考银行对各种存款及国库券的年利率的有关规定,通过合理的假设,根据决策分析方法,以学校基金使用的实际情况为基础,建立一个合理的关于基金使用年的整数线性规划模型.在考虑银行存款计n算单利的情况下,对于数额为元使用年的情况,先把分成 份,其中第 MnMni份基金ix 存期为 年,只有当第份资金按最佳存款策略存款)1 (ni ii) 11 (ni到期后的本息和等于当年的奖金,并且第份资金按最佳存款策略存款年后的本nn息和等于原基金与当年的奖金和时每年发放的奖金才能达到最多.M利用 Matlab 求解得到了最佳

2、存款计划方案:在只存款的情况下,每年的奖金为 135.22 万元;在既存款又购买国库券的情况下,每年的奖金为 143.32 万元;在第 3 年的奖金比其它年度多 30%的情况下,若只存款则第 3 年的奖金为 170.35 万元,其他年的奖金为 131.04 万元,若既存款又购买国库券则第 3 年的奖金为180.49 万元,其他年的奖金为 138.84 万元.关键词关键词: :基金;国库券;最佳存款计划第 2 页 共 9 页1 1 问题的提出问题的提出 学校基金会有一笔数额为 M=5000 万元的基金,打算将其存入银行或购买国库券.当 前银行存款及各期国库券的利率见下表.假设国库券每年至少发行一

3、次,发行时间不定. 取款政策参考银行的现行政策.校基金会计划在 n=10 年内每年用部分本息奖励优秀师生,要求每年的将金额大致 相同,且在 11 年初仍保留原基金数额.校基金会希望获得最佳的基金使用计划,以提高 每年的奖金额.请你帮助校基金会在如下情况下设计基金使用方案,给出具体结果: 1.1 只存款不购买国库券; 1.2 可存款也可购买国库券 1.3 学校在基金到位后的第三年（2008 年）要举行建校 50 周年校庆,基金会希望 这一年的奖金比其它年度多 30% 注 1:人民币存款利率（%） 存款种 类活期3 个月6 个月一年二年三年五年年利率%0.721.712.072.252.703.2

4、43.60 注 2:实际收益利率为公布利率的 80%（20%为利息税上缴国库）; 注 3:国库券只有二年,三年和五年期三种,其存款利率与同期的定期存款利率相同,但不 交利息税.2 2 问题的分析问题的分析由存款年利率表可知,定期存款年限越长,利率就越大,因此在不影响奖金发放的情 况下,应尽可能存年限较长的存款,才能获得较高的利息.所以基金的最佳使用计划是: 拿出一部分基金存入一年定期,一年后的本息全部用于发放第一年的奖金,再拿一部分 基金存入二年定期,二年后的本息全部用于发放第二年的奖金,以此类推,且每年的奖金 相同,最后一年存入银行的款项发放奖金后仍然为基金总额.当同期的国库券年利率M 高于

5、银行存款的年利率时,应先考虑购买国库券. 3 3 模型的假设和符号约定模型的假设和符号约定 （1） 每年发放奖金一次,均在次年的年初发放; （2） 该笔基金于第一年年初一次性到位; （3） 国库券在发行当日购买,且有足够的量供购买; （4） 银行存款计算单利; （5） 银行发行国库券时间不固定; （6） 国库券在未到期之前不可进行贴现; （7） 银行存款利率和国库券利率在年内不会变;n （8） 当年到期的国库券本息不能购买当年发行的国库券.: 基金总额(万元);M : 第 份基金(万元);ixi: 每年的奖金数额(万元);P : 总年份(年);N: 存 年的最大年利率;ipi:实际收益率().

6、r8 . 0r第 3 页 共 9 页4 4 模型的建立模型的建立 4.14.1 只存款不购买国库券只存款不购买国库券 定理一 一定数额资金先存定期年再存定期年与先存定期年再存定期年,获Habba 得的本息和应该相等.().)5 , 3 , 2 , 1 , 5 . 0 ,25. 0(, ba证明 设分别为定期年和定期年的年利率,从而一定资金先存定期年baLL ,abHa再存定期年的本息和为;而一定资金先存定期年再存定期年b)1)(1 (babLaLHHba的本息和为,根据乘法的交换律易知两者是相等的,定理一得证. )1)(1 (abaLbLH推论 一定数额的资金,若把存款年限分为个存期,Hnj

7、,(),则年后本息和与存款顺序jnnnnn321jini, 2 , 1),5 , 3 , 2 , 1 , 5 . 0 ,25. 0(n无关. 定理二 根据定理一,再通过对年利率的计算易知使一定数额的资金存款年后Nn 本息和（扣除利息税）最大的存款方式为: 当时,存定期 1 年;1n 当时,存定期 2 年;2n 当时,存定期 3 年;3n 当时,先存定期 3 年,再存定期 1 年;4n 当时,存定期 5 年;5n当时,先存定款个 5 年定期,剩余年限的存款与时的情况相同.5n 5n5n证明:假设将一元钱存入银行年(包括中途转存),到期的本息和（扣除利息税）k 最多为kp元.则有: 当时,可存定期

8、 1 年和存两次定期 0.5 年（由上可知不用考虑 4 个 0.25 年或1k 两个 0.25 年,1 个 0.5 年）,所得的本息和分别为: ,则存一年定期本0180.10166.1,0180.18.00225.012息和最多,为0180. 11p 当时,可存 2 年定期或存两次 1 年定期,所得本息分别为:2k,所以存两年定期本息和0432. 10363. 10180. 1 ,0432. 18 . 00270. 0212最多,为0432. 12p 当时,可存 3 年期或 1 个 1 年,1 个 2 年(由上可知,不用考虑 3 个 1 年),本息3k 和分别为:,所以 3 年定期本息和最07

9、78. 10620. 10432. 10180. 1 ,0778. 18 . 030324. 01多,为0778. 13p同理可得: 当时,应存 1 个 3 年定期和 1 个 1 年定期,4k0972. 14p当时,应存 5 年定期,5k1440. 15p当时,应存 1 个 5 年定期,1 个 1 年定期,6k1646. 16p当7k时,ba bappp55)5(kba所以得最佳存款策略表如下:(其中表示先存 年定期再存年定期后存年),(kjiijk 定期,本息已扣除利息税)第 4 页 共 9 页年限1 年期2 年期3 年期4 年期5 年期存款(1)(2)(3)(3+1)(5)本息ip1.01

10、801.04321.07781.09721.1440年限6 年期7 年期8 年期9 年期10 年期存款策 略(5+1)(5+2)(5+3)(5+3+1)(5+5)本息ip1.16461.19341.23301.25521.3087奖金最大的分配方案: 基金使用年,要使每年发放的奖金达到最多,就是把分成份,其中第 份基MnMni 金存款年限为 年,只有当第)101 ( ii份基金ix 按最优存款策略存款 年后的本息和等ii于当年的奖金,且第份基金按最佳存款策略存款年后的本息和等于原基金与当年奖nM 金的和.所得模型一如下: Pxpii ) 11 (niPMxpnnMxnii 1 用 Matlab

11、 可以求得万元时基金使用年的最佳方案（万元）:5000M10n 奖金（万元）22.135P 用表格形式列出如表 2: 表 2 ix 值及其存 年的最佳存款策略i第 份 i 1x2x3x4x5x资金(万元)132.83129.62125.47123.25118.20存款策略(1)(2)(3)(3+1)(5)第 份i 6x7x8x9x10x资金(万元)116.11113.31109.67107.733923.80存款策略(5+1)(5+2)(5+3)(5+3+1)(5+5)4.24.2 可存款又可购买国库券可存款又可购买国库券 当可存款又可购买国库券时,因为国库券发行日期不定,如果要买它需等一段时

12、间,第 5 页 共 9 页因为国库券一年至少发行一次,有可能是第一季度,第二季度,也有可能是第三季度,第 四季度. 有两种方式可考虑:一.年初先存 3 个月的定期;二.年初先存 6 个月的定期. （1） 年初先存 3 个月定期的情况: 如果是第一季度发放,在发放日拿出本息购买国库券, 则前三个月的定期就会变成 活期,国库券到期后还未到年末,面临着继续采取怎样的存款计划,或者存定期,或者存 活期,或者等购买国库券.因国库券发行日期不定,有可能要等一年的时间,那么上半年 的前三个月剩下的时间就存活期,后三个月存三个月定期,下半年存半年定期; 如果第一季度没有发放,再存三个月的定期.如果是第二季度发

13、放,先存三个月的定 期, 在发放日拿出本息购买国库券,从而第二个 3 个月的定期就会变成活期,同理可推 算出发放国库券为第二季度时都要存 6 个月的定期,3 个月的定期和 3 个月的活期; 如果是第三季度发放,由于我们之前不知道发放的时间,我们再存 3 个月的定期.在 发放日拿出本息购买国库券,从而第三季度个 3 个月的定期就会变成活期,最后再存 3 个月定期. 如果是第四季度发放,我们则先存三个 3 个月的定期,再存一个 3 个月的活期. 就是买年期的国库券就要花年的时间.k1k 由于国库券的存期是整年计算的,所以银行存款的总时间为一整年,如下表所示：第一季度存款第二季度存款第三季度存款第四

14、季度存款 一季度发放3 个月活期3 个月定期6 个月定期 二季度发放3 个月定期3 个月活期6 个月定期 三季度发放3 个月定期3 个月定期3 个月活期3 个月定期 四季度发放3 个月定期3 个月定期3 个月定期3 个月活期由以上分析可知:年初先存 3 个月定期的情况,购买国库券时,有两种存款方式,分 别为:需要存半年的定期,三个月的定期和三个月的活期;或者是存三个 3 个月的定期和 1 个月的活期.而两种方式的概率都为 1/2,所以我们以数学期望来表示这两者的本息和 （扣除利息税）,为:0125. 1)418 . 00072. 01)(8 . 0410171. 01)(8 . 0210207. 01 (21)418 . 00072. 01 ()8 . 0410171. 01 (213（2）年初先存 6 个月的定期的情况:根据（1）的分析方法,如果是第一季度发放, 则需要存 6 个月的定期,3 个月的定期和 3 个月的活期;如果是第二季度发放,则需要存 6 个月的定期,6 个月的活期;如果是在第三,四季度发放,则存款方式同第一季度.同理,有下表：第一季度存 款第二季度存 款第三季度存款第四